高中数学人教版新课标B选修2-1第二章 圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程教学设计

§2.5.2求曲线的方程

●教学目标

1．了解解析几何的基本思想；

2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；

3．初步掌握求曲线的方程的方法.

●教学重点

求曲线的方程

●教学难点

求曲线方程一般步骤的掌握.

●教学过程

Ⅰ.复习回顾：

师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.

Ⅱ.讲授新课

1．解析几何与坐标法：

我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.

2．平面解析几何研究的主要问题：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

（2）通过方程，研究平面曲线的性质.

说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.

例2  设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.

解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点（图7—29），也就是点M属于集合

.

由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：

将上式两边平方，整理得：

    x+2y－7=0                         ①

我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.

（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解；

（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即   x+2y1－7=0   x1=7－2y1

点M1到A、B的距离分别是

即点M1在线段AB的垂直平分线上.

由（1）、（2）可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.

师：由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;

（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.

师：下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤.

例3  已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.

解：如图所示，设点M（x,y）是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B（图7—31），那么点M属于集合

由距离公式，点M适合的条件可表示为：

                 ①

将①式移项后再两边平方，得

x2+(y－2)2=(y+2)2,化简得：

因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是 (x≠0) 。

师：上述两个例题让学生了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.

Ⅱ.课堂练习   课本P39练习3

●课堂小结

师：通过本节学习，要求大家初步认识坐标法研究几何问题的知识与观点，进而逐步掌握求曲线的方程的一般步骤.

●     课后作业

P40习题 A组  3，4 B组  2