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中考数学《一轮专题讲义》(41专题)第15讲 二次函数(解析版)学案
展开 中考数学一轮复习讲义
考点十五:二次函数
聚焦考点☆温习理解
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地,如果,那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法
五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:
(2)顶点式:
(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根和存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。
三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。
如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,,当时,。
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数中,的含义:
表示开口方向:>0时,抛物线开口向上, <0时,抛物线开口向下
与对称轴有关:对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,)
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当<0时,图像与x轴没有交点。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、二次函数的图象
【例1】2019•贵州省安顺市•3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=OC.则由抛物线的特征写出如下结论:
①abc>0;②4ac﹣b2>0;③a﹣b+c>0;④ac+b+1=0.
其中正确的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解答】解:①观察图象可知,开口方上a>0,对称轴在右侧b<0,与y轴交于负半轴c<0,
∴abc>0,故正确;
②∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,即4ac﹣b2<0,故错误;
③当x=﹣1时y=a﹣b+c,由图象知(﹣1,a﹣b+c)在第二象限,
∴a﹣b+c>0,故正确
④设C(0,c),则OC=|c|,
∵OA=OC=|c|,∴A(c,0)代入抛物线得ac2+bc+c=0,又c≠0,
∴ac+b+1=0,故正确;
故正确的结论有①③④三个,
故选:B.
【举一反三】
1. 【山东省德州市2018年中考】如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可.
详解:A.由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a<0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下.故选项错误;
B.由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=﹣>0.故选项正确;
C.由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=﹣>0,和x轴的正半轴相交.故选项错误;
D.由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上.故选项错误.
故选B.
点睛:本题考查了二次函数以及一次函数的图象,解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.
2. (福建省三明市大田县2017-2018学年九年级上期末模拟数学试卷)已知函数,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
点睛:此题主要考查了函数的图象与性质,不宜直接解答,可考虑用数形结合的方法求解,画出函数的图象,利用图象找到使y=k成立的x值,然后可分析解答
考点典例二、二次函数的解析式
【例2】(2019•威海)在画二次函数的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
…
-1
0
1
2
3
…
…
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项,列表如下:
…
-1
0
1
2
3
…
…
-2
-1
2
7
14
…
通过上述信息,解决以下问题:
(1)求原二次函数的表达式;
(2)对于二次函数,当__________时,的值随的值增大而增大;
(3)若关于的方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.
【解析】(1)由甲同学的错误可知,
由乙同学提供的数据选,,;,,
有,
∴,
∴.
(2)的对称轴为直线,∴抛物线开口向下,
∴当时,的值随的值增大而增大,故答案为:.
(3)方程有两个不相等的实数根,
即有两个不相等的实数根,
∴,
∴.
【举一反三】
1. 如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,﹣2).它与反比例函数y=﹣的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为( )[来源:学科网ZXXK]
A.y=x2﹣x﹣2 B.y=x2﹣x+2 C.y=x2+x﹣2 D.y=x2+x+2
【答案】A.
2.(山东省临沂市五校2017-2018学年九年级联考)对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么抛物线解析式是( )
A. y=﹣2x2+8x+3 B. y=﹣2x2﹣8x+3 C. y=﹣2x2+8x﹣5 D. y=﹣2x2﹣8x+2
【答案】C
【解析】根据题意,设y=a(x−2)2+3,抛物线经过点(3,1),所以a+3=1,a=−2.
因此抛物线的解析式为:y=−2(x−2)2+3=−2x2+8x−5.
故选:C.
考点典例三、二次函数的最值
【例3】(2019江苏镇江)已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是.
【答案】.
【解析】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是根据线段AB的长不大于4,求出a的取值范围,再利用二次函数的增减性求代数式a2+a+1的最小值.
∵y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1,
∴该抛物线的顶点坐标为(-2,1),对称轴为直线x=-2.
∵抛物线过点A(m,3),B(n,3)两点,
∴当y=3时,a(x+2)2+1=3,(x+2)2=,当a>0时,x=-2±.
∴A(-2-,3),B(-2+,3).
∴AB=2.
∵线段AB的长不大于4,
∴2≤4.
∴a≥.
∵a2+a+1=(a+)2+,
∴当a=,(a2+a+1)min=(a+)2+=.
【举一反三】
【经典题】当-2≤x≤l时,二次函数有最大值4,则实数m的值为【 】
(A) (B) 或 (c)2或 (D)2或或
【答案】C.
