高端精品高中数学二轮专题-逻辑用语（带答案）教案

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逻辑用语
知识梳理.逻辑用语
1．命题
能判断真假的语句叫做命题．
2．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合.

题型一. 真假命题
1．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：该方程两根之和为2；
乙：该方程两根异号；
丙：x＝1是方程的根；
丁：x＝3是方程的根．
如果只有一个假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，
∴两根之和不为2，而x＝1，x＝3与两根异号矛盾，与题意不符；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，
∴两根不异号，即方程有两个相等的根，与题意不符；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，
令x1＝3，则x2＝﹣1，符合题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，
令x1＝1，则x2＝1，与题意不符．
故选：C．
2．下列命题中正确的是（　　）
A．若x∈C，x2+1＝0，则x＝i
B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0
C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2
D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣1
【解答】解：由x2+1＝0，x2＝﹣1，x∈C，令x＝a+bi，
∴x2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，则a2﹣b2＝﹣1，2ab＝0，
得a＝0，b2＝1，∴b＝±1．即x＝±1．故A错．
设z1＝（a1+b1i），z2＝（a2+b2i），
则z12+z22=(a1+b2i)2+(a2+b2i)2=0，得a12+a22−b12−b22=0，
可得：2（a1b1+a2b2）＝0，当a2＝﹣b1，a1＝b2时成立，则B错．
设z＝mi，|z|2＝m2，z2＝（mi）2＝﹣m2，∴|z|2≠z2，故C答案错误．
由复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，|3﹣4i|＝5，z（2+i）＝5，
z=52+i=2﹣i，
∴z＝2﹣i，则复数z的虚部为﹣1，故D答案正确．
故选：D．
3．给出下列命题：
①若空间向量a→，b→满足|a→|＝|b→|，则a→=b→；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量c→，由a→⋅c→=b→⋅c→，则a→=b→；
④在向量的数量积运算中(a→⋅b→)⋅c→=a→⋅(b→⋅c→)．
其中假命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①若|a→|＝|b→|，则a→与b→的模长相等，但方向不确定，只有当两个向量的方向相同时，才有a→=b→，即①错误；
②单位向量只代表长度相等，均为1，但方向不确定，即②错误；
③由平面向量的数量积可知，若a→⋅c→=b→⋅c→，则a→⋅cos＜a→，c→＞=b→⋅cos＜b→，c→＞，即③错误；
④由于平面向量的方向无法确定，所以向量的数量积运算不满足结合律，即④错误；
所以①②③④都是错误的，
故选：D．
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
【解答】解：A：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，，由线面垂直，面面垂直的性质得m⊥n，∴A正确，
B：若m∥α，n∥β，m⊂α，n⊂β，则α∥β或相交，∴B错误，
C：若m∥α，n∥α，则m∥n或相交或异面，∴C错误，
D：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，∴D错误．
故选：A．
5．给出下列命题：
（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
（2）设a，b，c为实数，若a＞b，则ac2＞bc2；
（3）设0＜α＜β＜π2，则α﹣β的取值范围是(−π2，π2)．
其中，真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：对于（1），在ABC中，若A＞B，则a＞b，
由正弦定理asinA=bsinB=2R，
得2RsinA＞2RsinB，
即sinA＞sinB成立，（1）正确；
对于（2），a，b，c是实数，“a＞b，且c＝0，则ac2＝bc2”，
则“a＞b”推不出“ac2＞bc2”所以（2）不正确；
对于（3），设0＜α＜β＜π2，−π2＜−β＜0，则α﹣β的取值范围是(−π2，π2)．因此（3）正确；
故选：C．
6．下列五个命题：
①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为0.8；
②集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的真子集个数为3；
③命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”；
④若(2x−1x)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中x2项的系数为80；
⑤在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为23．
其中正确的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：P（0＜ξ＜2）＝0.4，并且测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），
则P（ξ＞0）＝P（0＜ξ＜2）+P（ξ＞2）＝0.4+0.5＝0.9，故①错误；
经计算可得A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}，
则其真子集的个数为2n﹣1＝3，故②正确；
原命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0“，故③正确；
(2x−1x)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，则2n＝32，可得n＝5，
C5r(2x)5−r(−1x)r=(−1)r25−rC5rx5−3r2，令5−3r2=2，解得r＝2，
则展开式中x2项的系数为(−1)2×23×C52=80，故④正确；
在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的概率为710，
第1次和第2次都抽到理科题的概率为710×69=715，
∴在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为715710=23，故⑤正确．
所以有四个正确的命题．
故选：C．

