福建省福州市2020届高三下学期3月高考第一次模拟适应性测试（线上） 数学（理） Word版含答案

准考证号　　　　　　　　　　　　　姓名　　　　　.

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

福州市2020届高三毕业班第一次模拟适应性练习卷

理科数学试题

（完卷时间120分钟；满分150分）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．

注意事项：

1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
3. 考试结束，考生必须将答题卡交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在复平面内，复数对应的点与对应的点关于实轴对称，则
   A． B． C． D．
2. 已知集合，．若，则实数
   A． B． C． D．
3. 已知两个单位向量，若，则的夹角为
   A． B． C． D．
4. 一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是
   A．这组新数据的平均数为 B．这组新数据的平均数为
   C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的标准差为
5. 已知平面平面，直线，则“”是“”的
   A．充分不必要条件  B．必要不充分条件
   C．充要条件  D．既不充分也不必要条件
6. 若，则
   A． B． C． D．
7. 若，则
   A． B． C．或 D．或
8. 抛物线的焦点为，点为上的动点，点为的准线上的动点，当为等边三角形时，其周长为
   A． B．2 C． D．
9. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数，的部分图象如图所示，则
   A.为为为 B.为为为
   C.为为为 D.为为为
10. 射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为
    （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
    A． B． C． D．
11. 已知双曲线的一条渐近线方程为，是上关于原点对称的两点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为
    A． B． C． D．
12. 在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且．三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为
    A． B． C． D．

第Ⅱ卷

注意事项：

用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 曲线在点处的切线方程为________．
14. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．
15. 已知的内角的对边分别为．若，则角大小为_____．
16. 已知函数是定义在上的偶函数．，且，都有,则不等式的解集为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. （本小题满分12分）

已知数列满足，，设．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18. （本小题满分12分）

为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

参考公式及数据：.

19. （本小题满分12分）

在底面为菱形的四棱柱中，平面.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆()的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切．

（1）求的方程；

（2）直线交于，两点，且．已知上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，若在直线的右下方，求的值．

21. （本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数的极值点；

（2）当时,当函数恰有三个不同的零点,求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22. （本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程

已知直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点为上的任意一点，求到距离的取值范围．

23. （本小题满分10分）选修：不等式选讲

已知，且．

（1）求的取值范围；

（2）求证：．