【解析】
试题分析:∵当-2≤x≤l时,二次函数有最大值4,
∴二次函数在-2≤x≤l上可能的取值是x=-2或x=1或x=m.
当x=-2时,由解得,此时,它在-2≤x≤l的最大值是,与题意不符.
当x=1时,由解得,此时,它在-2≤x≤l的最大值是4,与题意相符
当x= m时,由解得,此时. 对,它在-2≤x≤l的最大值是4,与题意相符;对,它在-2≤x≤l在x=1处取得,最大值小于4,与题意不符.
综上所述,实数m的值为2或.
故选C.
考点典例四、二次函数的图象与性质
【例4】(2019•广西贺州•3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示,下列说法中:①abc<0;②a﹣b+c<0;③3a+c=0;④当﹣1<x<3时,y>0,正确的是 ①③④ (填写序号).
【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a<0,根据图象与y轴交点可得c>0,再根据二次函数的对称轴x=﹣=1,结合a的取值可判定出b>0,根据a、b、c的正负即可判断出①的正误;把x=﹣1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得y=a﹣b+c,再根据对称性判断出②的正误;把b=﹣2a代入a﹣b+c中即可判断出③的正误;利用图象可以直接看出④的正误.
【解答】解:根据图象可得:a<0,c>0,
对称轴:x=﹣=1,
∴b=﹣2a,
∵a<0,
∴b>0,
∴abc<0,故①正确;
把x=﹣1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得:y=a﹣b+c,
由抛物线的对称轴是直线x=1,且过点(3,0),可得当x=﹣1时,y=0,
∴a﹣b+c=0,故②错误;
∵b=﹣2a,
∴a﹣(﹣2a)+c=0,
即:3a+c=0,故③正确;
由图形可以直接看出④正确.
故答案为:①③④.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧.(简称:左同右异);③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).
【举一反三】
1. (2019•湖州)已知是非零实数,,在同一平面直角坐标系中,二次函数与一次函数的大致图象不可能是
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】解答本题可采用赋值法,取,可知A选项是可能的;取,可知B选项是可能的;取,可知C选项是可能的,那么根据排除法,可知D选项是不可能的,故选D.
2. 【天津市2018年中考】已知抛物线(,,为常数,)经过点,,其对称轴在轴右侧,有下列结论:
①抛物线经过点;
②方程有两个不相等的实数根;
③.
其中,正确结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
点睛:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系,二次函数与一元二次方程的关系,不等式的性质等知识,难度适中.
考点典例五、二次函数图象与平移变换
【例5】【浙江省义乌市2018年中考】若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:根据定弦抛物线的定义结合其对称轴,即可找出该抛物线的解析式,利用平移的“左加右减,上加下减”找出平移后新抛物线的解析式,再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论.
详解:∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,
∴该定弦抛物线过点(0,0)、(2,0),
∴该抛物线解析式为y=x(x-2)=x2-2x=(x-1)2-1.
将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到新抛物线的解析式为y=(x-1+2)2-1-3=(x+1)2-4.
当x=-3时,y=(x+1)2-4=0,
∴得到的新抛物线过点(-3,0).
故选:B.
点睛:本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质,根据定弦抛物线的定义结合其对称轴,求出原抛物线的解析式是解题的关键.
【举一反三】
1. 已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线于x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为__________.
【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题
【答案】2
【解析】分析:先根据三等分点的定义得:AC=BC=BD,由平移m个单位可知:AC=BD=m,计算点A和B的坐标可得AB的长,从而得结论.
详解:如图,∵B,C是线段AD的三等分点,
∴AC=BC=BD,
由题意得:AC=BD=m,
当y=0时,x2+2x﹣3=0,
(x﹣1)(x+3)=0,
x1=1,x2=﹣3,
∴A(﹣3,0),B(1,0),
∴AB=3+1=4,
∴AC=BC=2,
∴m=2,
故答案为:2.
点睛:本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题,利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键
2.(辽宁省大石桥市金桥管理区初级中学2018届九年级上学期期中考试)把抛物线y=2x2先向左平移3个单位,再向上平移4个单位,所得抛物线的函数表达式为( )
A. y=2(x+3)2+4 B. y=2(x+3)2﹣4 C. y=2(x﹣3)2﹣4 D. y=2(x﹣3)2+4
【答案】A
【解析】试题解析:把抛物线y=2x2先向左平移3个单位,再向上平移4个单位,所得抛物线的函数解析式为y=2(x+3)2+4.
故选A.
考点:二次函数图象与几何变换.
