高中数学人教版新课标B选修2-13.1 空间向量及其运算授课ppt课件

这是一份高中数学人教版新课标B选修2-13.1 空间向量及其运算授课ppt课件

1．知识与技能了解空间直角坐标系的建立，理解空间向量的坐标及点的坐标的概念，掌握空间向量运算法则，会用坐标运算法则求向量的坐标．掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证明空间两个向量的平行和垂直．掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．2．过程与方法学会运用空间向量的坐标解决空间位置关系的方法．3．情感态度与价值观让学生感受空间关系的深邃，体验数学的美． 重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直条件，两个向量的夹角与向量长度的坐标、计算公式．难点：空间向量平行、垂直的条件及两个向量的夹角向量长度的坐标计算公式．1．设P是空间任意一点，过点P作3个轴的垂直平面，分别与Ox，Oy，Oz轴相交于Q，R，S.如图所示，它们在各轴上的坐标依次为x，y，z.于是对于点P就确定了3个有顺序的实数x，y，z，叫做点P的坐标，记作P的横坐标，纵坐标，竖坐标．反之，任意给定了3个有序的实数x，y，z，我们在x轴，y轴，z轴上分别作出以x，y，z为坐标的点Q，R，S，过Q，R，S分别作出和Ox，Oy，Oz垂直的平面，设它们相交于P，显然，P的坐标就是(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算类似于平面两向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具．3．运用空间向量的坐标运算证明平行、垂直问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合向量平行、垂直的条件进行论证，最后转化为几何结论．4．运用空间向量的坐标运算解决立体几何中的平行与垂直关系，避开了抽象的逻辑推理和复杂的空间想象，为研究问题带来了很大方便，遇到立体几何问题，我们应当有利用空间向量的坐标运算解决问题的意识和想法． 1．空间向量的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝________；(2)a－b＝________；(3)λa＝________(λ∈R)；(4)a·b＝________；(5)a∥b⇔________⇔________，________，________；(6)a⊥b⇔________⇔________；2．空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则[答案]　1.(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(3)(λa1，λa2，λa3)(4)a1b1＋a2b2＋a3b3(5)a＝λb　a1＝λb1　a2＝λb2　a3＝λb3(6)a·b＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0[例1]　设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b.[解析]　2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)．a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21.[说明]　向量的坐标运算法则是解题的关键．在上例中，求(a－b)·(a＋b)的值．[解析]　(a－b)(a＋b)＝[(3,5，－4)－(2,1,8)]·[(3,5，－4)＋(2,1,8)]＝(1,4，－12)·(5,6,4)＝5＋24－48＝－19.[说明]　已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂直，就是根据a·b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.[解析]　(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)．a－3b＝(1＋3×2,5－3×3－1－3×5)＝(7，－4，－16)．∵(ka＋b)∥(a－3b)，(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长．[分析]　根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．[说明]　本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度，应用空间向量的坐标运算解决立体几何问题，使复杂的线面关系的论证、角、距离的计算变得程序化．[解析]　以C为坐标原点，CB，CA，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz.[例4]　如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．[分析]　借助于向量垂直、平行坐标运算建立方程，进一步求解．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点．求证：(1)AE⊥D1F；(2)AE⊥平面A1D1F.[例5]　如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值． [辨析]　正确利用两向量的夹角公式及模长公式．[正解]　如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系．(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．[答案]　C[解析]　∵B(1,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)．[答案]　B[解析]　∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，A．(－2，－4，－1) B．(－2，－4,1)C．(－2,4，－1) D．(2，－4，－1)[答案]　A二、填空题4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________．[答案]　直角三角形5．已知a＝(2,3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则a·(b＋c)＝________，a＋6b－8c＝________.[答案]　9　(14,3,3)三、解答题6．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．(2)已知：a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，求x＋y的值．