数学必修33.1.3概率的基本性质同步训练题

这是一份数学必修33.1.3概率的基本性质同步训练题，共6页。
2．掌握事件的交、并运算，理解互斥事件和对立事件的概念及关系．
3．掌握概率的性质，并能用之解决有关问题．
1．事件的关系
(1)包含关系．
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A____，则事件B一定____，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作____(或AB)．不可能事件记作____，任何事件都包含不可能事件，即______．
类比集合，事件B包含事件A可用图表示，如图所示．
(2)相等关系．
一般地，若______，且______，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B．
类比集合，事件A与事件B相等可用图表示，如图所示．
【做一做1】 同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有( )
A．MN B．MN C．M＝N D．M＜N
2．事件的运算
(1)并事件．
若某事件C发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的____(或和事件)，记作C＝______(或C＝A＋B)．
类比集合的运算，事件A与事件B的并事件可用图表示，即如图所示的阴影部分．
(2)交事件．
若某事件C发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝______(或C＝AB)．
类比集合，事件A与事件B的交事件可用图表示，即如图所示的阴影部分．
(3)互斥事件．
若A____B为______(A∩B＝)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是，事件A与事件B在任何一次试验中______发生．
①事件A、事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，即事件A与B互不包含，AB，BA．
②如果事件A与事件B是互斥事件，那么A与B这两个事件同时发生的概率为0.
③与集合类比，可用图表示，如图所示．
(4)对立事件．
若A∩B为____事件，A∪B为____事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中______一个发生．
①对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
③从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．
【做一做2－1】 抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝{向上的点数是1}，事件Q＝{向上的点数是3或4}，M＝{向上的点数是1或3}，则P∪Q＝__________，M∩Q＝__________.
【做一做2－2】 在30件产品中有28件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是__________．
3．概率的几个性质
(1)范围．
任何事件的概率P(A)∈______.
(2)必然事件的概率．
必然事件的概率P(A)＝____.
(3)不可能事件的概率．
不可能事件的概率P(A)＝____.
(4)概率加法公式．
如果事件A与事件B互斥，则有P(A∪B)＝______.
①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．
③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
(5)对立事件的概率．
若事件A与事件B互为对立事件，那么A∪B为必然事件，则有P(A∪B)＝______＋______＝1.
①公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．
②当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率．
【做一做3－1】 事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于( )
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．1
【做一做3－2】 已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，且A与B是互斥事件，则P(A∪B)＝__________.
答案：1．(1)发生 发生 BA A (2)BA AB
【做一做1】 A 事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生．则有MN.
2．(1)或 并事件 A∪B (2)且 A∩B (3)∩ 不可能事件 不会同时 (4)不可能 必然 有且仅有
【做一做2－1】 {向上的点数是1或3或4} {向上的点数是3}
【做一做2－2】 至少有一件是二级品
3．(1)[0,1] (2)1 (3)0 (4)P(A)＋P(B) (5)P(A) P(B)
【做一做3－1】 A P(B)＝1－P(A)＝0.4.
【做一做3－2】 0.3 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
1．若事件A与事件B不互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立
剖析：否定一个等式不成立，只需举出一个反例即可．
例如：抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是1或2或3或4或5或6为事件A，且A＝B，则A∪B表示向上的点数是1或2或3或4或5或6，则P(A)＝P(B)＝P(A∪B)＝1，P(A)＋P(B)＝1＋1＝2，
所以此时P(A∪B)≠P(A)＋P(B)，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．
上例中P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立的原因是事件A与事件B不是互斥事件．
其实对于任意事件A与B，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)(不要求证明也不要求会用)，那么当且仅当A∩B＝，即事件A与事件B是互斥事件时，P(A∩B)＝0，此时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)成立．
2．事件与集合之间的对应关系
剖析：事件与集合之间的对应关系如下表：
题型一 判断互斥(对立事件)
【例题1】 判断下列各事件是否是互斥事件，如果是互斥事件，那么是否是对立事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；
(3)至少有1名男生和全是女生．
反思：判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断．当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件．
题型二 概率加法公式的应用
【例题2】 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21，0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
分析：(1)利用互斥事件的概率加法公式解决；(2)转化为求对立事件的概率．
反思：求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并(如本题(1))，二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率(如本题(2))．
题型三 易错辨析
【例题3】 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是eq \f(1,6)，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．
错解：设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3.
P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝eq \f(1,6).
则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,2).
P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,2).
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1.
错因分析：错解的原因在于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．
答案：
【例题1】 解：(1)是互斥事件．理由是在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．
不是对立事件．理由是当选出的2名同学都是女生时，这两个事件都没有发生，所以不是对立事件．
(2)不是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果，当选出的是1名男生、1名女生时，它们同时发生．
这两个事件也不是对立事件．理由是这两个事件能同时发生，所以不是对立事件．
(3)是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．
是对立事件．理由是这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，所以是对立事件．
【例题2】 解：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，
则“射中10环或7环”的事件为A∪B，事件A和事件B是互斥事件，
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设“射中7环以下”为事件C，“射中7环或8环或9环或10环”为事件D，
则P(D)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.
又事件C和事件D是对立事件，
则P(C)＝1－P(D)＝1－0.97＝0.03.
所以射中7环以下的概率是0.03.
【例题3】 正解：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4.
故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).
1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30% C．10% D．50%
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，且已知P(A)＝0.65，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3
4．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件；哪些是对立事件．
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6,7,8,9,10环．
5某公务员去外地开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4，求：
(1)他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率．
答案：1．D A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以B项不符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意．
2．D 甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.
3．C 设抽到的不是一等品为事件B，则A与B不能同时发生，且必有一个发生，则A与B是对立事件，
故P(B)＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
4．分析：要判断所给的事件是对立事件还是互斥事件，首先要将这两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中必有一个发生．
解：A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．C与D是对立事件．
5．解：设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去为事件C，乘飞机去为事件D，它们彼此互斥，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P(D)＝0.4.
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设不乘轮船去开会为事件E，则P(E)＝P(A∪C∪D)＝P(A)＋P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＋0.4＝0.8，
另解：E与B是对立事件，
则P(E)＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
事件
集合
必然事件
全集
不可能事件()
空集()
事件B包含于事件A(BA)
集合B包含于集合A(BA)
事件B与事件A相等(B＝A)
集合B与集合A相等(B＝A)
事件B与事件A的并事件(B∪A)
集合B与集合A的并集(B∪A)
事件B与事件A的交事件(B∩A)
集合B与集合A的交集(B∩A)
事件B与事件A互斥(B∩A＝)
集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝)
事件A的对立事件
集合A的补集()