2021-2022学年河南省漯河市郾城区八年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年河南省漯河市郾城区八年级（上）期中数学试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省漯河市郾城区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．（3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
4．（3分）从一个多边形的顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的内角和是（　　）
A．180° B．270° C．360° D．540°
5．（3分）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠BAC的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
6．（3分）如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝6cm，BD＝4cm，AD＝5cm，那么BC的长是（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．无法确定
7．（3分）如图，BE＝CF，AB∥DE，添加下列哪个条件不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
8．（3分）如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，则△BFD≌△ACD的理由根据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
9．（3分）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则△DEF的面积等于（　　）

A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
10．（3分）如图，在等边△ABC中，D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的 　 　．

12．（3分）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是 　 　．

13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为　 　．

14．（3分）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　 　．

15．（3分）如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点．已知B（﹣3，3），D（0，1），当AD＝CE时，点E坐标为　 　．

三、解答下列各题（共75分）
16．（8分）已知，如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，AB边上的动点，BE和CF相交于点D，∠A＝80°．
（1）如果BE，CF分别为AC，AB上的高线时，求∠BDC的度数；
（2）如果BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB时，求∠BDC的度数．

17．（9分）已知△ABC为等腰三角形，请解答下列问题：
（1）若此三角形的一个内角为100°，求其余两角的度数；
（2）若该三角形两边长为2和4，求此三角形的周长．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2）、B（3，1）、C（﹣2，﹣1）
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．

19．（9分）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠BAC＝72°，求∠B的度数．

20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，BC＝BD，连接CD交BE于点F．
（1）求证：BE是CD的垂直平分线；
（2）若点D为AB的中点，且FE＝1，求AC的长．

21．（10分）如图，点E是线段BC上除点C，B外的任意一点，分别以EC，BE为边在线段CB的同侧作等边△ABE和等边△DEC，AC交BD于F，交DE于N，BD交AE于M．
（1）求∠AFB的度数；
（2）连接MN，下列结论中正确的是 　 　（把正确的序号直接填在横线上）．
①△DME≌△CNE；②AN＝BM；③MN∥BC；④MD＝CD．

22．（10分）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：

①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90o，点D为AB中点，则△AED≌　 　；
②如图2，△ABC为正三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌　 　；
③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若AE＝1，CF＝2，则EF的长为 　 　．
【模型应用】
（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为 　 　．
【模型变式】
（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求BE的长．
23．（11分）在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF＝120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是 　 　；
（2）当点E在线段AB上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在AB的延长线上时，BF＝8，BE＝2，请直接写出BC的长．

2021-2022学年河南省漯河市郾城区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】据在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度数，进而得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
3．（3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故选：C．
4．（3分）从一个多边形的顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的内角和是（　　）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出2条对角线，
∴n﹣3＝2，
解得n＝5，
∴内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．
故选：D．
5．（3分）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠BAC的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由∠B＝30°，∠ADC＝70°，利用外角的性质求出∠BAD，再利用AD平分∠BAC，求出∠BAC．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ADC＝70°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝80°．
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝6cm，BD＝4cm，AD＝5cm，那么BC的长是（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．无法确定
【分析】根据全等三角形的性质得出BC＝AD，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△BAD，AD＝5cm，
∴BC＝AD＝5cm，
故选：B．
7．（3分）如图，BE＝CF，AB∥DE，添加下列哪个条件不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
【分析】由平行可得到∠B＝∠DEF，又BE＝CF推知BC＝EF，结合全等三角形的判定方法可得出答案．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF．
A、当AB＝DE时，可用SAS证明△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、当∠A＝∠D时，可用AAS证明△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、当AC＝DF时，根据SSA不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
D、当AC∥DF时，可知∠ACB＝∠F，可用ASA证明△ABC≌△DEF，故本选项错误；
故选：C．
8．（3分）如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，则△BFD≌△ACD的理由根据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】利用直角三角形全等的判定方法进行判断．
【解答】解：∵AD为△ABC的高，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．
故选：D．
9．（3分）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则△DEF的面积等于（　　）

A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【分析】根据三角形中线的性质，先求得△ADC的面积，再求得△DEC的面积，即可求得△DEF的面积．
【解答】解：∵S△ABC＝16cm2，D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×16＝8（cm2），
∵E为AD的中点，
∴S△DEC＝S△ADC＝×8＝4（cm2），
∵F为EC的中点，
∴S△EDF＝S△DEC＝×4＝2（cm2），
故选：A．
10．（3分）如图，在等边△ABC中，D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°
【分析】根据题干条件：AB＝BC，BD＝CE，∠ABD＝∠C可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠BAD＝∠CBE，又知∠APE＝∠ABP+∠BAP，故知∠APE＝∠ABP+∠CBE＝∠B．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠DBE．
∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，
∴∠APE＝∠ABP+∠DBE．
即∠APE＝∠ABD．
∴∠APE＝60°．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的 　稳定性　．

