高中数学人教版新课标A必修52.2 等差数列教学设计及反思

第2章   2.2   第3课时

等差数列的前n项和

一、选择题

1．(2011·大纲全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)

A．8   B．7

C．6   D．5

[答案]　D

[解析]　∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.

2．记等差数列{an}的前n项和Sn.若a1＝，S4＝20，则S6＝(　　)

A．16　   B．24

C．36   D．48

[答案]　D

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，

∵a1＝，S4＝4×＋d＝2＋6d＝20，

∴d＝3，故S6＝6×＋×3＝48，故选D.

3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝(　　)

A．38   B．20

C．10   D．9

[答案]　C

[解析]　由等差数列的性质，得am－1＋am＋1＝2am，

∴2am＝a，由题意，得am≠0，∴am＝2.

又S2m－1＝＝

＝2(2m－1)＝38，∴m＝10.

4．数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　)

A．160   B．180

C．200   D．220

[答案]　B

[解析]　∵{an}是等差数列，

∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，

又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，

∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54.

∴3(a1＋a20)＝54，

∴a1＋a20＝18.

∴S20＝＝180.

5．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是(　　)

A．S7   B．S8

C．S13   D．S15

[答案]　C

[解析]　由已知a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为定值，则S13＝＝13a7也为定值，故选C.

6．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝(　　)

A．138   B．135

C．95   D．23

[答案]　C

[解析]　本题考查等差数列的性质及前n项和．

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

则，

②－①得2d＝6，∴d＝3.

a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2a1＋4d

＝2a1＋4×3＝4，

∴a1＝－4，

S10＝10×(－4)＋×3＝－40＋135＝95.

故选C.

二、填空题

7．在等差数列{an}中，a1＞0，d＝，an＝3，Sn＝，则a1＝________，n＝________.

[答案]　2；3

[解析]　由题意，得，

解得.

8．(2011·湖南理)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.

[答案]　25

[解析]　∵a4－a1＝3d，∴3d＝6，∴d＝2，∴S5＝5a1＋×5×4×d＝5＋×5×4×2＝25.

三、解答题

9．在等差数列{an}中：

(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；

(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.

[解析]　(1)解法一：由已知条件得

，

解得.

∴S10＝10a1＋×d

＝10×3＋×4＝210.

解法二：由已知条件得，

∴a1＋a10＝42，

∴S10＝＝5×42＝210.

解法三：由(a5＋a10)－(a4＋a9)＝2d＝58－50，

得d＝4

由a4＋a9＝50，得2a1＋11d＝50，∴a1＝3.

故S10＝10×3＋＝210.

(2)S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.

∴Sn＝＝＝＝510.

∴n＝20.

10．在等差数列{an}中，(1)已知 a6＝10，S5＝5，求a8和S8；

(2)已知a3＋a15＝40，求S17.

[解析]　(1)∵a6＝10，S5＝5，

∴，解得.

∴a8＝a6＋2d＝16，S8＝＝44.

(2)∵a1＋a17＝a3＋a15，

∴S17＝＝＝＝340.

能力提升

一、选择题

1．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为(　　)

A．24   B．26

C．27   D．28

[答案]　B

[解析]　设该等差数列为{an}，

由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，

an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，

又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，

∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，

∴a1＋an＝22.

∴Sn＝＝11n＝286，

∴n＝26.

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200＝(　　)

A．100   B．101

C．200   D．201

[答案]　A

[解析]　∵＝a1＋a200，且A、B、C三点共线，

∴a1＋a200＝1，S200＝＝100.

二、填空题

3．已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n＝________.

[答案]　27

[解析]　Sn＝＝18，

由S3＝1和，

得3(a1＋an)＝4，故a1＋an＝，

故n＝＝＝27.

4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．

[答案]　3

[解析]　S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，

S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，

∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.

三、解答题

5．已知等差数列{an}，

(1)若a2＋a7＋a12＝21，求S13；

(2)若S15＝75，求a8.

[解析]　(1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，a2＋a7＋a12＝21，

∴3a7＝21，即a7＝7.

∴S13＝＝＝91.

(2)∵S15＝＝＝75，∴a8＝5.

6．已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝(an＋2)2，

(1)求证：{an}是等差数列；

(2)若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

[解析]　(1)由Sn＝(an＋2)2，

则Sn－1＝(an－1＋2)2　(n≥2)．

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，

整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.

∴an－an－1＝4，即{an}为等差数列．

(2)∵S1＝(a1＋2)2.∴a1＝(a1＋2)2.

解得a1＝2.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2

∴bn＝an－30＝(4n－2)－30

  ＝2n－31.

令bn<0得n<，

∴S15为前n项和最小值．

S15＝b1＋b2＋…＋b15＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225.

7．甲、乙两物分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m.

(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

[分析]　可将问题化为等差数列问题．

[解析]　(1)设n分钟后第1次相遇，依题意有2n＋＋5n＝70，

整理得n2＋13n－140＝0

解得n＝7，n＝－20(舍去)

第一次相遇是在开始运动后7分钟．

(2)设n分钟后第二次相遇，依题意有

2n＋＋5n＝3×70

整理得n2＋13n－6×70＝0

解得n＝15或n＝－28(舍去)

第二次相遇是开始运动15分钟．

8．数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n－8.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{|an|}的前n项和Tn.

[解析]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－14；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－8，

故an＝.

(2)由an＝2n－8可知：当n≤4时，an≤0，当n≥5时，an>0.

∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋7n＋8，

当n≥5时，Tn＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－7n－8－2×(－20)＝n2－7n＋32，

∴Tn＝.