高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案
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这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案,共3页。教案主要包含了教学目标,教学重点,教学过程等内容,欢迎下载使用。
1.3.1函数的单调性与导数(一)一、教学目标:了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程(一)复习引入1.增函数、减函数的定义一般地,设函数 f(x) 的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数.当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数.2.函数的单调性如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x) 的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.例1讨论函数y=x2-4x+3的单调性.解:取x1<x2,x1、x2∈R, 取值f(x1)-f(x2)=(x12-4x1+3)-(x22-4x2+3) 作差=(x1-x2)(x1+x2-4) 变形当x1<x2<2时,x1+x2-4<0,f(x1)>f(x2), 定号∴y=f(x)在(-, 2)单调递减. 判断当2<x1<x2时, x1+x2-4>0,f(x1)<f(x2),∴y=f(x)在(2, +∞)单调递增.综上所述y=f(x)在(-, 2)单调递减,y=f(x)在(2, +∞)单调递增。能否利用导数的符号来判断函数单调性? 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)'>0,则f(x)为增函数; 如果f(x)'<0,则f(x)为减函数.例2.教材P24面的例1。例3.确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解: f(x)'=2x-2. 令2x-2>0,解得x>1.因此,当x∈(1, +∞)时,f(x)是增函数.令2x-2<0,解得x<1. 因此,当x∈(-∞, 1)时,f(x)是减函数.例4.确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:f(x)'=6x2-12x.令6x2-12x>0,解得x<0或x>2.因此,当x∈(-∞, 0)时,函数f(x)是增函数,当x∈(2, +∞)时, f(x)也是增函数.令6x2-12x<0,解得0<x<2.因此,当x∈(0, 2)时,f(x)是减函数.利用导数确定函数的单调性的步骤:(1) 确定函数f(x)的定义域;(2) 求出函数的导数;(3) 解不等式f (x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式f (x)<0,得函数的单调递减区间.练习1:教材P24面的例2利用导数的符号来判断函数单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导(1)如果f '(x)>0 ,则f(x)为严格增函数; (2)如果f '(x)<0 ,则f(x)为严格减函数.思考:(1)若f '(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件?若f '(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件.例如 f(x)=x3,当x=0,f '(x)=0,x≠0时,f '(x)>0,函数 f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数.(2)若f '(x) =0在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ?若某个区间内恒有f '(x)=0,则f (x)为常数函数.练习2. 教科书P.26练习(1)(三)课堂小结1.判断函数的单调性的方法; 2.导数与单调性的关系; 3.证明单调性的方法.(四)作业
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