高中数学沪教版高中一年级 第二学期4.6对数函数的图像与性质学案

  6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数

【教学目标】

   1．理解函数y=cosx（x∈R），y=tanx（x≠kπ+，k∈Z）没有反函数；理解函数y=cosx， x∈[0，π]，y=tanx，x∈（-，）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-，）.

   2．知道反余弦函数y=arccosx ，x∈[-1，1]和反正切函数y= arctanx，x∈（-∞，∞）的图像.

   3．掌握等式cos（arccosx）=x，x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=- arctanx，x∈（-∞，∞）.

   4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.

   5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.

【教学重点与难点】

   教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.
   教学难点：公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的证明及其使用.

【教学过程】

    一、 情景引入 

 1．复习

   我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[]存在反函数.

   2．思考

    那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？

 [说明] 因为对于任一余弦值和正切值都有无数个角值与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.

   3．讨论

    余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得或y=tanx在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得或y=tanx存在反函数呢？

这个区间的选择依据两个原则：

（1）和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；

（2）能取到的一切函数值，y=tanx一切函数值R.

可以选取闭区间[0，π]，使得在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-，），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.

二、学习新课

   1．概念辨析

（1）反余弦函数和反正切函数的定义：

    余弦函数y=cosx， x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]；

     正切函数y=tanx， x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）；

（2）反正弦函数的性质：

    ①图像   

     y=arccosx          y= arctanx

    ②定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；函数y= arctanx的定义域是R.

    ③值域：函数y=arccosx的值域是[0，π]；函数y= arctanx的值域是（-，）.

    ④奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函数y= arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx.

    ⑤单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y= arctanx是增函数.

[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=cosx，x∈[0，π]与函数y=arccosx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称；函数y=tanx，x∈（-，）与函数y=arctanx，x∈R的图像关于直线对称.

   2．例题分析

例1．求下列反三角函数的值：

（1）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0；

（4）arctan1；（5）arctan（-）

解：（1）因为cos=，且∈[0，π]，所以arccos=.

    （2）因为cos=-，且∈[0，π]，所以arccos（-）=.

    （3）因为cos=0，且∈[0，π]，所以arccos0=.

    （4）因为tan=1，且∈（-，），所以arctan1=.

    （5）因为tan（-）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-.

例2．在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A、∠B、∠C.

解：因为AC2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有

∠A= arcsin= arccos=arctan；∠B== arcsin1= arccos0；

∠C= arcsin= arccos=arctan.

例3．化简下列各式：（1）arccos（cos）；（2）sin[arccos]；（3）cos[arctan（-1）]

解：（1）因为∈[0，π]，设cos=α，所以arccosα=，即arccos（cos）=.

（2）因为arccos=，所以sin[arccos]=sin=.

（3）因为arctan（-1）=-，所以cos[arctan（-1）]= cos(-)=.

例4．求下列函数的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.

(1) f（x）=+arccos；（2）f（x）=3π-arctan（2x-1）

解：（1）设y=+arccos，则arccos= y-，因为∈[-1，1]，arccos∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根据反余弦函数的定义，得=cos（y-），即x=2cos（y-）.将x，y互换，得反函数f-1（x）=2cos（x-），定义域是[，]，值域是[-2，2].

（2）设y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因为（2x-1）∈R ，arctan（2x-1）∈（-，），所以x∈R，y∈（，），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan（3π-y）=-tany，即x=（1-tany），将x，y互换，得反函数f-1（x）=（1-tanx），定义域是（，），值域是R.

   3．问题拓展

例1．证明等式：arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]

证明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1]

∴cos[arccos（-x）]= -x，cos（π-arccosx）=-cos（arccosx）=-x

又因为arccosx∈[0，π]，所以（π-arccosx）∈[0，π]，又arccos（-x）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1].

例2．证明等式：arctan（-x）=-arctanx，xR.

证明：因为tan arctan（-x）=-x，tan（-arctanx）=-tan arctanx，

又由arctanx（-，），得-arctanx（-，），再有arctan（-x）（-，），且正切函数在（-，）上单调递增，所以arctan（-x）=-arctanx，xR.

[说明]可以通过以上恒等式的证明形成学生严密的逻辑推理能力，但教师应根据学校学生的实际情形进行选择.

三、巩固练习

判断下列各式是否成立?简述理由.

（1）cos（arccos）=；（2）arctan=；（3）arcsin（-）= arcos(-)；（4）arccos+ arccos(-)=0；（5）arctan+ arc tan(-)=0.

解：（1）式不成立，因为[-1，1]，故arccos无意义；（2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin（-）=-，而arcos(-)=，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccos（-x）=π-arccosx错记成arccos（-x）=-arccosx；（5）式成立，因为等式arctan（-x）=-arctanx.

四、课堂小结   

  教师引导学生总结：

（1）反余弦函数和反正切函数的定义；

（2）反余弦函数和反正切函数的性质.

五、蓝面书