2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义09《圆锥曲线与直线的综合题》（原卷版）

2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义09

《圆锥曲线与直线的综合题》

一、选择题

1.已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋=1，随着a的增大，该椭圆的形状(　　)

A.越接近于圆

B.越扁

C.先接近于圆后越扁

D.先越扁后接近于圆

2.若直线ax＋by－3=0与圆x2＋y2=3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋=1的公共点的个数为(　　)

A.0           B.1        C.2           D.1或2

3.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A.(1，)       B.(1，]     C.(，＋∞)      D.[，＋∞)

4.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，

且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为(　　)

A.2         B.          C.         D.

5.已知点A是抛物线C：x2=2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为(　　)

A.        B.1        C.        D.2

6.已知抛物线y=－x2＋3上存在关于直线x＋y=0对称的相异两点A，B，则|AB|=(　　)

A.3        B.4       C.3        D.4

7.设F1，F2分别是椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，

若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)

A.           B.       C.           D.

8.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|=(　　)

A.         B.        C.5         D.

9.已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA=2，kAB=6，则OB的斜率为(　 　)

A.3         B.2        C.－2         D.－3

10.已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　 　)

A.       B.     C.      D.

11.设F2是双曲线C：－=1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若|MF2|=3|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为(　　)

A.3          B.2              C.                 D.

12.已知直线y=1－x与双曲线ax2＋by2=1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)

A.－           B.－      C.－           D.－

二、填空题

13.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)，直线l：y=(x－1)，l与C交于A，B两点，

若|AB|=，则p=________.

14.设抛物线x2=4y的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足=λ，若||=，

则λ的值为________.

15.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________.

16.已知双曲线E：－=1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(,-1)，则l的方程为________.

三、解答题

17.若双曲线E：－y2=1(a＞0)的离心率等于，直线y=kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点.

(1)求k的取值范围；

(2)若|AB|=6，求k的值.

18.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，

求直线l的方程.

19.已知△ABC的顶点A(1,0)，点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上.

(1)求点C的轨迹T的方程；

(2)已知过P(0，－2)的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q(1,2)与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值.

20.已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△ABF2的面积最大时，求l的方程.

21.已知椭圆的离心率e=，且椭圆C过点P(，)．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点Q是椭圆C与x轴正半轴的交点，斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点D，E，若kQD·kQE=9，问直线DE是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

22.已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的离心率为，且C过点（1，）.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.

23.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的长轴长为4.

(1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径长的圆与直线y=x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；

(2)若过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点P是椭圆C上使直线PM，PN的斜率存在的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPM·kPN=－时，求椭圆C的方程.