河南省洛阳市汝阳县2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份河南省洛阳市汝阳县2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省洛阳市汝阳县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的将正确的答案代号字母填入题后括号内.每小题3分，共30分）
1．方程x2＝x的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣1
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
4．下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝
5．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，AB＝9，BD＝3，则CE的长等于（　　）

A．1 B． C． D．2
6．某商品原来按进价百分之二十的利润定价，进价受原材料价格影响连续两次下跌，售价相应调整为原来售价的八折，利润恰好与原来持平，设进价两次下跌的平均百分率为x，则由题意，可列方程为（　　）
A．20%×0.8﹣（1﹣x）2＝20%
B．20%×0.8﹣1＝（1+20%）﹣（1﹣x）2
C．（1+20%）×0.8﹣（1﹣x）2＝20%
D．（1+20%）×0.8﹣1＝（1+20%）﹣（1﹣x）2
7．直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（　　）

A．3﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣5
8．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b＝2a﹣b2，则方程（2★1）★x＝﹣10的解为（　　）
A．±4 B．±3 C．±2 D．±1
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
10．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题每小题3分共15分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．观察表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0最精确的一个近似解是　 　（精确到0.1）．
x
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
13．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'的坐标是　 　．

14．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　．

15．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　 　．（只填序号）

三、解答题（共8个小题，满分75分，要求写出必要的规范的解答步骤.）
16．已知y＝++18，求代数式﹣的值．
17．画图题．
在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1．请画出符合下列要求的图形：
（1）图1中将三角形A的各条边按1：3放大，得到三角形B；
（2）图2中将长方形C的各条边按2：1缩小，得到长方形D．

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；

19．无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？

20．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC＝BD•AC；
（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．

21．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解．
22．探索一个问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半（完成下列空格）．
（1）当已知矩形A的边长分别是6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x，y，由题意得方程组，消去y化简得2x2﹣7x+6＝0：
∵△＝49﹣48＞0，x1＝　 　；x2＝　 　；所以满足要求的B存在；
（2）如果已知矩形A的边长分别是2和1，请你仿照小亮方法研究是否存在满足要求的矩形B；
（3）如果矩形A的边长为m，n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
23．如图1，矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，
（1）请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；
（2）如图2，矩形AEGH绕点A旋转一定角度，此时HD：GC：EB的结果与（1）的结果有变化吗？如有变化，写出变化后结果并说明理由；若无变化，请说明理由．



参考答案
一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的将正确的答案代号字母填入题后括号内.每小题3分，共30分）
1．方程x2＝x的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣1
【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：方程变形得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
故选：B．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． +＝2，所以B选项不符合题意；
C．原式＝2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝﹣＝3﹣2＝1，所以D选项符合题意；
故选：D．
3．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
4．下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
解：A、2×5≠3×4，故选项错误；
B、1×4＝2×2，故选项正确；
C、4×10≠5×6，故选项错误；
D、×3≠×，故选项错误．
故选：B．
5．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，AB＝9，BD＝3，则CE的长等于（　　）

A．1 B． C． D．2
【分析】通过△ABD∽△DCE，可得，即可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝9，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝3，
∴CD＝6，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴＝，
∴CE＝2，
故选：D．
6．某商品原来按进价百分之二十的利润定价，进价受原材料价格影响连续两次下跌，售价相应调整为原来售价的八折，利润恰好与原来持平，设进价两次下跌的平均百分率为x，则由题意，可列方程为（　　）
A．20%×0.8﹣（1﹣x）2＝20%
B．20%×0.8﹣1＝（1+20%）﹣（1﹣x）2
C．（1+20%）×0.8﹣（1﹣x）2＝20%
D．（1+20%）×0.8﹣1＝（1+20%）﹣（1﹣x）2
【分析】利用利润＝销售价格﹣进价，结合调整售价后获得的利润恰好与原来持平，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：（1+20%）×0.8﹣（1﹣x）2＝20%，
故选：C．
7．直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（　　）

A．3﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣5
【分析】先从一次函数的图象判断m﹣3的正负值，n﹣2的正负值，然后再化简原代数式．
解：直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象可知，
n﹣2＜0，m﹣3＞0．
|m﹣3|﹣
＝m﹣3﹣
＝m﹣3+n﹣2
＝m+n﹣5
故选：D．

