高中2.5 等比数列的前n项和课文内容ppt课件

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[读教材·填要点]等比数列的前n项和公式
[小问题·大思维]1．等比数列前n项和公式中共涉及哪几个基本量？这几个基本量中知道其中几个可以求出另外几个？提示：共四个基本量{Sn，a1，q，n或Sn，a1，an，q}，只要知道其中三个可求另外一个．
2．求数列a，a2，a3，…，an，…的前n项和．
3．你能用函数的观点来研究等比数列的前n项和吗？
(3)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的点；当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上一群孤立的点．
[通一类]1．在等比数列{an}中，a1＝－3，an＝－46 875，Sn＝－39 063，求q和n.
[研一题] [例2]　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
若保持例2条件不变，且an>0，前n项中最小的项为4，求a1和q.
(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A⇔数列{an}为等比数列． (4)若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qn·Sm.
[通一类]2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9求数列的公比q.解：法一：若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0，即S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.同理可得q≠－1，依题意S3＋S6＝2S9.
[研一题] [例3]　陈老师购买安居工程集资房92 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次再经过一年又付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？(计算结果精确到百元)
[自主解答]　设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款所生利息之和为x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元，…第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510
[悟一法] 在数列的实际应用中，把数学问题背景中的数列知识挖掘出来(投入资金数列和收入资金数列)，然后用数列的知识进行加工和整理(如本题中的构建不等式并求解)是常见的解题方法，应注意合理安排，解题中要明确数学问题的实际意义，以便进行合理取舍．
[通一类]3．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套的旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
下列数据供计算时参考：
解：(1)设今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10＝1.05b，由题设可知，1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x