高中数学人教版新课标A选修2-23.2复数代数形式的四则运算教案

3.1.1复数的扩充与复数的概念

   时间：2005年3月31日

【教学目标】

1．在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

2．了解数学内部解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；

3．理解复数的有关概念以及符号表示；

4．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；

【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．

【教学难点】复数概念的理解．

【教学过程】

1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）

自然数     整数      有理数     无理数     实数

2．提出问题

    我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

    3．组织讨论，研究问题

    我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？

    组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．

    4．引入新数，并给出它的两条性质

    根据前面讨论的结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：

    （1）；

    （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．

    有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）．

    5．提出复数的概念

    根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如 的数，我们把它们叫做复数．

全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：

N*NZQRC．

巩固练习：1.下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？

2+,0.618,,0,,,5+8,3-9

2、判断下列命题是否正确：

（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数

（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数

（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚

例1  实数m分别取什么值时，复数

z＝m+1＋(m-1)i

是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x的值．

练习：实数m分别取什么值时，复数

z＝m2+m-2＋(m2-1)i

是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是

由此容易得出：

例2  已知,其中，x,yR，求x与y．

分析：因为x，y∈R，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．

练习：（1）若x,y为实数，且，求x与y.

     （2）若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.

7．归纳总结

（1）、虚数单位i的引入；

（2）、复数的代数形式：；

（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。

8．布置作业：习题3.1A组 第1、2题