【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．
【解答】解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
12．（3分）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是 　32°　．

【分析】根据平行线的性质求出∠EAD，根据角平分线的定义得到∠EAC＝2∠EAD＝64°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B＝32°，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD＝64°，
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝64°﹣32°＝32°．
故答案为：32°．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为　10　．

【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，将三角形AMN周长转化，求出即可．
【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO+NO＝MB+NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，
故答案为：10
14．（3分）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　45°　．

【分析】由翻折的性质可知∠AFE＝∠EFD，在Rt△EDC中，由三角形内角和求解即可．
【解答】解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．
∵ED⊥BC，
∴△EDC为直角三角形，
∴∠FDB＝30°，
∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴∠EFD＝45°．
故答案为：45°
15．（3分）如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点．已知B（﹣3，3），D（0，1），当AD＝CE时，点E坐标为　（﹣3，2）或（﹣1，0）　．

【分析】根据题意画出图形分两种情况求出点E的坐标即可．
【解答】解：如图，符合条件的点有两个，当点E在边AB和边OA上时，设为点E′和点E″，

∵B（﹣3，3），D（0，1），
∴AB＝OA＝3，OD＝1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，∠B＝∠AOD＝90°，
∵AD＝CE′＝CE″，
在Rt△BCE′和Rt△OAD中，
，
∴Rt△BCE′≌Rt△OAD（HL），
∴BE′＝OD＝1，
∴AE′＝AB﹣BE′＝2，
∴E′（﹣3，2）；
同理Rt△OCE′≌Rt△OAD（HL），
∴OE″＝OD＝1，
∴E″（﹣1，0）．
所以点E坐标为（﹣3，2）或（﹣1，0）．
故答案为：（﹣3，2）或（﹣1，0）．
三、解答下列各题（共75分）
16．（8分）已知，如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，AB边上的动点，BE和CF相交于点D，∠A＝80°．
（1）如果BE，CF分别为AC，AB上的高线时，求∠BDC的度数；
（2）如果BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB时，求∠BDC的度数．

【分析】（1）根据题意可得∠ABE＝10°，∠ACF＝10°，由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB＝100°，从而可求得∠DBC+∠DCB＝80°，从而可求得∠BDC的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB＝100°，从而可求得∠DBC+∠DCB＝50°，从而可求得∠BDC的度数．
【解答】解：（1）∵BE，CF分别为AC，AB上的高线，∠A＝80°，
∴∠ABE＝10°，∠ACF＝10°，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB﹣∠ACF＝80°，
在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝100°；
（2）∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，
在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝130°．
17．（9分）已知△ABC为等腰三角形，请解答下列问题：
（1）若此三角形的一个内角为100°，求其余两角的度数；
（2）若该三角形两边长为2和4，求此三角形的周长．
【分析】（1）已知给出了一个内角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立；
（2）题目给出等腰三角形有两边长为2和4，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）已知等腰三角形的一个内角是100°，
根据等腰三角形的性质，则其余两个角相等，
当100°的角为顶角时，三角形的内角和是180°，所以其余两个角的度数是（180°﹣100°）×＝40°；
当100°的角为底角时，此时不能满足三角形内角和定理，这种情况不成立．
综上所述，其余两角的度数为40°，40°；
（2）解：∵2+2＝4，
∴腰的长不能为2，只能为4，
∴等腰三角形的周长＝2×4+2＝10．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2）、B（3，1）、C（﹣2，﹣1）
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）A1（﹣1，2）B1（﹣3，1）C1（2，﹣1）；

（3）△A1B1C1的面积＝5×3﹣×1×2﹣×2×5﹣×3×3，
＝15﹣1﹣5﹣4.5，
＝15﹣10.5，
＝4.5．

19．（9分）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠BAC＝72°，求∠B的度数．

【分析】（1）由MN是线段AB的垂直平分线知AE＝BE，结合BE＝AC知AE＝AC，根据D是线段CE的中点即可得证；
（2）由AE＝BE，可设∠B＝∠BAE＝x°，继而知∠AEC＝∠C＝∠B+∠BAE＝（2x）°，∠EAC＝180°﹣4x°，根据∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝72°可得关于x的方程，解之即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，

由题意知MN是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
又∵BE＝AC，
∴AE＝AC，
∵D是线段CE的中点，
∴AD⊥CE；
（2）解：∵AE＝BE，
∴设∠B＝∠BAE＝x°，
∴∠AEC＝∠C＝∠B+∠BAE＝（2x）°，
∴∠EAC＝180°﹣4x°，
则∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝72°，
∴x+180﹣4x＝72，
解得x＝36，
∴∠B＝36°．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，BC＝BD，连接CD交BE于点F．
（1）求证：BE是CD的垂直平分线；
（2）若点D为AB的中点，且FE＝1，求AC的长．