8．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b＝2a﹣b2，则方程（2★1）★x＝﹣10的解为（　　）
A．±4 B．±3 C．±2 D．±1
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
解：根据题中的新定义得：2★1＝4﹣1＝3，
∴（2★1）★x＝3★x＝6﹣x2，
方程变形得：6﹣x2＝﹣10，即x2＝16，
开方得：x＝±4．
故选：A．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，
当△PAE∽△PBC时，＝，即＝，
解得，x＝，
当△PAE∽△CBP时，＝，即＝，
解得，x＝2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：C．
二、填空题（共5小题每小题3分共15分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≤　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得，3﹣4x≥0，
解得，x≤，
故答案为：x≤．
12．观察表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0最精确的一个近似解是　1.7　（精确到0.1）．
x
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
【分析】根据表格中的数据和题意可以解答本题．
解：由表格可知，
当x＝1.7时，y＝0.09与y＝0最接近，
故答案为：1.7．
13．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'的坐标是　（2，4）或（﹣2，﹣4）　．

【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
解：如图，

∵△OAB∽△OA′B′，相似比为3：2，B（3，6），
∴B′（2，4），根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″（﹣2，﹣4），
∴满足条件的点B′的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
故答案为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
14．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　2　．

【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH＝OA＝（6﹣2）＝2．
∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝4，
同理△PHE中，HE＝PH＝2．
∴HG＝HE+EG＝2+2＝4．
∴在Rt△PHG中，PG＝．
故答案是2

15．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　②　．（只填序号）

【分析】仿照案例，构造面积是（x+x﹣4）2的大正方形，由它的面积为4×12+42，可求出x＝6，此题得解．
解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，
∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，
据此易得x＝6．
故答案为：②．
三、解答题（共8个小题，满分75分，要求写出必要的规范的解答步骤.）
16．已知y＝++18，求代数式﹣的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y，根据二次根式的性质计算即可．
解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，
则x＝8，y＝18，
﹣＝﹣＝2﹣3＝﹣．
17．画图题．
在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1．请画出符合下列要求的图形：
（1）图1中将三角形A的各条边按1：3放大，得到三角形B；
（2）图2中将长方形C的各条边按2：1缩小，得到长方形D．

【分析】（1）如图1，以点O为位似中心，把三角形A放大3倍；
（2）如图2，以点O为位似中心，把正方形C缩小2倍．
解：（1）如图1，三角形B为所作；

（2）如图2，长方形D为所作；

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；

【分析】（1）由三角形的内角和定理可证∠PBC＝∠PAB，即可证△PAB∽△PBC；
（2）由相似三角形的性质可得，且AB＝BC，可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB，且∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC；
（2）∵△PAB∽△PBC
∴
在 Rt△ABC 中，AC＝BC，
∴AB＝BC，
∴PB＝PC，PA＝PB，
∴PA＝2PC．
19．无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？

【分析】（1）设日均销售p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为：p＝kx+b（k≠0），把（7，500），（12，250）代入，得到关于k，b的方程组，解方程组即可；
（2）设销售单价应定为x元，根据题意得，（x﹣5）•p﹣250＝1350，由（1）得到p＝﹣50x+850，于是有（x﹣5）•（﹣50x+850）﹣250＝1350，然后整理，解方程得到x1＝9，x2＝13，满足7≤x≤12的x的值为所求；
解：（1）设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p＝kx+b，
根据题意得
解得k＝﹣50，b＝850，
所以日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p＝﹣50x+850；

（2）根据题意得一元二次方程 （x﹣5）（﹣50x+850）﹣250＝1350，
解得x1＝9，x2＝13（不合题意，舍去），
∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，
∴x＝13不合题意，
答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．
20．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC＝BD•AC；
（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．

【分析】（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD＝DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE•BC＝BD•AC；
（2）根据三角形面积公式与S△ADE＝3，S△BDE＝2，可得AD：BD＝3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．…（1分）
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE…（1分）
∴∠ABE＝∠DEB．
∴BD＝DE，…（1分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴…（1分）
∴，
∴AE•BC＝BD•AC；…（1分）