考点典例六、二次函数的综合题
【例6】.(2019广西省贵港市)如图,已知抛物线的顶点为,与轴相交于点,对称轴为直线,点是线段的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)写出点的坐标并求直线的表达式;
(3)设动点,分别在抛物线和对称轴上,当以,,,为顶点的四边形是平行四边形时,求,两点的坐标.
【答案】见解析。
【解析】函数表达式为:,将点坐标代入上式,即可求解;、,则点,设直线的表达式为:,将点坐标代入上式,即可求解;分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.
(1)函数表达式为:,
将点坐标代入上式并解得:,
故抛物线的表达式为:;
(2)、,则点,
设直线的表达式为:,
将点坐标代入上式得:,解得:,
故直线的表达式为:;
(3)设点、点,
①当是平行四边形的一条边时,
点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到,
同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到,
即:,,
解得:,,
故点、的坐标分别为、;
②当是平行四边形的对角线时,
由中点定理得:,,
解得:,,
故点、的坐标分别为、;
故点、的坐标分别为或、或.
【举一反三】
(新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟)如图,抛物线 经过A(-3,0),C(5,0)两点,点B为抛物线顶点,抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点P从点B出发,沿线段BD向终点D作匀速运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t,过点P作PM⊥BD,交BC于点M,以PM为正方形的一边,向上作正方形PMNQ,边QN交BC于点R,延长NM交AC于点E.
①当t为何值时,点N落在抛物线上;
②在点P运动过程中,是否存在某一时刻,使得四边形ECRQ为平行四边形?若存在,求出此时刻的t值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)①t=4;②
②根据PM的长度表示出QD,再利用待定系数法求出直线BC的解析式,然后根据直线BC的解析式求出点R的横坐标,从而求出QR的长度,再表示出EC的长度,然后根据平行四边形对边平行且相等列式求解即可.
试题解析:解:(1)∵y=ax2+bx+经过A(﹣3,0),C(5,0)两点,∴,解得: ,∴抛物线的解析式为;
(2)∵=﹣(x2﹣2x+1)+=﹣(x﹣1)2+8,∴点B的坐标为(1,8).设直线BC的解析式为y=kx+m,则,解得: ,所以直线BC的解析式为y=﹣2x+10.∵抛物线的对称轴与x轴交于点D,∴BD=8,CD=5﹣1=4.∵PM⊥BD,∴PM∥CD,∴△BPM∽△BDC,∴,即,解得:PM=t,∴OE=1+t.∴ME=-2(1+t)+10=8-t..∵四边形PMNQ为正方形,∴NE=NM+ME=8﹣t+t=8﹣t.
①点N的坐标为(1+t,8﹣t),若点N在抛物线上,则﹣(1+t﹣1)2+8=8﹣t,整理得,t(t﹣4)=0,解得t1=0(舍去),t2=4,所以,当t=4秒时,点N落在抛物线上;
②存在.理由如下:
∵PM=t,四边形PMNQ为正方形,∴QD=NE=8﹣t.∵直线BC的解析式为y=﹣2x+10,∴﹣2x+10=8﹣t,解得:x=t+1,∴QR=t+1﹣1=t.又∵EC=CD﹣DE=4﹣t,根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC,即t=4﹣t,解得:t=,此时点P在BD上,所以,当t=时,四边形ECRQ为平行四边形.
点睛:本题是二次函数的综合题,主要涉及待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,综合性较强,但难度不大,仔细分析便不难求解.
课时作业☆能力提升
一.选择题
1.【四川省成都市2018年中考】关于二次函数,下列说法正确的是( )
A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧
C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3
【答案】D
【解析】分析:根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立,从而可以解答本题.
详解:∵y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,
∴当x=0时,y=-1,故选项A错误,
该函数的对称轴是直线x=-1,故选项B错误,
当x<-1时,y随x的增大而减小,故选项C错误,
当x=-1时,y取得最小值,此时y=-3,故选项D正确,
故选D.
点睛:本题考查二次函数的性质、二次函数的最值,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
2. 【2018四川绵阳中考模拟】已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离始终相等,如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上一个动点,则△PMF周长的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C.
【解析】
试题解析:过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=x2+1于点P,此时△PMF周长最小值,
∵F(0,2)、M( ,3),
∴ME=3,FM==2,
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.
故选C.
考点:1.二次函数的性质;2.三角形三边关系.
3.(天津市宁河区2018届九年级下学期第一次联考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A. ﹣1<x<5 B. x>5 C. x<﹣1或x>5 D. x<﹣1且x>5
【答案】C
考点:二次函数的性质.