题型二.量词与命题的否定
1．命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N∗，f(n0)∉N∗且f（n0）＞n0
D．∃n0∈N∗，f(n0)∈N∗或f（n0）＞n0
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：∃n0∈N∗，f(n0)∈N∗或f（n0）＞n0．
故选：D．
2．已知f（x）＝sinx﹣x，命题P：∀x∈（0，π2），f（x）＜0，则（　　）
A．P是假命题，￢P：∀x∈(0，π2)，f(x)≥0
B．P是假命题，￢P：∃x0∈(0，π2)，f(x0)≥0
C．P是真命题，￢P：∀x∈(0，π2)，f(x)＞0
D．P是真命题，￢P：∃x0∈(0，π2)，f(x0)≥0
【解答】解：∵f（x）＝sinx﹣x，∴f′（x）＝cosx﹣1≤0
∴f（x）是定义域上的减函数，
∴f（x）≤f（0）＝0
∴命题P：∀x∈（0，π2），f（x）＜0，是真命题；
∴该命题的否定是￢P：∃x0∈(0，π2)，f(x0)≥0．
故选：D．
3．对于下列四个命题，其中的真命题是（　　）
p1：∃x0∈（0，+∞），（12）x0＜（13）x0；
p2：∃x0∈（0，1），log12x0＞log13x0；
p3：∀x∈（0，+∞），（12）x＞log12x；
p4：∀x∈（0，13），（12）x＜log12x．
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
【解答】解：∵(12)x(13)x=（32）x，当x＞0时，（32）x＞1．即(12)x(13)x=（32）x＞1，即（12）x＞（13）x，
则p1：∃x0∈（0，+∞），（12）x0＜（13）x0；为假命题，
log12x0=1logx012，log13x0=1logx013，
∵x0∈（0，1），
∴0＜logx012＜logx013＜1则1logx012＞1logx013，
即p2：∃x0∈（0，1），log12x0＞log13x0成立，
当x=12时，（12）x＞log12x不成立，即p3是假命题，
由图象知∀x∈（0，13），（12）x＜log12x．成立，
故真命题为p2，p4，
故选：D．
4．若命题“∃x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为　（﹣5，3）　．
【解答】解：命题“∃x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，
即命题“∀x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4＞0”为真命题，
则判别式△＝（a+1）2﹣4×4＜0，
即△＝（a+1）2＜16，
则﹣4＜a+1＜4，
即﹣5＜a＜3，
故答案为：（﹣5，3）．

