高中数学人教版新课标B必修41.2.3同角三角函数的基本关系教案设计

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环节

教学内容

师生互动

设计意图

复

习

引

入

复习单位圆和三角函数线；三角函数定义和勾股定理

教师提出问题，学生回答

推出 这两个最基本的关系式。

关

系

式

的

深

化

理

解

同角三角函数的基本关系式：

“同角”的概念与角的表达形式无关，如：  

当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个三角函数关系式和三角函数定义，就可求出这个角的其余三角函数值。此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式。当然，上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立

提问：

1．何谓“同角”？

2．同角三角函数的基本关系式的作用，它可以用来解决哪些问题？

3．利用同角三角函数的基本关系式解题的注意事项？

更好地理解同角三角函数的基本关系式及功能。

应

用

举

例

例1 已知，并且是第二象限角，求的其他三角函数值．

    分析：由平方关系可求cos的值，由已知条件和cos的值可以求tan的值，进而用倒数关系求得cot的值．

解：∵sin2α+cos2α=1，是第二象限角

例2．已知，求sin、tan的值．

分析：∵cosα＜0　　∴是第二或第三象限角．因此要对所在象限分类．

当是第二象限角时，

当是第三象限时，

例3 已知

解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组

，消去α，得5cos2α－cosα－2=0，由方程解得cosα=, 或cosα=, 因为180°<α<270°，所以cosα<0，即cosα=，代入原方程组得sinα=，于是tanα==2.

，

例4 化简：.

解：原式===cosθ.

例5化简：

点评：三角函数化简时，应合理利用公式，明确化简的基本要求，尽量化为最简形式。

解：原式=

=.

例6求证：

（1）

（2）

（3）  

分析：思路1．把左边分子分母同乘以，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．

证明：（1）原式左边=(sin2α+cos2α)(sin2α－cos2α)

      =sin2α－cos2α=sin2α－(1－sin2α)

      =2sin2α－1=右边.

    因此.

（2）原式右边=tan2α(1－cos2α)=tan2α－tan2αcos2α

       ==tan2α－sin2α

       =左边.

     因此.

（3）证法1：

左边=

右边，

∴原等式成立

证法2：

左边=＝

＝右边

证法3：

∵，

∴

证法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0，

∴=

＝＝1，

∴．

 ∴左边=右边     ∴原等式成立．

证法6：∵＝＝＝

∴．

证法7：∵，   ∴=

例1可让学生自己解决

例2可让学生讨论解决

学生独立完成，并交流不同解法，比较优劣。

提问：你怎样理解化简？

证明恒等式有哪些途径？

由学生完成证明，展示不同证法，可能的证法除课本给出的以外，左侧还给出了一些证法，供参考。

结合例6，由学生总结证明三角恒等式的常用方法。教师在证明思路和解题规范上给予指导。

例1是已知一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值的简单应用。

体现分类讨论的思想，比较与例1 的异同。

体现方程的思想

展示不同的解题方法，培养学生灵活应用公式的能力和思辩的能力。

体会如何运用公式化简，明确化简的目标。

三角函数式的化简是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本解题原则。

通过讨论探究，培养发散思维，提高综合运用知识思考、解决问题的能力。

体验证明的过程就是通过化简与消去等式两边差异来促成统一。

小

结

1．     理解同角的含义

2．     掌握公式及公式的变形

3．     灵活应用公式解决简单的求值、化简和证明。

4．     本节课在思想方法上的收获

师生共同完成

关注学生的自主体验，总结反思本节课在知识、方法上的体验、收获。

作

业

层次一：课本P25  A组

层次二：课本P25  B组

巩固本节所学内容