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小升初小学数学总复习资料课件PPT
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这是一份小升初小学数学总复习资料课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了数和数的运算，÷35，百分数，数的读法和写法，数的改写，数的互化，数的整除，约分和通分，数的应用等内容，欢迎下载使用。
常用的数量关系式1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式 1、正方形 （C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 （V:体积 a:棱长 ）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长 ）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab4、长方体 （V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh
5、三角形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高6、平行四边形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高 s=ah7、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高） 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷28、圆形 （S：面积 C：周长 л d=直径 r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л9、圆柱体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径
10、圆锥体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数13、和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)14、差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)15、相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间16、浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量17、利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
常用单位换算 长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
第一章 数和数的运算一 概念（一）整数1 整数的意义 自然数和0都是整数。 2 自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
数的整除整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最大的约数是1，最大的约数是10。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。 如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
••• -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 •••
（在我们数数时，用来表示物体个数的1，2，3•••）
1 2 3 4 5 6 7 8
1 000 000 000
十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
132 356 890
2 254 658 210
整数a除以整数b(b ≠ 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b(b ≠ 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。
因为15能被3整除，所以15是3的倍数，3是15的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
8的约数有哪些：16的约数有哪些：24的约数有哪些：36的约数有哪些：48的约数有哪些：
1、2、4、81、2、4、8、161、2、3、4、6、8、12、241、2、3、4、6、9、12、361、2、3、4、6、8、12、16、24、48
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
1的倍数有哪些：2的倍数有哪些：3的倍数有哪些：5的倍数有哪些：7的倍数有哪些：
1、2、3、4、5、6 ……2、4、6、8、10、12 …… 3、6、9、12、15、18 …… 5、10、15、20、25…… 7、14、21、28、35……
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
纯小数，带小数，无限小数，有限小数，无限循环小数，无限不循环小数
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线;分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。
近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。
比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大;最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大;分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。分数化成百分数：通常先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除，一直除到互质(或两两互质)为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ; 相邻的两个自然数互质; 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质; 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
约分的方法：用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
定义：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。
例1：合唱队有男队员28名，比女队员多12名 ，有女队员多少名？
解：28-12=16（名） 答：合唱队有女队员16名。
定义：有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。
含有三个已知条件的两步计算的应用题。
例2.畜牧场养山羊120只，养奶羊410只，养绵羊的只数是山羊和奶羊总数的4倍，养绵羊多少只？
解：山羊和奶羊的总数？ 120+410=530（只） 绵羊的只数？ 530×4=2120（只） 答：养绵羊2120只。
含有两个已知条件的两步计算的应用题。
例3.饲养小组养10只黑兔，养的白兔比黑兔多6只，一共养多少只兔？
解：养的白兔多少只？ 10+6=16（只） 一共养了多少只兔子？ 10+16=26（只） 答：一共养了26只兔子。
例4.一个商店运进5箱热水瓶，每箱12个，每个热水瓶卖11元，一共可以卖多少元？
解：5×12×11=660（元） 答：一共可以卖660元。
例5.三年级同学去参观农业展览，把90人分成2队，每队平均分成3组，每组有多少人？
解：90÷2÷3=15（人） 答：每组有15人。
a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。
例6：已知甲数是12，乙数是16，求甲乙两数的和是多少？
解：12+16=28 答：甲乙两数的和是28。
b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。
例7.已知甲数是16，乙数比甲数多6，求乙数是多少？
解：16+6=22 答：乙数是22。
a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。
例8：已知甲数是36，减去15后，求剩下部分是多少？
解：36-15=21 答：剩下部分是21。
b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。
例9.已知甲数是16，乙数11，求甲数比乙数多多少？
解：16-11=5 答：甲数比乙数多5。
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。
例10.已知甲数是16，乙数比甲数少7，求乙数是多少？
解：16-7=9 答：乙数是9。
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。
例11：已知8个9相加，求总数是多少？
解：8×9=72 答：总数是72。
b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。
例12.已知甲数是9，乙数是甲数的6倍，求乙数是多少？
解：9×6=54 答：乙数是54。
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。
例13：已知一个鸡场有600只鸡，将鸡分成8份，求每份有多少只鸡？
解：600÷8=75 答：每份有75只鸡。
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。
例14.已知甲数是72，每份为8，求可以分成多少份？
解：72÷8=9 答：可以分成9份。
c求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。
例15.已知甲数是16，乙数是80，求较大的数是较小的数的多少倍？
解：80÷16=5 答：较大的数是较小的数的5倍。
工作总量=工作时间×工效
平均数问题：平均数是等分除法的发展。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。数量关系式 (部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。
例16.下面是一个同学的某一科的考试成绩：平时测验 80， 期中 90， 期末 95，学校规定的科目成绩的计算方式是：平时测验占 20%，期中成绩占 30%，期末成绩占 50%。
解：加权平均值 =( 80*20% + 90*30% + 95*50% )/(20%+30%+50%）=90.5
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。数量关系式：(大数-小数)÷2=小数应得数 最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数 最大数与各数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例17.小明有45张画片，小林有21张画片，小明给小林多少张画片，两人的画片数才能一样多？
解：（45-21）÷2=12 答：小明给小林12张画片，两人的画片数才能一样多
归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。数量关系式：单一量×份数=总数量(正归一) 总数量÷单一量=份数(反归一)
例18. 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天?