（2）解：设△ABE中边AB上的高为h．
∴，…
∵DE∥BC，
∴． …（1分）
∴，
∴BC＝10． …
21．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　﹣2　，x3＝　1　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解．
【分析】（1）通过因式分解把方程转化为x（x2+x﹣2）＝0，再用因式分解法求解x2+x﹣2＝0即可；
（2）方程两边平方，把无理方程先转化为整式方程，求解整式方程并检验．
解：（1）x3+x2﹣2x＝0，
x（x2+x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣1）＝0．
∴x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0．
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1．
故答案为：﹣2，1．
（2）方程＝x两边平方，得2x+3＝x2，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x1＝3，x2＝﹣1．
经检验，x＝3是原方程的解．
所以原方程的解为：x＝3．
22．探索一个问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半（完成下列空格）．
（1）当已知矩形A的边长分别是6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x，y，由题意得方程组，消去y化简得2x2﹣7x+6＝0：
∵△＝49﹣48＞0，x1＝　2　；x2＝　　；所以满足要求的B存在；
（2）如果已知矩形A的边长分别是2和1，请你仿照小亮方法研究是否存在满足要求的矩形B；
（3）如果矩形A的边长为m，n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
【分析】（1）直接利用求根公式计算即可；
（2）参照（1）中的解法解题即可；
（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．
解：（1）2x2﹣7x+6＝0，
∵△＝49﹣48＝1＞0，
∴x＝，
∴x1＝2，x2＝，
∴满足要求的矩形B存在．
故答案为2，；

（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
，
消去y化简，得
2x2﹣3x+2＝0，
∵△＝9﹣16＜0，
∴不存在矩形B．
（3），
∴2x2﹣（m+n）x+mn＝0，
∴△＝（﹣m﹣n）2﹣8mn＝（m+n）2﹣8mn≥0
∴当（m+n）2﹣8mn≥0时，矩形B存在．
23．如图1，矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，
（1）请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；
（2）如图2，矩形AEGH绕点A旋转一定角度，此时HD：GC：EB的结果与（1）的结果有变化吗？如有变化，写出变化后结果并说明理由；若无变化，请说明理由．

【分析】（1）作GF⊥CD于点F，连接AG，先证明△GFC∽△AHG，再根据勾股定理将线段FC和GC都用含GF的式子表示，得到HD：GC：EB＝1：：2；
（2）由旋转得∠DAH＝∠CAG＝∠BAE，可证明△DAH∽△CAG∽△BAE，进而证明HD：GC：EB＝1：：2，可知HD：GC：EB的结果无变化．
解：（1）如图1，作GF⊥CD于点F，连接AG，则∠DFG＝∠GFC＝90°，
∵四边形AEGH和四边形ABCD都是矩形，
∴∠D＝∠AHG＝∠EGH＝90°，AB＝DC，AE＝HG，
∴∠DHG＝180°﹣∠AHG＝90°，
∴四边形DFGH是矩形，
∴HG＝DF，HD＝GF，∠FGH＝90°，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
整理得＝，
∵∠GFC＝∠AHG，
∴△GFC∽△AHG，
∴∠FGC＝∠HAG，
∴∠FGC+∠HGA＝∠HAG+∠HGA＝90°，
∴∠FGC+∠HGA+∠FGH＝180°，
∴点A、G、C在同一条直线上，
∴点G在矩形ABCD的对角线AC上，
由＝得＝＝＝，
∴FC＝2GF，
∴GC＝＝GF，
∴GF：GC：FC＝GF：GF：2GF＝1：：2，
∵∠FGH+∠EGH＝180°，
∴点E、G、F在同一条直线上，
∵∠B＝∠BCF＝∠CFE＝90°，
∴FC＝EB，
∴HD：GC：EB＝1：：2．
（2）无变化，
理由：如图1，∵HG∥DC，EG∥BC，
∴＝＝，
∴＝，＝，
∵AE＝HG＝2AH，
∴AG＝＝AH，
∴AH：AG：AE＝AH：AH：2AH＝1：：2，
如图2，由旋转得，∠DAH＝∠CAG＝∠BAE，
∴△DAH∽△CAG∽△BAE，
∴＝＝，＝＝，
∴HD：GC：EB＝1：：2，
∴HD：GC：EB的结果无变化．