题型三.充分必要条件
1．（2015•福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，
反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，
所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．
故选：B．
2．（2020•天津）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，
故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，
故选：A．
3．设a，b都是不等于1的正数，则“loga3＞logb3＞1”是“3a＜3b”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：a，b都是不等于1的正数，
由loga3＞logb3＞1，得1＜a＜b＜3，∴3a＜3b；
反之，由3a＜3b，得a＜b，若0＜a＜1，b＞1，则loga3＜0，故loga3＞logb3＞1不成立．
∴“loga3＞logb3＞1”是“3a＜3b”的充分不必要条件．
故选：B．
4．设a，b是实数，则“a＞0，b＞0”是“ba+ab≥2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若a＞0，b＞0，则ba+ab≥2ba⋅ab=2，故充分性成立，
若a＜0，b＜0，满足ba＞0，ab＞0，满足ba+ab≥2ba⋅ab=2，但a＞0，b＞0不成立，
故“a＞0，b＞0”是“ba+ab≥2”的充分不必要条件，
故选：A．
5．在△ABC中，设命题p：asinC=bsinA=csinB，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC，若asinC=bsinA=csinB=t，
则ac=ba=cb=t，
即a＝tc，b＝ta，c＝bt，
即abc＝t3abc，即t＝1，
则a＝b＝c，即△ABC是等边三角形，
若△ABC是等边三角形，则A＝B＝C=π3，则asinC=bsinA=csinB=1成立，
即命题p是命题q的充要条件，
故选：C．
6．（2019•北京）设点A，B，C不共线，则“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→+AC→|＞|BC→|”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：点A，B，C不共线，
BC→=AC→−AB→，∴BC→2=AC→2+AB→2−2AC→⋅AB→，
当AB→与AC→的夹角为锐角时，AC→⋅AB→=AC→2+AB→2−BC→22＞0，
∴“AB→与AC→的夹角为锐角”⇒“|AB→+AC→|＞|BC→|”，
“|AB→+AC→|＞|BC→|”⇒“AB→与AC→的夹角为锐角”，
∴设点A，B，C不共线，则“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→+AC→|＞|BC→|”的充分必要条件．
故选：C．
7．已知“x2﹣x﹣2＞0”是“2x+p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是　（﹣∞，﹣4]　．
【解答】解：由2x+p＞0，得x＞−p2，即A＝{x|x＞−p2}，
由x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，令B＝{x|x＞2或x＜﹣1}，
由题意知A⊆B时，
即−p2≥2，
解得p≤﹣4，
∴实数p的取值范围是（﹣∞，﹣4]．
故答案为：（﹣∞，﹣4]．
8．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是　[0，12]　．
【解答】解：解|4x﹣3|≤1，得12≤x≤1． 解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0． 得a≤x≤a+1．
因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以，q是p的必要不充分条件，
即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．
∴[12，1]⫋[a，a+1]．
∴a≤12且a+1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤12．
∴实数a的取值范围是：[0，12]．

题型四.存在问题、恒成立问题
1．不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈　（﹣8，0]　．
【解答】解：∵不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x∈R恒成立，
∴m＝0或m≠0(−m)2+8m＜0，
解得﹣8＜m≤0．
∴不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈（﹣8，0]．
故答案为：（﹣8，0]．
2．若“对任意实数x∈[0，π2]，sinx≤m”是真命题，则实数m的最小值为　1　．
【解答】解：“对任意实数x∈[0，π2]，sinx≤m”是真命题，
∴sinx≤1，
∴m≥1，
∴实数m的最小值为：1．
故答案为：1．
3．已知命题p：∃x∈R，使得ex≤2x+a为假命题，则实数a的取值范围是　（﹣∞，2﹣ln2）　．
【解答】解：若命题“∃x∈R，使得ex≤2x+a”成立
则a大于等于函数y＝ex﹣2x的最小值．
函数y＝ex﹣2x的导数为y′＝ex﹣2．
令y′＝0，解得x＝ln2，此时函数y＝ex﹣2x有最小值，ymin＝2﹣2ln2．
则命题“∃x∈R，使得ex≤2x+a”是假命题时
数a的取值范围是（﹣∞，2﹣ln2）
故答案为：（﹣∞，2﹣ln2）．
4．已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝2x+a，若存在x1，x2∈[12，2]，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，0] B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）
C．（﹣5，0） D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）
【解答】解：当12≤x≤2时，log212≤f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]，
当12≤x≤2时，2×12+a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，
若存在x1，x2∈[12，2]，使得f（x1）＝g（x2），
则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，
若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，
则1+a＞1或4+a＜﹣1，
得a＞0或a＜﹣5，
则当或[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，
即实数a的取值范围是[﹣5，0]，
故选：A．