解：6930÷（4774÷31）=45 答：织布 6930 米 ，需要45天。
归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量(或单位数量的个数)，通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位个数 = 另一个单位数量
例19. 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米?
解：800×6÷4=1200（米）答：实际4天修完，每天修了1200米。
和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。解题规律：(和+差)÷2 = 大数 大数-差=小数 (和-差)÷2=小数 和-小数= 大数
例20.某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人?
解：现在的乙班是( 9 4 - 12 )÷ 2=41 (人) 乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 (人) 甲班为 9 4 - 87=7 (人) 答：原来甲班有7人，乙班有87人。
和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数
例21.汽车运输场有大货车小汽车总共 115 辆，大货车比小汽车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
解：小汽车数为( 115-7 )÷( 5+1 ) =18 (辆)， 大货车数为 18 × 5+7=97 (辆)答：运输场有大货车97辆，小汽车18辆
例22.甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米? 各减去多少米?
解：乙绳剩下的长度( 63-29 )÷( 3-1 ) =17 (米)， 甲绳剩下的长度 17 × 3=51 (米) 剪去的长度29-17=12 (米) 答：甲绳所剩长度为51米，乙绳所剩长度为17米，各剪去12米。
差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。解题规律：两个数的差÷(倍数-1 )= 标准数 标准数×倍数=另一个数。
例23.甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙?
解：2 8 ÷ ( 16-9 ) =4 (小时)答：甲4小时追上乙。
行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程=速度和×时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和×时间 同时同向而行(速度慢的在前，快的在后)：追及时间=路程速度差。 同时同地同向而行(速度慢的在后，快的在前)：路程=速度差×时间。
例24.一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米?
解：逆水速度为28-4 × 2=20 (千米) 2 0 × 2 =40 (千米)甲地到乙地的总时间是40 ÷( 4 × 2 ) =5 (小时)甲乙两地相距28 × 5=140 (千米)答：甲乙两地相距140千米。
流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。解题规律：船行速度=(顺水速度+ 逆流速度)÷2 流水速度=(顺流速度-逆流速度)÷2 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间 路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例25.某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人?
解：四班原有人为 168 ÷ 4-2+3=43 (人) 一班原有人数为 168 ÷ 4-6+2=38 (人); 二班原有人数为 168 ÷ 4-6+6=42 (人) 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 (人)。答：一班原有人数为38人，二班原有人数为42人，三班原有人数为45人，四班原有人数为43人。
还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
例26.沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。
解： 50 ×( 301-1 )÷( 201-1 ) =75 (米)答：改装后每相邻两根的间距为75米。
植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。解题规律：沿线段植树。棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1 株距=总路程÷(棵树-1) 总路程=株距×(棵树-1) 沿周长植树 棵树=总路程÷株距 株距=总路程÷棵树 总路程=株距×棵树
例27.参加美术小组的同学，每个人分得相同支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支?共有多少支色铅笔?
解：每人分得色笔支数为 ( 25-5 )÷( 12-10 ) =10 (支) 共有色笔数为 10 × 12+5=125 (支)。答：每人分得10只色笔，共有125支色笔
盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。解题规律： 总差额÷每人差额=人数 总差额的求法可以分为以下四种情况： 第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足
例28.父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍?
解： 21-( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年)答：12父亲的年龄是儿子的 4 倍
年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
分析：父子的年龄差为 48-21=27 (岁)。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是( 4-1 )倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年)
例29.鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只?
