数学选修2-22.2直接证明与间接证明说课课件ppt

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2.2.2　反证法【课标要求】1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．【核心扫描】 体会反证法的思考过程、特点，培养逆向思维的能力． (重难点)自学导引1．反证法 假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．不成立假设错误原命题成立想一想：有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？ 提示　这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法证明数学命题的一般步骤 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q(反设)； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果(归谬)； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真． 第三步中所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．3．反证法常用的否定形式 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误． 【变式1】 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 证明　假设a，b，c，d都是非负数， ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1. 这与已知ac＋bd>1矛盾， ∴a，b，c，d中至少有一个是负数．题型二　用反证法证明不存在、唯一性命题【例2】 证明：对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称． [思路探索] 由于直接证明比较困难，但其反面相对来说较为容易，故采用反证法证明．规律方法　证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．【变式2】 求证方程2x＝3有且只有一个根． 证明　∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的： 假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则2b1＝3,2b2＝3， 两式相除得2b1－b2＝1. 若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾． 若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾． ∴b1－b2＝0，则b1＝b2. ∴假设不成立，从而原命题得证．【题后反思】 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．误区警示　不理解题意而致错【示例】 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根． [错解] 假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0， 相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，(*) 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立， 所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． 上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，“方程没有两个相异实根时Δ≤0”．[正解] 假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． 用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．