2021届天津市河西区高三上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2021届天津市河西区高三上学期期末考试数学试卷（解析版）

河西区2020—2021学年度第一学期高三年级期末质量调查数学试卷共150分，考试用时120分钟一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，，，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用补集运算求出，即可根据并集运算求出．【详解】因为，所以，故．故选：B．【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题．2. 已知命题，，则命题的否定是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.【详解】命题为特称命题，其否定为，.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.3. 某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（ ）A. 35 B. 45 C. 54 D. 63【答案】C【解析】【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，知高三年级学生的数量占总数的，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，高三年级被抽到的人数为21人，能求出n.【详解】解：∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，∴高三年级学生的数量占总数的，∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，∴n＝2154.故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的应用，是基础题.4. 函数是定义在上的奇函数，且当时，(为常数)，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得，可得当时，，利用即可得解.【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，，，解得，当时，，.故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用指数和对数的单调性求解.【详解】因为，，，所以故选：A6. 已知正方体的体积是，则这个正方体的外接球的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.【详解】正方体的体积为，则正方体棱长，正方体的外接球半径为体对角线的一半，即，故.故选：B.【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.7. 将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，所得函数的图像关于轴对称，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化为，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.【详解】，将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，可得，此函数图像关于轴对称，则，解得，因，则当时， 取得最小值.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础题.8. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合抛物线的性质可得，进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出，再利用双曲线的性质即可得解.【详解】抛物线，该抛物线的准线为，又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，点在直线上，即，抛物线的焦点为，又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，双曲线的左顶点为，，双曲线的渐近线方程为，由点在双曲线的其中一条渐近线上可得即，双曲线的焦距.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.9. 在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，，，，建立空间直角坐标系，设，得到，再求得的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为，，，，所以，设所以，所以，，所以，当时，的最小值为，故选：B.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 设，若是实数，则____________．【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用虚部为零可得结果.【详解】是实数，，得，故答案为2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11. 二项式的展开式中的常数项为__________.【答案】15【解析】【分析】由该二项式的通项公式即可得出.【详解】由题意可得，通项为，令，得，所以常数项为，故答案为：.12. 过点的直线l与圆相切，则直线l在y轴上的截距为__________．【答案】4【解析】【分析】根据题意，分析可得点在圆上，根据垂直关系求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，根据截距的定义可得结果.【详解】因为，所以点在圆上，∴切线l的斜率，则切线l的方程为，变形可得，所以直线l在y轴上的截距为4；故答案为：4.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了直线的截距，属于基础题.13. 一袋中装有6个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则袋中白球的个数为_____；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为_____.【答案】 (1). 3 (2). 1.【解析】【分析】设白球个数为m，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算m，计算X的各种取值对应的概率，再计算数学期望.【详解】设袋中有白球m个，则有黑球6﹣m个，设事件A：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，则P（A）＝1，解得3，即3，解得m＝3或m＝8（舍），由从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X可能的取值为，则P（X＝0）＝1，P（X＝1），P（X＝2），∴E（X）＝0121.故答案为：3，1.【点睛】本题主要考查了组合数的运算，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中熟记组合数的计算公式，找出随机变量的取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查分析问题与解答问题，以及推理与计算能力.14. 已知，且，则的最小值为______________.【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式求得的最小值，进而求得的最小值，即可得到答案.【详解】由题意，设，又由，当且仅当时，即时等号成立，即的最小值为，所以的最小值是.故答案为.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15. 已知函数，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】方程有且只有三个不相等的实数解，可转化为与图象有三个交点，画出函数图象，数形结合求解k的取值范围.【详解】方程有且只有三个不相等的实数解，可转化为与图象有三个交点，画出，与图象如图，与相切时，，过点时，，根据图象可知，时，两图象有三个交点，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围时，故答案为：【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在的内角的对边分别是，满足.（1）求角的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；（2）由正弦定理求得,并根据边的大小关系判定为锐角，然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算.【详解】解：（1）∵，由正弦定理得，.化简得，.由余弦定理得，.又，∴.（2）由（1）知，，又，，∴.又，∴.∴，，∴.【点睛】本题考查正余弦定理的综合运用，涉及二倍角公式和两角和差的三角函数公式，属中等难度的题目.关键是熟练利用正弦定理，余弦定理和三角恒等变形计算.17. 如图，四棱柱的底面为菱形，底面，，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的长为2（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）取的中点，根据三角形中位线和菱形特点可证得四边形是平行四边形，从而得到，根据线面平行判定定理证得结论；（Ⅱ）通过等腰三角形和线面垂直可证得两两互相垂直，则可将作为原点建立空间直角坐标系，利用线面角正弦值的向量求法建立关于的方程，解方程得到结果；（Ⅲ）根据二面角的空间向量求法求解出二面角的余弦值，再根据同角三角函数关系得到所求正弦值.【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，分别为中点且，又且且 四边形是平行四边形又平面，平面，平面（Ⅱ）解：在菱形中， 是等边三角形，又为中点，又 又平面 ， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：设则，，，设平面的法向量，，即令，则， 设直线与平面所成的角为则解得：，即的长为（Ⅲ）设平面的法向量，，即令，则， 设二面角的平面角为则，即二面角的正弦值为【点睛】本题考查线面平行关系的证明、利用线面角求解其他量、二面角的求解问题，考查学生对于向量法求解立体几何中角度问题的掌握，考查学生的计算能力，属于常规题型.18. 设等差数列的公差为d，d为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，，（1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.【答案】（1）＝2n﹣1，（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差与公比，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．详解】解：（1）有题意可得：，解得（舍去）或，所以＝2n﹣1，．（2）∵，，∴①，②，①﹣②可得，故．【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19. 已知椭圆的离心率为，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且的面积是．Ⅰ.求椭圆C的方程；Ⅱ.设直线与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为（与不重合），则直线与x轴交于点H，求面积的取值范围．【答案】I. ；II.【解析】【分析】I.根据离心率和以及可求得的值，从而得到椭圆方程；II.联立直线方程与椭圆方程，假设坐标，可得坐标及根与系数的关系式：，；根据直线的两点式方程表示出点坐标，代入根与系数关系式可求得，从而将所求面积变为：，换元整理后得到，利用求得所求面积的取值范围.【详解】I.由得：则 则，解得：，则，椭圆的标准方程为：II. 由与不重合可知：联立，整理可得：，设，，则则，直线的方程为：令，解得：又，则即直线与轴交点为：，令，则当时，单调递增，则，又【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的三角形面积的取值范围问题，解题的关键是能够通过已知条件确定出点坐标，从而将所求面积转化为求解函数值域的问题，通过函数值域的求法求得所求范围，本题思路虽然不复杂，但计算量较大，属于偏难题.20. 已知函数，函数，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数()，讨论的单调性；（3）若对任意，恒有关于的不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）答案见解析.（3）【解析】【分析】（1）由函数，求导得到， 再求得，，写出切线方程（2）易得，由在上恒成立，根据，分，讨论求解. （3）根据对任意，恒有关于的不等式成立，转化为，对任意恒成立，设(，用导数法求其最小值即可.【详解】（1）因为所以， 所以. 因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为. （2）易知，函数的定义域为，，且有. 因为在上恒成立，所以①当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增. ②当时，由，即，解得；由，即，解得.所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增. （3）因为对任意，恒有关于的不等式成立，所以 ，对任意恒成立，设().易得，.令，，所以.显然，当时，恒成立.所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立. 所以，函数在单调递减.所以有，所以.故所求实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数几何意义，导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.