4. (2019▪广西河池▪3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,则下列结论中,错误的是( )
A.ac<0 B.b2﹣4ac>0 C.2a﹣b=0 D.a﹣b+c=0
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】解:A.由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点在y轴的正半轴上,可得c>0,因此ac<0,故本选项正确,不符合题意;
B.由抛物线与x轴有两个交点,可得b2﹣4ac>0,故本选项正确,不符合题意;
C.由对称轴为x=﹣=1,得2a=﹣b,即2a+b=0,故本选项错误,符合题意;
D.由对称轴为x=1及抛物线过(3,0),可得抛物线与x轴的另外一个交点是(﹣1,0),所以a﹣b+c=0,故本选项正确,不符合题意.
故选:C.
归纳:本题考查二次函数的图象性质:(1)a的正负决定图象的开口方向,c的正负决定图象与y轴的交点位置,a和b的正负决定图象对称轴的位置;(2)二次函数与方程的关系,即二次函数图象与坐标轴的交点情况可转化为二次方程根的判别式的正负;(3)二次函数的开口方向与对称轴决定其增减性.
5. 【江苏省连云港市2018年中考】已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是( )
A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B. 点火后24s火箭落于地面
C. 点火后10s的升空高度为139m
D. 火箭升空的最大高度为145m
【答案】D
点睛:本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
6.(2018年河南省商丘市中考数学模拟)若A(﹣4,y1),B(﹣3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x﹣m的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A. y1<y2<y3 B. y2<y1<y3 C. y3<y1<y2 D. y1<y3
【答案】B
考点:二次函数的性质.
7. (2019•临沂)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度(单位:m)与小球运动时间(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度时,.其中正确的是
A.①④ B.①② C.②③④ D.②③
【答案】D
【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是;故①错误;
②小球抛出3秒后,速度越来越快;故②正确;
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0;故③正确;
④设函数解析式为:,把代入得,解得,
∴函数解析式为,把代入解析式得,,解得:或,∴小球的高度时,或,故④错误,故选D.
8. (2019•天津)二次函数(是常数,)的自变量与函数值的部分对应值如下表:
…
0
1
2
…
…
…
且当时,与其对应的函数值.有下列结论:①;②和3是关于的方程的两个根;③.其中,正确结论的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2,∴抛物线的对称轴是:x=-=,
∴a、b异号,且b=-a,∵当x=0时y=c=-2,∴c,∴abc0,故①正确;
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t,∴和3是关于的方程的两个根;故②正确;
∵b=-a,c=-2,∴二次函数解析式:,∵当时,与其对应的函数值.
∴,∴a,∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n,∴m=n=2a-2,∴m+n=4a-4,故③错误,故选C.
二.填空题
9. (2019•济宁)如图,抛物线与直线交于A(-1,P),B(3,q)两点,则不等式的解集是__________.
【答案】或
【解析】∵抛物线与直线交于,两点,
∴,,∴抛物线与直线交于,两点,
观察函数图象可知:当或时,直线在抛物线的下方,
∴不等式的解集为或.故答案为:或.
10. (2019•凉山州)当时,直线与抛物线有交点,则a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】法一:与抛物线有交点,则有,整理得,
∴,解得,∵,对称轴,∴,
∴.
法二:由题意可知,∵抛物线的顶点为,而,∴抛物线y的取值为,
∵,则直线y与x轴平行,∴要使直线与抛物线有交点,
∴抛物线y的取值为,即为a的取值范围,∴,故答案为:.
11. (2018新疆乌鲁木齐中考模拟)如图,抛物线过点,且对称轴为直线,有下列结论:
①;②;③抛物线经过点与点,则;④无论取何值,抛物线都经过同一个点;⑤,其中所有正确的结论是 .
【答案】②④⑤.
【解析】
试题解析:由图象可知,抛物线开口向上,则a>0,
顶点在y轴右侧,则b<0,
抛物线与y轴交于负半轴,则c<0,
∴abc>0,故①错误;
∵抛物线y=ax2+bx+c过点(﹣1,0),且对称轴为直线x=1,
∴抛物线y=ax2+bx+c过点(3,0),
∴当x=3时,y=9a+3b+c=0,
∵a>0,
∴10a+3b+c>0,故②正确;
∵对称轴为x=1,且开口向上,
∴离对称轴水平距离越大,函数值越大,
∴y1<y2,故③错误;
当x=﹣时,y=a•(﹣)2+b•(﹣)+c=,[来源:学科网ZXXK]
∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,
∴当x=﹣时,y=a•(﹣)2+b•(﹣)+c=0,
即无论a,b,c取何值,抛物线都经过同一个点(﹣,0),故④正确;
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,
x=1对应的函数值为y=a+b+c,
又∵x=1时函数取得最小值,
∴am2+bm+c≥a+b+c,即am2+bm≥a+b,
∵b=﹣2a,
∴am2+bm+a≥0,故⑤正确;
故答案为:②④⑤.
