《导数在研究函数中的应用》教案1（苏教版选修2-2）练习题

导数在研究函数中的应用

目标认知

学习目标：

　　1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.

　　2. 了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次.

　　3．会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.

重点：　利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值

难点：　利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.

知识要点梳理

知识点一：函数的单调性

(一) 导数的符号与函数的单调性：

　　一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．

　　注意：

1. 若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）.即在区间(a,b)内，（或）是在(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：

 而f(x)在R上递增.

　　2. 学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.

3. 要关注导函数图象与原函数图象间关系.

（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：

　　1. 确定函数的定义域；　　2. 求导数；

　　3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；

　 　　当时，在相应区间上为增函数； 　　当时在相应区间上为减函数.

　　4. 写出的单调区间.

知识点二：函数的极值

（一）函数的极值的定义　一般地，设函数在点及其附近有定义，

（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作 ；

　　（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.

　　极大值与极小值统称极值.　　在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

　　注意：由函数的极值定义可知：

     （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.

     （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

    （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.

    （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

    （5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平　的，从而有.但反过来不一定.如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点不是函数的极值点.

（二）求函数极值的的基本步骤：

　　①确定函数的定义域；　②求导数；　③求方程的根；

　　④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右 正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

知识点三：函数的最大值与最小值

（一） 函数的最大值与最小值定理

　　若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.

（二）求函数最值的的基本步骤：

　　若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数　   （2）求在内的极值；

　　（3）求在闭区间端点处的函数值，；

　　（4）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值.

（三）最值理论的应用

　　解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：

　　（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；

　　（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

　　（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.

规律方法指导

　　（1）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应有.如：.

　　（2）最值与极值的区别与联系：

　 　　　①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念，最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；

　 　　　②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；

　 　　　③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.

　 　　　④若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.

典型例题

　　例1．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

　　解析：f'(x)=3ax2+1，若a≥0, f'(x)>0，对x∈R恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾。

　　若a<0，∵ f'(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。

　　∴ a<0且单调减区间为，单调增区间为。

　　例2．求函数y=2ex+e-x的极值。

　　解析：y'=2ex-e-x，令y'=0, 即2e2x=1, 　　列表：

　　∴ y极小。

　　例3．求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。

　　解析：f'(x)=3-3x2, 令f'(x)=0，则x1=-1，x2=1。　则f(-1)=-2, f(1)=2，又,

　　∴ [f(x)]max=2, [f(x)]min=-18。

　　例4．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。

　　解析：设点B的坐标为(x,0)且0<x<2,

　　∵ f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, ∴点C的坐标为(4-x,0),

　　∴ |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。

　　∴ 矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3 　　 y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)

　　令y'=0，解得，∵ 0<x<2, ∴ 取。

　　∵ 极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值。

　　例5．一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？

　　解析：如图示设A点为渔艇处，BC为海岸线，C为渔站，且AB=9km,

　　设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，

　　∵ ，

　　由A到C的时间T，则（0≤x≤15）

　　（0≤x≤15） 　令T'=0，解得x=3，在x=3附近，T'由负到正，

　　因此在x=3处取得最小值，又，比较可知T(3)最小。

　　训练题：

　　1．函数y=4x2(x-2), x∈[-2，2]的最小值是_____。

　　2．一个外直径为10cm的球，球壳厚度为，则球壳体积的近似值为____。

　　3．函数f(x)=x4-5x2+4的极大值是______，极小值是_____。

　参考答案：

　　1. –64　　2. 19.63cm3　　3. 4；

　　4. 设高为h，底边长为a，则所用材料为S=a2+4ah,而a2h=256，a∈(0,+∞),

　　∴ , a∈(0,+∞),

　　令S'(a)=, ∴ a=8。

　　显然当0<a<8时，S'(a)<0，当a>8时，S'(a)>0，因此当a=8时，S最小，此时h=4。

　4．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？

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