2021届北京市朝阳区高三上学期期末考试数学试题

这是一份2021届北京市朝阳区高三上学期期末考试数学试题

北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期末质量检测 高三年级数学试卷 2021．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，则=（A） （B） （C） （D）（2）已知向量，，且，则（A） （B） （C） （D）（3）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）（4）已知等比数列的各项均为正数，且，则（A） （B） （C） （D）（5）设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点．若，则（A） （B） （C） （D）（6）已知函数，给出下列四个结论： = 1 \* GB3 ①函数是周期为的偶函数； = 2 \* GB3 ②函数在区间上单调递减； = 3 \* GB3 ③函数在区间上的最小值为； = 4 \* GB3 ④将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合．其中，所有正确结论的序号是（A） = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ （B） = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③（C） = 1 \* GB3 ① = 4 \* GB3 ④ （D） = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④（7）已知定义在上的奇函数满足，且，当时，．设，，，则的大小关系为（A） （B） （C） （D）（8）已知圆，直线，则“与相交”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）已知双曲线（，）的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则的离心率为（A） （B） （C） （D）（10）在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（A） （B）（C） （D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）设．若复数为纯虚数，则________，________．（12）在的展开式中，常数项是________．（用数字作答）（13）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从，，，，，，，，，这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为________．（14）若函数为偶函数，则常数的一个取值为________．（15）设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则；④若函数具有性质，则．其中，正确结论的序号是________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。（17）（本小题13分）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：（Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；（Ⅱ）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（19）（本小题15分）已知椭圆过点，且的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．（20）（本小题15分）已知函数（）．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若恰有两个零点，求实数的取值范围．（21）（本小题15分）已知无穷数列满足：，（，）．对任意正整数，记，．（Ⅰ）写出，；（Ⅱ）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；（Ⅲ）求集合．北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期末质量检测 高三数学参考答案 2021．1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）C （3）A （4）C （5）C（6）D （7）A （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）； （12）（13） （14）（答案不唯一）（15）① = 3\* GB3 ③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：选条件①：．（Ⅰ）在中，因为，所以．因为，且，，，所以．化简得，解得或．当时，，与题意矛盾．所以，所以． 9分（Ⅱ）因为，，所以．所以． 13分选条件②：．（Ⅰ）在中，因为，所以由得．因为，且，，，所以．解得． 9分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以．因为，，所以．所以． 13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题知A地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分，所以从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率是． 3分（Ⅱ）由题可知的可能取值为0，1，2．；；．所以的分布列如下表：所以的数学期望． 10分（Ⅲ）． 13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为四边形为菱形，所以．又因为，为的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以． 4分（Ⅱ）连结．因为，为的中点，所以．由（Ⅰ）可知平面，所以，．设，则．如图，建立空间直角坐标系．所以．所以，．因为平面，所以是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则即所以令，则，．于是．所以．由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为． 9分（Ⅲ）当点是线段的中点时，平面．理由如下：因为点平面，所以在线段上存在点使得平面等价于．假设线段上存在点使得平面．设，则．所以．由，得．所以当点是线段的中点时，平面，且． 14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线：与椭圆交于，两点，所以，所以．当直线的斜率存在时，设其方程为，由得．且．设，则，．所以．令，则，所以．当，即时，取最大值．综上所述，的取值范围是． 15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，，所以，．所以曲线在点处的切线方程为，即． 3分（Ⅱ）因为，定义域为，所以．①当时，与在上的变化情况如下：所以在内单调递增，在内单调递减．②当时，与在上的变化情况如下：所以在，内单调递增，在内单调递减．③当时，，所以在上单调递增．④当时，与在上的变化情况如下：所以在，内单调递增，在内单调递减． 9分（ = 3 \* ROMAN III）由（ = 2 \* ROMAN II）可知：①当时，在内单调递增，在内单调递减，当时，取得最大值．（i）当时，，所以在上至多有一个零点，不符合题意．（ii）当时，．因为，，在内单调递减，所以在内有唯一零点．因为，所以且．因为，，且在内单调递增，所以在内有唯一零点．所以当时，恰有两个零点．②当时，在，内单调递增，在内单调递减，因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．③当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意．④当时，在，内单调递增，在内单调递减．因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是． 15分（21）（共15分）解：（Ⅰ），． 4分（Ⅱ）当时，对任意，都有，所以．所以数列是递增数列． 7分因为，所以．令，则，所以．所以存在正整数，使得． 9分（ = 3 \* ROMAN III）由题意得，对任意，都有且．由（Ⅱ）可得，当时，存在正整数，使得，所以．所以若，则．又因为，所以若，则．所以若，则，即．下面证明．①当时，对任意，都有．下证对任意，．假设存在正整数，使得．令集合，则非空集合存在最小数．因为，所以．因为，所以．所以，与矛盾．所以对任意，．所以当时，．②当时，．下证对任意，．假设存在正整数，使得．令集合，则非空集合存在最小数．因为，所以，所以．因为，所以．，且，所以，与矛盾．所以当时，．所以当时，对任意，都有．所以，即．因为，且，所以． 15分A地区用户满意程度评分频率分布直方图B地区用户满意程度评分频率分布直方图最大值极大值极小值极大值极小值