考点:二次函数图象与系数的关系.
12. (2019•四川省凉山州•5分)当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=(x﹣1)2﹣3有交点,则a的取值范围是 ﹣3≤a≤1 .
【答案】:﹣3≤a≤1
【解答】解:法一:y=a与抛物线y=(x﹣1)2﹣3有交点
则有a=(x﹣1)2﹣3,整理得x2﹣2x﹣2﹣a=0
∴△=b2﹣4ac=4+4(2+a)≥0
解得a≥﹣3,
∵0≤x≤3,对称轴x=1
∴y=(3﹣1)2﹣3=1
∴a≤1
法二:由题意可知,
∵抛物线的 顶点为(1,﹣3),而0≤x≤3
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1
∵y=a,则直线y与x轴平行,
∴要使直线y=a与抛物线y=(x﹣1)2﹣3有交点,
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1,即为a的取值范围,
∴﹣3≤a≤1,故答案为:﹣3≤a≤1
三.解答题
13【浙江省宁波市四校2018届九年级上学期12月联考数学试卷)】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B的坐标为(3,0),与轴交于点C(0,-3),顶点为D.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)联结AC,BC,求∠ACB的正切值.
(3)点P是x轴上一点,是否存在点P使得△PBD与△CAB相似,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)M是抛物线上一点,点N在轴,是否存在点N,使得以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),D(1,-4);(2)2;(3)P(,0)或P(-3,0);(4)N(1,0)或(,0)或(-3,0).
(4)设M点的坐标为(x,x2-2x-3),然后根据A、C点和M的坐标,结合平行四边形的性质与判定求出N点的坐标即可.
试题解析:(1)y=x2-2x-3
D(1,-4)
(2)作AH⊥BC于点H
x2-2x-3=0
解得x=-1或x=3
所以A点为(-1,0)
∵ OB=OC,∠BOC=90°
∴∠OBC=45°
∵AB=4
∴AH=BH=2
∵BC=3
∴CH=
∴tan∠ACB=2
(3)作DG⊥OB于点G
∵BG=2,DG=4
∴tan∠DBG=2
∵tan∠ACB=2
∴∠DBG=∠ACB
当点P在点B的右侧时,∠PBD>90°,△PBD是钝角三角形与△CAB不相似,
所以点P在点B的左侧.
∵△PBD与△CAB相似,且∠DBG=∠ACB
∴ 或
∵BD=2
∴BP=或BP=6
∴P(-,0)或P(-3,0)
(4)N(1,0)或(,0)或(-3,0).
14. (江西省崇仁县第二中学2018届九年级下学期第二次模拟)如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1、L2称为“伴随抛物线”,可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条.
(1)抛物线L1:y=-x2+4x-3与抛物线L2是“伴随抛物线”,且抛物线L2的顶点B的横坐标为4,求抛物线L2的表达式;
(2)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由;
(3)在图②中,已知抛物线L1:y=mx2-2mx-3m(m>0)与y轴相交于点C,它的一条“伴随抛物线”为L2,抛物线L2与y轴相交于点D,若CD=4m,求抛物线L2的对称轴.
【答案】(1)y=(x-4)2-3(2)伴随抛物线的顶点不重合,∴m≠h,∴a1=-a2(3)抛物线L2的对称轴为x=±2.
(3)易得抛物线L1的顶点坐标为(1,-4m),设抛物线L2的顶点的横坐标为h,则其纵坐标为mh2-2mh-3m,则有抛物线L2的表达式为y=-mx2+2mhx-2mh-3m,从而得点D的坐标为(0,-2mh-3m),再根据点C的坐标为(0,-3m),从而可得|(-2mh-3m)-(-3m)|=4m,解得h=±2,从而得抛物线L2的对称轴为x=±2.
