高中数学人教版新课标A必修33.3.1几何概型导学案

必修3学案             §3.3.2几何概型(2)         姓名      

☆学习目标：1. 了解均匀随机数的概念；

2. 掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法；

3. 会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．

☻知识情境：

 1. 基本事件的概念:  一个事件如果                      事件，就称作基本事件.

基本事件的两个特点:

10.任何两个基本事件是      的；

20.任何一个事件(除不可能事件)都可以                 .

2. 古典概型的定义

     古典概型有两个特征：

10.试验中所有可能出现的基本事件         ；

20.各基本事件的出现是         ，即它们发生的概率相同．

具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.

3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：

.

4.几何概型的概念：10.将每个基本事件理解为从某个特定的几何         ，该区域中每

一点被取到的机会都一样；

20.一个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的             ．

用这种方法处理随机试验，称为几何概型．

5.几何概型的概率公式：在区域中随机地取一点, 记事件＂该点落在其内部一个区

域内＂，则事件发生的概率为：

.

☻自我评价：

1.  (1)在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求：小于的概率．

(2) ，，，

在线段上任取一点，

试求： 为钝角三角形的概率．

2.  有一个半径为的圆，现在将一枚半径为硬币向圆投去，

如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，

试求：硬币完全落入圆内的概率．

3. (会面问题)两人相约7点到8点在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时离去．

求：两人会面的概率．

4. 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求：任一人在该车站等车时间少于3分钟的概

率（假定车到来后每人都能上）．

☆问题探究：用随机模拟的方法估计圆周率的值.

        在如图的正方形中, 随机地撒一把豆子, 每个豆子落在正方形内

   任何一点是等可能的, 落在每个区域的豆子数与这个区域的面

积成正比. 即

            假设正方形的边长为2, 则

            由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的, 所以

            这样一来就得到了的近似值.

可以发现, 随着试验次数的增加, 的近似值的精确度会越来越高.

 ☆感悟：利用几何概型, 并通过随机模拟的方法可以近似地计算不规则图形的面积.

☆例题学习：

例1 利用随机模拟的方法计算所围成的图形(图中阴影部分)的面积.

 解 (1)利用计算器或计算器产生两组0~1区间的均匀随机数,

           ;

    (2)进行平移和伸缩变换:

    (3)数出落在阴影内的点数: 即满足                 的数对.

    (4)用几何概型公式计算阴影部分)的面积.

       假如做1000次实验, 即, 数得, 那么.

例2  利用随机模拟的方法计算曲线，，和所围成的图形的面积.

☻试一试

１.如图,某人向圆内投镖, 如果他每次都投入圆内，

那么他投中正方形区域的概率为（　　）

．    ． 　  ． 　 ．

２.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，

若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，         第1题

那么他投中阴影部分的概率为（　　）                            第2题

．    ． 　  ． 　 ．

３.现有的蒸馏水, 假定里面有一个细菌,现从中抽取的蒸馏水,

则抽到细菌的概率为(     )

．     ．     ．　    ．

4.利用随机模拟的方法近似计算所围成区域的面积.

参考答案:

区域内随机地取一点     某个指定区域中的点

☻自我评价：

1.（1）分析：点随机地落在线段上，故线段为区域．当点位于图中线段

内时，，故线段即为区域．

解：在上截取．于是

．  答：小于的概率为．

（2）解：如图，由平面几何知识：

当时，；

当时，，．

当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形

记＂为钝角三角形＂为事件，则

即为钝角三角形的概率为．

2. 解：由题意，如图，因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的，

所以硬币的中心均匀地分布在半径为的圆内，且只有中心落入与圆同心且半径为

的圆内时，硬币才完全落如圆内．

记＂硬币完全落入圆内＂为事件，则．

答：硬币完全落入圆内的概率为．

3. 因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成．

以7点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为 

Ω:{(x,y) | 0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形．会面的充要条件是|x－y| ≤20，

即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分．

P(A)=

4. 可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为，

则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (,+5)，记A={等车时间少于3分钟}，

则他到站的时刻只能为g = (+2, +5)中的任一时刻，

故P(A)=               ．

例2

解：（１）利用计算器或计算机产生两组到区间上的随机数，，；

（２）进行平移变换：；（其中分别为随机点的横坐标和纵坐标）

（３）数出落在阴影内的点数，用几何概型公式计算阴影部分的面积．

例如，做次试验，即，模拟得到，

所以  ，即．