沪教版高中一年级 第二学期6.5最简三角方程教学设计

最简三角方程

【教学目标】

理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法；体会由特殊到一般的研究问题的方法，能综合运用所学知识解决问题，能用数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法解决有关问题。

【教学重难点】

解三角方程的思想方法。

【教学过程】

1．三种类型的最简方程的解集、数形结合思想。

例1：解方程：。

解：画出正弦函数的图像，考虑在一个周期上方程的解，再根据图像，由周期性得方程的解集为。

说明：

（1）在此题中，正弦函数的图像与直线的交点的横坐标即为解集的元素，这里实际上是一种数形结合的思想，而这个重要思想在三角函数相关问题中应用相当广泛。

（2）此题中解集的写法多样，比如有

还可以写成为等等，个人以为“解”中的写法较好。

（3）将此题稍加变化，就可以得到三角不等式：，同样可以根据正弦函数的图像得到此不等式的解集为。

（4）将此题中的具体数据改成字母，就可以得到典型的正弦型方程：

若，则解集为空集；

若，则类似于原题得解集为；

若，则解集为；

若，则解集为。

总结：的解集为。

例2：解方程：。

解：画出余弦函数图像，考虑在一个周期上方程的解，再根据图像，由周期性得方程的解集为。

说明：①类比例1，可以知道数形结合思想的重要性；知道解集写法的多样性；

②对于三角不等式的解集为；

③对于一般的方程

若，则解集为空集；

若，则类似于原题得解集为；

若，则解集为；

若，则解集为。

总结：的解集为。

例3：解方程：。

解：画出正切函数的图像，考虑在一个周期上方程的解，再根据图像，由周期性得方程的解集为。

说明：①类比例1，可以知道数形结合思想的重要性；知道解集写法的多样性；

②对于三角不等式的解集为；

③对于一般的方程，解集为。

总结：的解集为。

2．重要题型

两类变形问题：确定方程在给定区间的解的问题，需要化归为最简方程的问题

例4：求解下列三角方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

说明：最后两小题较难，可以选讲。

3．知识的联系问题：辅助角公式中的辅助角的表示

例5：如何利用反三角表示辅助角，一般取

（1），其中

（2），其中

解：（1）易知，由，而

故由反三角恒等式知，，同理得。

（2）易知，由，而

，故由反三角恒等式知；

，而，故需要转化区间，则由，即得

；同理得。

课堂总结

掌握三类最简三角方程的解集，注意：由于三角函数的周期性，从而使得三角方程的解集含有无穷个元素；对于较为复杂的三角方程（如例4）的方程，要求学生知道转化的方法；如何确定方程在指定范围内的解集；对于教材P105例4（4）的处理，这里又用角度制表示，使得毫不容易让学生习惯的弧度制表示角又出现反复了，那么如何处理这道例题就显得蛮痛苦的；反三角表示辅助角时，再次强调了反三角恒等式的用处，本文以为这是反三角函数中最为重要的思想方法。

试卷习题选编：

1．简单三角方程

方程的解集是_________________________________。

方程的解集为_________________________。

方程的解集是_________________________________。

方程____________________________。

方程的解集是_________________________________。

若方程有解，则的取值范围为_________________________。

方程的解集是_________________________________。

2．解下列方程：

（1）                （2）

（3）

3．讨论为何值时，方程的解的情况。

4．已知关于的方程有解，求实数的取值范围。

【教学反思】

最简三角方程的难度已经大为降低，只要求根据三角函数的图像求三种（正弦、余弦、正切）方程的解集；对于稍微复杂点的问题，可以转化为这三种最简方程处理。另外，本人以为在此处附带讲解一点解三角不等式的问题，过渡较为自然，方法统一。