试题解析:(1)由y=-x2+4x-3可得A的坐标为(2,1),
将x=4代入y=-x2+4x-3,得y=-3,∴B的坐标为(4,-3),
设抛物线L2的解析式为y=a(x-4)2-3; 将(2,1)代入y=a(x-4)2-3,
得1=a(2-4)2-3,解得a=1,
∴抛物线L2的表达式为y=(x-4)2-3;
(2)a1=-a2,理由如下:
∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B在抛物线L1上,
∴可列方程组: ,
整理,得(a1+a2)(m-h)2=0,
∵伴随抛物线的顶点不重合,∴m≠h,∴a1=-a2;
(3)抛物线L1:y=mx2-2mx-3m的顶点坐标为(1,-4m),
设抛物线L2的顶点的横坐标为h,则其纵坐标为mh2-2mh-3m,
∴抛物线L2的表达式为y=-m(x-h)2+mh2-2mh-3m,
化简得,y=-mx2+2mhx-2mh-3m,
所以点D的坐标为(0,-2mh-3m),
又点C的坐标为(0,-3m),
可得|(-2mh-3m)-(-3m)|=4m, 解得h=±2,
∴抛物线L2的对称轴为x=±2.
15. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟)如图,抛物线 经过A(-3,0),C(5,0)两点,点B为抛物线顶点,抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点P从点B出发,沿线段BD向终点D作匀速运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t,过点P作PM⊥BD,交BC于点M,以PM为正方形的一边,向上作正方形PMNQ,边QN交BC于点R,延长NM交AC于点E.
①当t为何值时,点N落在抛物线上;
②在点P运动过程中,是否存在某一时刻,使得四边形ECRQ为平行四边形?若存在,求出此时刻的t值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)①t=4;②
②根据PM的长度表示出QD,再利用待定系数法求出直线BC的解析式,然后根据直线BC的解析式求出点R的横坐标,从而求出QR的长度,再表示出EC的长度,然后根据平行四边形对边平行且相等列式求解即可.
试题解析:解:(1)∵y=ax2+bx+经过A(﹣3,0),C(5,0)两点,∴,解得: ,∴抛物线的解析式为;
(2)∵=﹣(x2﹣2x+1)+=﹣(x﹣1)2+8,∴点B的坐标为(1,8).设直线BC的解析式为y=kx+m,则,解得: ,所以直线BC的解析式为y=﹣2x+10.∵抛物线的对称轴与x轴交于点D,∴BD=8,CD=5﹣1=4.∵PM⊥BD,∴PM∥CD,∴△BPM∽△BDC,∴,即,解得:PM=t,∴OE=1+t.∴ME=-2(1+t)+10=8-t..∵四边形PMNQ为正方形,∴NE=NM+ME=8﹣t+t=8﹣t.
①点N的坐标为(1+t,8﹣t),若点N在抛物线上,则﹣(1+t﹣1)2+8=8﹣t,整理得,t(t﹣4)=0,解得t1=0(舍去),t2=4,所以,当t=4秒时,点N落在抛物线上;
②存在.理由如下:
∵PM=t,四边形PMNQ为正方形,∴QD=NE=8﹣t.∵直线BC的解析式为y=﹣2x+10,∴﹣2x+10=8﹣t,解得:x=t+1,∴QR=t+1﹣1=t.又∵EC=CD﹣DE=4﹣t,根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC,即t=4﹣t,解得:t=,此时点P在BD上,所以,当t=时,四边形ECRQ为平行四边形.
点睛:本题是二次函数的综合题,主要涉及待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,综合性较强,但难度不大,仔细分析便不难求解.
16. (2019•湖北省鄂州市•10分)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.
(1)直接写出y与x的函数关系式;
(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?
【分析】(1)直接利用销售单价每降1元,则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式;
(2)利用销量×每件利润=总利润进而得出函数关系式求出最值;
(3)利用总利润=4220+200,求出x的值,进而得出答案.
【解答】解:(1)由题意可得:y=100+5(80﹣x)整理得 y=﹣5x+500;
(2)由题意,得:
w=(x﹣40)(﹣5x+500)
=﹣5x2+700x﹣20000
=﹣5(x﹣70)2+4500
∵a=﹣5<0∴w有最大值
即当x=70时,w最大值=4500
∴应降价80﹣70=10(元)
答:当降价10元时,每月获得最大利润为4500元;
(3)由题意,得:
﹣5(x﹣70)2+4500=4220+200
解之,得:x1=66,x2 =74,
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=70,
∴当66≤x≤74时,符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠,故x=66
∴当销售单价定为66元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠.
归纳: 用待定系数法求二次函数解析式,需根据已知条件,灵活选择解析式:若已知图象上三个点的坐标,可设一般式;若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标,可设交点式;若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值,可设顶点式.
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