第五讲 函数及其性质学案

第五讲 函数及其性质

函数的概念

1.函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

2.函数的表示法：解析法、图象法和列表法．

知识拓展①分式中分母不为零；②偶次根式中被开方式非负；④x0中x≠0；

练1 （1）；　　　（2）；　　（3）．

练2 函数f(x)＝＋的定义域为

【例2】 求下列函数的定义域:(1) ；　(2) ．

练1 求函数的定义域．

求抽象函数的定义域*

【例3】已知的定义域为 ，求的定义域．

【例4】已知的定义域为，求的定义域．

【例5】已知的定义域为，求的定义域．

练1函数的定义域为，求函数的定义域;

练2已知函数的定义域是，求函数的定义域．

练3已知函数定义域是，则的定义域是

分段函数

分段函数是一个函数．分段函数要画图！

例1已知函数，(1) 求；(2) 若，求；(3) 作出函数的图像．

练1 已知函数（1）求的值；（2）若，求的值．

1.已知分段函数

　　（1）求的值；

　　（2）已知，求的值；

　　（3）若，求的值．

2.若函数，则=     ．

3.已知函数，若，则          ．

4.函数的值域是（    ）

  A．           B．          C．           D．

3．作出函数的图象．

4．作出函数的图象是

函数的单调性

【提示】若f(x)在区间D上单调递增，则称D为f(x)的单调递增区间；若f(x)在区间D上单调递减，则称D为f(x)的单调递减区间；

例1 如图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2 请探讨，，的单调性．

例3 函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．

例4 函数y＝在[2,3]上的最大值是________．

例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f 的大小.

练1 已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.

1．若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是     .

2．f(x)是定义在[0,＋∞)上的减函数，则不等式f(x)＜f(-2x＋8)的解集是____________．

3．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　)

A．y＝2x＋1     B．y＝x2＋1     C．y＝3－x     D．y＝x2＋2x＋1

4．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)

A．(－∞，1)     B．(1，＋∞)    C．(－∞，2)   D．(2，＋∞)

5．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)

A．2          B．－2       C．2或－2     D．0

6．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为(　　)

A．[0,3]        B．[－1,0]      C．[－1，＋∞)    D．[－1,3]

7．已知函数f(x)＝x2－x＋1.

(1)画出函数的图象；

(2)根据图象求函数在区间[－1,1]上的最大值．

函数的奇偶性

题型一  根据函数奇偶性画图

1．已知是偶函数，是奇函数，试将下图补充完整．

题型二   判断函数奇偶性

例2 判断下列函数的奇偶性

（1）  （2）  （3）    （4）

练1 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝ ＋ ； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝

题型三   利用函数的奇偶性求解析式

例3　 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2+3x+1,

 (1)求f(-1); (2)求f(x)的解析式.

练1 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．

题型四  利用函数的奇偶性求参

例4 (1)若函数是偶函数,定义域为,则a＝       ，b＝      ；

(2)已知函数f(x)＝a＋2x是奇函数，则实数a＝________.　

练1.设函数为奇函数，则a＝________

1.请判断的奇偶性.

2．判断下列函数的奇偶性：

（1）；                （2）．

3．下列函数是偶函数的是(　　)

A．f(x)＝x    B．f(x)＝2x2－3    C．f(x)＝    D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]

2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A．－             B.              C．－            D.

3．若奇函数f(x)在[－6，－2]]上是减函数，且最小值是1，则它在[[2,，,6]]是(　　) 

A．增函数且最小值是－1              B．增函数且最大值是－1

C．减函数且最大值是－1              D．减函数且最小值是－1

4．如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)＜0的解集为________．

5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－x.

(1)求f(x)的表达式；

(2)画出f(x)的图象．

6．奇函数的局部图像如图所示，则（   ）

 A． B．

 C． D．

7．已知函数为奇函数，则（    ）

 A. B. C. D.

8．已知偶函数在上单调递减，则之间的大小关系为

 A． B．

 C． D．

9．定义在上的奇函数满足：当，则_________．

10．已知是上的偶函数，且在，单调递增，若，则的取值范围为___．

11．已知函数，，则_________.

12．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)，f(0)的大小关系为________．

13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.

（1）计算，；

（2）当时，求的解析式.

14．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)

A．f (π)>f(－3)>f(－2)　 B．f(π)>f(－2)>f(－3)

C．f (π)<f(－3)<f(－2)   D．f(π)<f(－2)<f(－3)

15．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　)

A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，4)

16．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足＜的x的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

17．(1)已知函数为上的奇函数，且当时．求函数的解析式．

(2)已知函数为上的偶函数，且当时．求函数的解析式．

18．函数对于任意实数满足条件，若则________．

1．(2019江苏)函数的定义域是　　　　.

2．(2019北京)设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f(x)为奇函数，则a=________；若f(x)为偶函数，则a=________．

5．(2018全国Ⅲ)函数的图像大致为　　

6．(山东)已知函数的定义域为R．当时，；当时，；当时，．则=　　

A． B． C．0           D．2

7．(陕西)设，则＝　　

A．－1         B． C． D．

8．(全国Ⅰ)设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是　　

A．是偶函数       B．||是奇函数

C．||是奇函数       D．||是奇函数

9．(湖南)已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，＝　　

A．－3        B．－1  C．1         D．3

10．(全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=－1，则当x<0时，f(x)=　　

A． B． C． D．

1．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是(　　)

A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞)

2．若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　)

A．(1,3)　　　　　　 B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)

3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝，则f(919)＝　　　　.

4．(2019·山西联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(1，) D．(1,2)

5.(2020全国II)设函数f(x)=x3－，则f(x)

A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增   B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增   D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减