选修1-22.2.2反证法达标测试

这是一份选修1-22.2.2反证法达标测试，
2章末一、选择题1．一动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　)A．双曲线　　　　　　 B．双曲线一支C．圆 D．椭圆[答案]　B[解析]　动点到两定点距离之差为1.故选B.2．若双曲线C以椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则C的方程是(　　)A.eq \f(x2,3)－y2＝1 B．－eq \f(x2,3)＋y2＝1C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,3)－eq \f(x2,4)＝1[答案]　B[解析]　∵F(0，±1)，长轴端点(0，±2)∴双曲线中a＝1，c＝2，∴b2＝3，又焦点在y轴上，故选B.3．已知AB为经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积的最大值为(　　)A．b2　　　 B．ab　　　C．ac　　　 D．bc[答案]　D[解析]　设AB方程为ky＝x，代入椭圆方程得(b2k2＋a2)y2＝a2b2∴y1＝eq \f(ab,\r(a2＋b2k2))，y2＝－eq \f(ab,\r(a2＋b2k2)).∴S＝eq \f(1,2)|OF||y1－y2|＝eq \f(abc,\r(a2＋b2k2))∴面积最大值为bc(k＝0)．4．(2008·四川)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝eq \r(2)|AF|，则△AFK的面积为(　　)A．4　　　　 B．8　　　　C．16　　　　 D．32[答案]　B[解析]　抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，且准线为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)，如图，过点A向准线作垂线，垂足为B，则B(－2，y0)∵|AK|＝eq \r(2)|AF|，又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2得yeq \o\al(2,0)＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，y0＝±4.∴△AFK的面积为eq \f(1,2)|KF|·|y0|＝eq \f(1,2)×4×4＝eq \f(1,8).二、填空题5．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．[答案]　3[解析]　如图所示，设双曲线焦点在x轴，顶点A、焦点F到渐近线的距离分别是AA′，FF′，则AA′∥FF′，∴△OAA′∽△OFF′，∴eq \f(OA,OF)＝eq \f(AA′,FF′)即eq \f(a,c)＝eq \f(2,6)，则e＝eq \f(c,a)＝3.6．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)的最小值是________．[答案]　32[解析]　(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4，代入y2＝4x，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－4)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－16k＝0，由题意知k≠0，则y1＋y2＝eq \f(4,k)，y1y2＝－16.∴yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝eq \f(16,k2)＋32>32.综合(1)(2)知(yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2))min＝32.三、解答题7．如右图所示，直线y＝eq \f(1,2)x与抛物线y＝eq \f(1,8)x2－4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y＝－5交于点Q.(1)求点Q的坐标；(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A，B)的动点时，求△OPQ面积的最大值．[解析]　(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,y＝\f(1,8)x2－4，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝－4，,y1＝－2，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝8，,y2＝4，))即A(－4，－2)，B(8,4)，从而AB的中点为M(2,1)．由kAB＝eq \f(1,2)，得线段AB的垂直平分线方程为y－1＝－2(x－2)．令y＝－5，得x＝5，∴Q(5，－5)．(2)直线OQ的方程为x＋y＝0，设P(x，eq \f(1,8)x2－4)，∵点P到直线OQ的距离d＝eq \f(|x＋\f(1,8)x2－4|,\r(2))＝eq \f(1,8\r(2))|x2＋8x－32|，|OQ|＝5eq \r(2).S△OPQ＝eq \f(1,2)|OQ|d＝eq \f(5,16)|x2＋8x－32|，∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴－4≤x