【分析】（1）首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB，得出∠EBC＝∠EBD，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明．
（2）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°，
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
，
∴Rt△ECB≌Rt△EDB（HL），
∴∠EBC＝∠EBD，
又∵BD＝BC，
∴BF⊥CD，
∴CF＝DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴AD＝DB＝DC，
∵BC＝BD，
∴DC＝BC＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵DE⊥AB，AD＝DB，
∴△AEB是等腰三角形，
∴∠AED＝∠BED＝60°，
由（1）知BE垂直平分CD，
∴DE＝2EF＝2，
∴AE＝EB＝4，
∴CE＝2，
∴AC＝AE+CE＝4+2＝6．
21．（10分）如图，点E是线段BC上除点C，B外的任意一点，分别以EC，BE为边在线段CB的同侧作等边△ABE和等边△DEC，AC交BD于F，交DE于N，BD交AE于M．
（1）求∠AFB的度数；
（2）连接MN，下列结论中正确的是 　①②③　（把正确的序号直接填在横线上）．
①△DME≌△CNE；②AN＝BM；③MN∥BC；④MD＝CD．

【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△BED，可得∠EAC＝∠EBD，即可求解；
（2）由“SAS”可证△DME≌△CNE，利用全等三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：（1）∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠AEB＝∠DEC＝60°，
∴∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴∠EAC＝∠EBD，
又∵∠AMF＝∠BME，
∴∠AFB＝∠BEA＝60°；
（2）连接MN，

∵△AEC≌△BED，
∴∠EDM＝∠ECN，AC＝BD，
∵∠AEB＝∠DEC＝60°，
∴∠MED＝60°＝∠DEC，
在△DME和△CNE中，
，
∴△DME≌△CNE（SAS），故①正确；
∴CN＝DM，EM＝EN，
∴AC﹣CN＝BD﹣DM，
∴AN＝BM，故②正确；
∵EM＝EN，∠MEN＝60°，
∴△EMN是等边三角形，
∴∠EMN＝60°＝∠AEB，
∴MN∥BC，故③正确；
由题意无法证明CD＝MD，故④错误，
故答案为①②③．
22．（10分）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：

①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90o，点D为AB中点，则△AED≌　△BDF　；
②如图2，△ABC为正三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌　△CFD　；
③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若AE＝1，CF＝2，则EF的长为 　3　．
【模型应用】
（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为 　（﹣，1）　．
【模型变式】
（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求BE的长．
【分析】（1）①由“AAS”可证△AED≌△BDF；
②由“AAS”可证△BDE≌△CFD；
③由“AAS”可证△ABE≌△BCF，可得AE＝BF＝1，BE＝CF＝2，即可求解；
（2）由“AAS”可证△AOF≌△OCE，可得CE＝OF＝1，OE＝AF＝，即可求解；
（3）由“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得CE＝AD＝6cm，CD＝BE，即可求解．
【解答】解：（1）①如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠FDB，
∴∠AED＝∠EDB，
∴△AED≌△BDF（AAS），
故答案为△BDF；
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，
∴∠BED＝∠FDC，
又∵BD＝CF，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
故答案为：△CFD；
③∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠CBF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝2，
∴EF＝3，
故答案为：3；
（2）如图④，过点A作AF⊥x轴于F，过点C作CE⊥x轴于E，

∵点A的坐标为（1，），
∴AF＝，OF＝1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴AO＝OC，∠AOC＝90°，
∵AF⊥EF，CE⊥EF，
∴∠AFO＝∠CEO＝90°＝∠AOC，
∴∠AOF+∠FAO＝90°＝∠AOF+∠COE，
∴∠COE＝∠FAO，
∴△AOF≌△OCE（SAS），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标为：（﹣，1），
故答案为：（﹣，1）；
（3）如图⑤，∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠DCA+∠BCE＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝6cm，CD＝BE，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2cm．
23．（11分）在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF＝120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是 　DE＝DF　；
（2）当点E在线段AB上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在AB的延长线上时，BF＝8，BE＝2，请直接写出BC的长．
【分析】（1）证明∠DEF＝∠F＝30°，可得结论；
（2）旋转问题，三角形旋转之后，得到的新三角形与原三角形全等，所以线段的关系与（1）中关系相同；
（3）证明BF﹣BE＝BC，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠F＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴DE＝DF；

（2）结论成立．DE＝DF．
理由：如图2中，过D作DM∥BC交AB于M点，

∵DM∥BC，
∴∠AMD＝∠ABC＝60°，∠ADM＝∠ACB＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
则MD＝DC＝AD，
∠MDC＝∠EDF＝120°，
则∠MDC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC，
即：∠MDE＝∠CDF，
在△MED和△CDF中，
，
∴△MED≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF；

（3）取AB中点N，连接DN，如图3中，

∵ND＝CD，∠END＝∠DCF＝120°，NE＝CF，
∴△END≌△FCD（SAS），
∴DE＝DF，
∵BE+AB＝CF，
∴BF＝BC+CF＝BC+BE，
∴BF﹣BE＝BC，
∵BF＝8，BE＝2，
∴BC＝4．