高端精品高中数学二轮专题-平面向量（线性运算、基本定理和坐标运算）教案

这是一份高端精品高中数学二轮专题-平面向量（线性运算、基本定理和坐标运算）教案，共6页。

一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
交换律：＋＝＋
结合律：(＋)＋＝＋(＋)
减法：共起点，连终点，指向被减
（三）数乘：求实数λ与向量的积的运算
1.数乘意义：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同；
当λ<0时，λ与的方向相反；
当λ＝0时，λ＝0
2.运算律
（1）λ(μ)＝(λμ)
（2）(λ＋μ)＝λ＋μ
（3）λ(＋)＝λ＋λ
3．向量共线定理
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ.
4．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
三．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
题型一. 线性运算
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=（ ）
A．34AB→−14AC→B．14AB→−34AC→C．34AB→+14AC→D．14AB→+34AC→
2．设D为△ABC所在平面内一点，BC→=3CD→，则（ ）
A．AD→=−13AB→+43AC→B．AD→=13AB→−43AC→
C．AD→=43AB→+13AC→D．AD→=43AB→−13AC→
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→+FC→=（ ）
A．AD→B．12AD→C．BC→D．12BC→
4．已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA→−12OB→−3OC→=0→，则（ ）
A．OA→=12AB→+3AC→B．OA→=−12AB→+3AC→
C．OA→=12AB→−3AC→D．OA→=−12AB→−3AC→
题型二. 共线向量基本定理
1．设a→，b→是不共线的两个平面向量，已知AB→=a→−2b→，BC→=3a→+kb→(k∈R)，若A，B，C三点共线，则k＝（ ）
A．2B．﹣2C．6D．﹣6
2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB→−PB→=λPA→，其中λ∈R，则点P一定在（ ）
A．AC边所在的直线上B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上D．△ABC的内部
3．在△ABC中，AB→=c→，AC→=b→．若点D满足CD→=2DB→，则AD→=（ ）
A．23b→+13c→B．13b→+23c→C．23b→−13c→D．13b→−23c→
4．△ABC内一点O满足OA→+2OB→+3OC→=0→，直线AO交BC于点D，则（ ）
A．2DB→+3DC→=0→B．3DB→+2DC→=0→C．OA→−5OD→=0→D．5OA→+OD→=0→
题型三. 三点共线定理
1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→=2DB→，CD→=13CA→+λCB→，则λ＝（ ）
A．23B．13C．−13D．−23
2．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB→=a→，CA→=b→，|a→|＝1，|b→|＝2，则CD→=（ ）
A．13a→+23b→B．23a→+13b→C．35a→+45b→D．45a→+35b→
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若AC→=a→，BD→=b→，则AF→=（ ）
A．14a→+12b→B．23a→+13b→C．12a→+14b→D．13a→+23b→
4．给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若OC→=xOA→+yOB→，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 ．
5．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→=λAB→+μAD→，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3B．22C．5D．2
6．如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP→=xOA→+yOB→，则x的取值范围是 ；当x=−12时，y的取值范围是 ．
题型四. 坐标运算
1．已知向量a→=（3，﹣2），b→=（x，y﹣1）且a→∥b→，若x，y均为正数，则3x+2y的最小值是（ ）
A．24B．8C．83D．53
2．已知A（﹣3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在第二象限内，|OC|=22，且∠AOC=π4，设OC→=λOA→+OB→(λ∈R)，则λ的值为（ ）
A．1B．−23C．12D．23
3．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点，若AC→=xDE→+yAP→（xy≠0），则以下说法正确的是： （请将所有正确的命题序号填上）
①若点E和A重合，点P和B重合，则x＝﹣1，y＝1；
②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧DB的中点；
③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y＝3；
④若点E与B重合，点P为DB上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分．
课后作业. 线性运算、基本定理和坐标运算
1．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则AF→=（ ）
A．23AB→+13AD→B．34AB→+14AD→C．12AB→+14AD→D．23AB→+12AD→
2．设x∈R，向量a→=（x，1），b→=（1，﹣2），且a→∥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．52B．102C．5D．5
3．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→−OC→|=|OB→+OC→−2OA→|，若|AB|＝2，|AC|=3，则△ABC的外接圆的面积为 ．
4．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，N，若AB→=mAM→，AC→=nAN→，m＞0，n＞0，则1m+4n的最小值为（ ）
A．2B．4C．92D．9
5．如图，正方形ABCD中，E为线段CD的中点，若BD→=λAE→+μBE→，则λ+μ＝ ．
6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD＝2AD，AE＝2EC，点P是线段DE上的任意一点，若AP→=xAB→+yAC→，则xy的最大值为（ ）
A．136B．118C．112D．19