解：兔子只数 ( 170-2 × 50 )÷ 2 =35 (只) 鸡的只数 50-35=15 (只)答：鸡有15只，兔有35只
鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题。解题规律：(总腿数-鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
数量关系式： 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率和=合作时间
工程问题： 是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。
缴纳的税款叫应纳税款。 应纳税额与各种收入的(销售额、营业额、应纳税所得额 ……)的比率叫做税率。 * 利息 存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。 利息=本金×利率×时间
纳税 纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
常用的数量关系式1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式 1、正方形 （C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 （V:体积 a:棱长 ）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长 ）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab4、长方体 （V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh
5、三角形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高6、平行四边形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高 s=ah7、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高） 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷28、圆形 （S：面积 C：周长 л d=直径 r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л9、圆柱体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径
10、圆锥体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数13、和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)14、差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)15、相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间16、浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量17、利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
常用单位换算 长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
第一章 数和数的运算一 概念（一）整数1 整数的意义 自然数和0都是整数。 2 自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
数的整除整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最大的约数是1，最大的约数是10。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。 如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
••• -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 •••
（在我们数数时，用来表示物体个数的1，2，3•••）
1 2 3 4 5 6 7 8
1 000 000 000
十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
132 356 890
2 254 658 210
整数a除以整数b(b ≠ 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b(b ≠ 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。
因为15能被3整除，所以15是3的倍数，3是15的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
8的约数有哪些：16的约数有哪些：24的约数有哪些：36的约数有哪些：48的约数有哪些：
1、2、4、81、2、4、8、161、2、3、4、6、8、12、241、2、3、4、6、9、12、361、2、3、4、6、8、12、16、24、48
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
1的倍数有哪些：2的倍数有哪些：3的倍数有哪些：5的倍数有哪些：7的倍数有哪些：
1、2、3、4、5、6 ……2、4、6、8、10、12 …… 3、6、9、12、15、18 …… 5、10、15、20、25…… 7、14、21、28、35……
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
纯小数，带小数，无限小数，有限小数，无限循环小数，无限不循环小数
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线;分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。
近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。
比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大;最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大;分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。分数化成百分数：通常先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除，一直除到互质(或两两互质)为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ; 相邻的两个自然数互质; 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质; 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
约分的方法：用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
定义：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。
例1：合唱队有男队员28名，比女队员多12名 ，有女队员多少名？
解：28-12=16（名） 答：合唱队有女队员16名。
定义：有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。
含有三个已知条件的两步计算的应用题。
例2.畜牧场养山羊120只，养奶羊410只，养绵羊的只数是山羊和奶羊总数的4倍，养绵羊多少只？
解：山羊和奶羊的总数？ 120+410=530（只） 绵羊的只数？ 530×4=2120（只） 答：养绵羊2120只。
含有两个已知条件的两步计算的应用题。
例3.饲养小组养10只黑兔，养的白兔比黑兔多6只，一共养多少只兔？
解：养的白兔多少只？ 10+6=16（只） 一共养了多少只兔子？ 10+16=26（只） 答：一共养了26只兔子。
例4.一个商店运进5箱热水瓶，每箱12个，每个热水瓶卖11元，一共可以卖多少元？
解：5×12×11=660（元） 答：一共可以卖660元。
例5.三年级同学去参观农业展览，把90人分成2队，每队平均分成3组，每组有多少人？
解：90÷2÷3=15（人） 答：每组有15人。
a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。
例6：已知甲数是12，乙数是16，求甲乙两数的和是多少？
解：12+16=28 答：甲乙两数的和是28。
b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。
例7.已知甲数是16，乙数比甲数多6，求乙数是多少？
解：16+6=22 答：乙数是22。
a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。
例8：已知甲数是36，减去15后，求剩下部分是多少？
解：36-15=21 答：剩下部分是21。
b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。
例9.已知甲数是16，乙数11，求甲数比乙数多多少？
解：16-11=5 答：甲数比乙数多5。
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。
例10.已知甲数是16，乙数比甲数少7，求乙数是多少？
解：16-7=9 答：乙数是9。
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。
例11：已知8个9相加，求总数是多少？
解：8×9=72 答：总数是72。
b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。
例12.已知甲数是9，乙数是甲数的6倍，求乙数是多少？
解：9×6=54 答：乙数是54。
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。
例13：已知一个鸡场有600只鸡，将鸡分成8份，求每份有多少只鸡？
解：600÷8=75 答：每份有75只鸡。
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。
例14.已知甲数是72，每份为8，求可以分成多少份？
解：72÷8=9 答：可以分成9份。
c求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。
例15.已知甲数是16，乙数是80，求较大的数是较小的数的多少倍？
解：80÷16=5 答：较大的数是较小的数的5倍。
工作总量=工作时间×工效
平均数问题：平均数是等分除法的发展。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。数量关系式 (部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。
例16.下面是一个同学的某一科的考试成绩：平时测验 80， 期中 90， 期末 95，学校规定的科目成绩的计算方式是：平时测验占 20%，期中成绩占 30%，期末成绩占 50%。
解：加权平均值 =( 80*20% + 90*30% + 95*50% )/(20%+30%+50%）=90.5
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。数量关系式：(大数-小数)÷2=小数应得数 最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数 最大数与各数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例17.小明有45张画片，小林有21张画片，小明给小林多少张画片，两人的画片数才能一样多？
解：（45-21）÷2=12 答：小明给小林12张画片，两人的画片数才能一样多
归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。数量关系式：单一量×份数=总数量(正归一) 总数量÷单一量=份数(反归一)
例18. 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天?
