高一下册数学教案：4.2《反函数》（沪教版）

一. 教学内容：反函数 二. 本周重难点：1. 重点：    反函数的概念，互为反函数的函数图象间的关系。2. 难点：求反函数的方法，解决有关反函数的问题。 【典型例题】[例1] 求下列函数的反函数。（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）解：（1）由得    ∴ 又时，即原函数的值域（2）（）由得    ∴ ∵     ∴    ∴     ∴ 又   在上是增函数    ∴ 值域为∴ 所求反函数（）（3）由得   ∴ ∵    ∴    又 时，为减函数    ∴ 值域为∴ 所求反函数为（）（4）由，有∵      ∴    ∴ ∴      又 时，为减函数∴ 值域为[例2] 已知和互为反函数，求m，n的值。解：由  得    ∴ 的反函数是（）∵ 与表示同一函数    ∴ ∴ [例3] 已知：，求的表达式。解：（）[例4] ，求的值。    解：方法一：由得   ∴ 方法二：    ∴ [例5] 若点（1，2）既在的图象上，又在其反函数的图象上，求、的值。解：∵ 点（1，2）（2，1）都在的图象上∴      ∴ [例6] 已知函数的图象关于直线对称，求实数m的值。解：∵ 函数的图象关于直线对称     ∴ 它的反函数是它本身在中，令得，于是点（5，0）在函数的图象上，所以点（5，0）关于直线的对称点（0，5）也在函数的图象上。将，代入得 [例7] 设，的图象与的图象关于直线对称，求的值。解：∵ 将、互换应该就是即   ∴ [例8] 已知的反函数的图象的对称中心是（，3），求的值。解：∵ 的对称中心为（，3）   ∴ 图象的对称中心为（3，）又∴ 即  【模拟试题】（答题时间： 30分钟）一. 选择题：1. 函数的反函数是（    ）A.     B. C.    D. 2. 已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则等于（    ）    A.     B.     C.     D. 3. 已知（a、b、c是常数）的反函数，那么（    ）A. ，，   B. ，，C. ，，   D. ，，4. 函数的反函数为，则的反函数是（    ）A.     B.     C.     D.  二. 填空题：1. 已知函数有反函数，则       2. 点P在的图象上，又在其反函数的图象上，则P点的坐标为      3. 直线与直线关于直线对称，则       ，      4. 若，则        三. 解答题：1. 求下列函数的反函数。    （1）   （2）2. 已知函数（1）求函数的反函数的值域（2）若（2，3）是反函数图象上的一点，求函数的值域3.若函数在其定义域上是单调递增函数，求证它的反函数也是增函数。    
试题答案一. 1. D    2. B    3. A    4. C 二.1. m    2.（2，2）    3. ；6    4.  三.1.（1）    （2）（）2. 解：（1）由函数得的定义域为∴ 它的反函数的值域为（2）若（2，3）是反函数图象上的一点，则（3，2）在原来的函数的图象上，于是，即，所以，∵ 反函数的定义域为∴ 原函数的值域为3. 解：在的定义域内任取、，且需证为此令，于是有，   ∴ 而在其定义域上是单调函数    ∴ 即∴ 也是增函数