2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义08《圆锥曲线标准方程和几何性质》（原卷版）

2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义08

《圆锥曲线标准方程和几何性质》

一、选择题

1.与椭圆9x2＋4y2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)

A.＋=1        B.x2＋=1    C.＋y2=1        D.＋=1

2. “2<m<6”是“方程＋=1表示椭圆”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)

A.－=1          B.－=1     C.－=1          D.－=1

4.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(，3)，则双曲线的方程为(　　)

A.－=1         B.－=1     C.－=1         D.－=1

5.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2=2px(p＞0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)

A.－           B.－1         C.－            D.－

6.已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是(　　)

A.2       B.       C.       D.

7.设F1，F2为椭圆＋=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，

则的值为(　　)

A.　        B.       C.         D.

8.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，

直线AB交y轴于点P.若=2，则椭圆的离心率是(　　)

A.          B.       C.          D.

9.已知点P，A，B在双曲线－=1(a＞0，b＞0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为(　　)

A.          B.      C.2          D.

10.过双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2=a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)

A.         B.       C.2         D.

11.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若=4，则|QF|等于(　　)

A.            B.          C.3            D.2

12.已知抛物线y2=2px(p＞0)过点A(,)，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=λ，则实数λ为(　　)

A.            B.        C.2            D.3

二、填空题

13.设e是椭圆＋=1的离心率，且e=，则实数k的值是________.

14.设F1，F2分别是双曲线x2－=1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，

若|AF2|=2且∠F1AF2=45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于      .

15.在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________.

16.已知抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)，圆M的方程为x2＋y2＋8x＋12=0，如果抛物线C的准线与圆M相切，那么p的值为__________.

三、解答题

17.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2=1(a＞1，a∈R)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点.

(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；

(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率.

18.设F1，F2分别是椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b的值.

19.已知双曲线C：－=1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点.

(1)求双曲线的方程；

(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，

求|AB|.

20.已知双曲线C：x2－y2=1及直线l：y=kx－1.

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.

21.已知抛物线y2=4px(p＞0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2=p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.

(1)求直线l的斜率；

(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程.

22.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，左焦点为F(－1，0)，过点D(0，2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)在y轴上，是否存在定点E，使·恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由.

23.已知直线y=k(x－2)与抛物线Γ：y2=x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N.

(1)证明：抛物线Γ在点N处的切线与直线AB平行；

(2)是否存在实数k使·=0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.