解：6930÷（4774÷31）=45 答：织布 6930 米 ，需要45天。
归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量(或单位数量的个数)，通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位个数 = 另一个单位数量
例19. 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米?
解：800×6÷4=1200（米）答：实际4天修完，每天修了1200米。
和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。解题规律：(和+差)÷2 = 大数 大数-差=小数 (和-差)÷2=小数 和-小数= 大数
例20.某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人?
解：现在的乙班是( 9 4 - 12 )÷ 2=41 (人) 乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 (人) 甲班为 9 4 - 87=7 (人) 答：原来甲班有7人，乙班有87人。
和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数
例21.汽车运输场有大货车小汽车总共 115 辆，大货车比小汽车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
解：小汽车数为( 115-7 )÷( 5+1 ) =18 (辆)， 大货车数为 18 × 5+7=97 (辆)答：运输场有大货车97辆，小汽车18辆
例22.甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米? 各减去多少米?
解：乙绳剩下的长度( 63-29 )÷( 3-1 ) =17 (米)， 甲绳剩下的长度 17 × 3=51 (米) 剪去的长度29-17=12 (米) 答：甲绳所剩长度为51米，乙绳所剩长度为17米，各剪去12米。
差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。解题规律：两个数的差÷(倍数-1 )= 标准数 标准数×倍数=另一个数。
例23.甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙?
解：2 8 ÷ ( 16-9 ) =4 (小时)答：甲4小时追上乙。
行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程=速度和×时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和×时间 同时同向而行(速度慢的在前，快的在后)：追及时间=路程速度差。 同时同地同向而行(速度慢的在后，快的在前)：路程=速度差×时间。
例24.一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米?
解：逆水速度为28-4 × 2=20 (千米) 2 0 × 2 =40 (千米)甲地到乙地的总时间是40 ÷( 4 × 2 ) =5 (小时)甲乙两地相距28 × 5=140 (千米)答：甲乙两地相距140千米。
流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。解题规律：船行速度=(顺水速度+ 逆流速度)÷2 流水速度=(顺流速度-逆流速度)÷2 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间 路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例25.某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人?
解：四班原有人为 168 ÷ 4-2+3=43 (人) 一班原有人数为 168 ÷ 4-6+2=38 (人); 二班原有人数为 168 ÷ 4-6+6=42 (人) 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 (人)。答：一班原有人数为38人，二班原有人数为42人，三班原有人数为45人，四班原有人数为43人。
还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
例26.沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。
解： 50 ×( 301-1 )÷( 201-1 ) =75 (米)答：改装后每相邻两根的间距为75米。
植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。解题规律：沿线段植树。棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1 株距=总路程÷(棵树-1) 总路程=株距×(棵树-1) 沿周长植树 棵树=总路程÷株距 株距=总路程÷棵树 总路程=株距×棵树
例27.参加美术小组的同学，每个人分得相同支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支?共有多少支色铅笔?
解：每人分得色笔支数为 ( 25-5 )÷( 12-10 ) =10 (支) 共有色笔数为 10 × 12+5=125 (支)。答：每人分得10只色笔，共有125支色笔
盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。解题规律： 总差额÷每人差额=人数 总差额的求法可以分为以下四种情况： 第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足
例28.父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍?
解： 21-( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年)答：12父亲的年龄是儿子的 4 倍
年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
分析：父子的年龄差为 48-21=27 (岁)。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是( 4-1 )倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年)
例29.鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只?
解：兔子只数 ( 170-2 × 50 )÷ 2 =35 (只) 鸡的只数 50-35=15 (只)答：鸡有15只，兔有35只
鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题。解题规律：(总腿数-鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
数量关系式： 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率和=合作时间
工程问题： 是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。
缴纳的税款叫应纳税款。 应纳税额与各种收入的(销售额、营业额、应纳税所得额 ……)的比率叫做税率。 * 利息 存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。 利息=本金×利率×时间
纳税 纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
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