沪教版高中一年级 第一学期3.1函数的概念学案

高一数学必修1 分段函数

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分段函数

学习要求

1、了解分数函数的定义；

2、学会求分段函数定义域、值域；

3、学会运用函数图象来研究分段函数；

自学评价：

1、分段函数的定义

在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；

2、分段函数定义域，值域；

分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)

3、分段函数图象

画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；

【精典范例】

一、含有绝对值的解析式

例1、已知函数y=|x－1|+|x+2|

(1)作出函数的图象。

(2)写出函数的定义域和值域。

【解】：

(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)

所以已知函数可写为分段函数形式：

y=|x－1|+|x+2|=

在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图象略）

(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，+∞）

二、实际生活中函数解析式问题

例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。

【解】：

先考虑由甲地到乙地的过程：

0≤t≤2时，  y=6t

再考虑在乙地耽搁的情况：

2<t≤3时，   y=12

最后考虑由乙地返回甲地的过程：

3<t≤6时，   y=12－4(t－3)

所以S(t)=

函数图象（略）

点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.

三、二次函数在区间上的最值问题

例3、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).

(1)求g(a)的函数表达式

(2)求g(a)的最大值。

【解】：

对称轴x=

得g(a)

利用分段函数图象易得：g(a)max=3

点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。

追踪训练

1、设函数f(x)=则f(－4)=___________,若f(x0)=8，则x0=________

答案：18；或4。

2、已知函数f(x)=

求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.

答案：1；1；1。

3、  出下列函数图象

y=┃x+2┃－┃x－5┃

解：原函数变为    y=

下面根据分段函数来画出图象

图象（略）。

4、已知函数y=，则f(4)=_______.

答案：22。

5、已知函数f(x)=

(1)求函数定义域；

(2)化简解析式用分段函数表示；

(3)作出函数图象

答案：（1）函数定义域为{x┃x}

( 2 ) 

f(x)=┃x-1┃+

  =

(3) 图象（略）。

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