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2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题03函数含解析
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这是一份2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题03函数含解析,共35页。试卷主要包含了选择题部分,填空题部分,解答题部分等内容,欢迎下载使用。
专题03 函数
一、选择题部分
1.(2021•高考全国甲卷•理T4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为()()
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【答案】C.
【解析】根据关系,当时,求出,再用指数表示,即可求解.
由,当时,,
则.故选C.
2.(2021•高考全国甲卷•理T12)设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则()
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】通过是奇函数和是偶函数条件,可以确定出函数解析式,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案.
因为是奇函数,所以①;
因为是偶函数,所以②.
令,由①得:,由②得:,
因为,所以,
令,由①得:,所以.
思路一:从定义入手.
所以.
思路二:从周期性入手
由两个对称性可知,函数的周期.
所以.
故选D.
3.(2021•高考全国乙卷•文T9)设函数,则下列函数中为奇函数的是()
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由题意可得,
对于A,不是奇函数;
对于B,是奇函数;
对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;
对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.
故选B
4.(2021•江苏盐城三模•T8)已知正数x,y,z满足xlny=yez=zx,则x,y,z的大小关系为
A.x>y>z B.y>x>z C.x>z>y D.以上均不对
【答案】A.
【考点】比较大小
【解析】由题意可知,lny>0,即y>1,由xlny=zx,可得z=lny≤y-1,则z-y≤-1<0,所以z<y;又yez=zx,所以(z+1)ez≤yez=zx<yx,所以z+1≤ez<x,则z-x<-1<0,所以z<x;因为xlny=yez,所以x==>=y,即x>y,所以x>y>z,故答案选A.
5.(2021•河南郑州三模•理T12)已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),当x∈[,1)时,f(x)=ln3x,若在区间[,9)内,函数g(x)=f(x)﹣ax右四个不同零点,则实数a的取值范围是( )
A.B. C.D.
【答案】B.
【解析】当x∈[,1)时,f(x)=ln3x,f(x)=f(3x),
∴f(x)=f(x),∴x∈[1,3)时,f(x)=f(x)=ln,
故f(x)=,
函数g(x)=f(x)﹣ax右四个不同零点,
即y=f(x)和y=ax的图像有4个不同交点,
可得直线y=ax在图中两条虚线之间,如图示:
其中一条虚线是OA,A(9,ln3),则KOA=,
其中一条OB是过原点与f(x)=ln相切的直线,
设切点B为(x0,ln),
f′(x)=(ln)′=•=,KOB=,又KOB=,
∴=,解得:x0=3e,∴KOB=,∴<a<,
6.(2021•河南郑州三模•理T4)函数f(x)=ln|x|+的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0},
f(﹣x)=ln|﹣x|+=ln|x|+=f(x),则f(x)是偶函数,排除B,
f(1)=ln1+1=1>0,排除A,
f(2)=ln2+>0,排除C.
7.(2021•江西上饶三模•理T5.)已知a=log38,b=0.910,c=,则( )
A.c>a>b B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a
【答案】A.
【解析】因为a=log38∈(1,2),b=0.910∈(0,1)),c==21.1>2,
所以c>a>b.
8.(2021•河南开封三模•文T11理T9)若2a=5b=zc,且,则z的值可能为( )
A. B. C.7 D.10
【答案】D.
【解析】设2a=5b=zc=k,则a=log2k,b=log5k,c=logzk,
∴+=+=logk2+logk5=logk(2×5)=logk10==logkz,∴z=10,
9.(2021•河南焦作三模•理T5)函数y=sinx•ln|x|的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】根据题意,f(x)=sinx•ln|x|,其定义域为{x|x≠0},
有f(﹣x)=sin(﹣x)•ln|﹣x|=﹣sinx•ln|x|=﹣f(x),即函数f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,排除CD,
在区间(0,1)上,sinx>0,ln|x|<0,则f(x)<0,函数图像在x轴的下方,排除B.
10.(2021•河南焦作三模•理T3)已知a=,b=log,c=()4,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b
【答案】B.
【解析】∵,,
∴a>c>b.
11.(2021•山东聊城三模•T3.)函数f(x)=x2ex-e-x的图象大致为()
A. B.
C. D.
【答案】A.
【考点】函数奇偶性的判断,对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】由f(x)=x2ex-e-x,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
f(-x)=(-x)2e-x-ex=-x2ex-e-x=-f(x),所以函数为奇函数,故排除BD;
当x>0时,f(x)>0;当x→+∞时,函数y=ex-e-x的增长速度比y=x2的增产速度快,所以f(x)→0,故排除C;故答案为:A.
【分析】根据奇函数及其图像特征可判断B错误,D错误,再由x→+∞时f(x)→0得C错误故选A。
12.(2021•山东聊城三模•T5.)声强级LI(单位:dB)由公式LI=10lg(I10-12)给出,其中I为声强(单位:W/m2)一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB,平时常人交谈时声强级约为60dB,那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的().
A.104倍B.105倍C.106倍D.107倍
【答案】C.
【考点】指数式与对数式的互化.
【解析】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为I1,平时常人交谈时声强为I2,
由题意得{120=10lg(I110-12)60=10lg(I210-12)解得{I1=1024I2=1018.∴I1I2=106,故答案为:C.【分析】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为I1,平时常人交谈时声强为I2 把已知数据代入 LI=10lg(I10-12)联立,解得I1,I2,二者相除即可求得.
13.(2021•四川内江三模•理T6.)某种热饮需用开水冲泡,其基本操作流程如下:①先将水加热到100℃,水温y(℃)(min)近似满足一次函数关系;②用开水将热饮冲泡后在室温下放置(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为(a,b为常数),口感最佳.某天室温为20℃时,冲泡热饮的部分数据如图所示.那么按上述流程冲泡一杯热饮,最少需要的时间为( )
A.35min B.30min C.25min D.20min
【答案】C.
【解析】由题意知当0≤t≤5时,图象是直线,图象的解析式为,
图象过(5,100)和(15,则,得,
即y=80()+20,
当y=40时,得80()+20=40)=20)=,得=6,
即最少需要的时间为25min.
14.(2021•重庆名校联盟三模•T3.)函数f(x)=(3x﹣x3)sinx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】∵f(﹣x)=(﹣3x+x3)sin(﹣x)=(3x﹣x3)sinx=f(x),
∴f(x)为偶函数,排除选项B;
当0<x<时,3x﹣x3>0,sinx>0,∴f(x)>0,
当<x<π时,3x﹣x3<0,sinx>0,∴f(x)<0.
15.(2021•重庆名校联盟三模•T11.)f(x)是定义在R上周期为4的函数,且f(x)=,则下列说法中正确的是( ).
A.f(x)的值域为[0,2]
B.当x∈(3,5]时,f(x)=2
C.f(x)图像的对称轴为直线x=4k,k∈Z
D.方程3f(x)=x恰有5个实数解
【答案】ABD.
【解析】当x∈(﹣1,1]时,由y=,得;
当x∈(1,3]时,y=1﹣|x﹣2|=.
作出f(x)的部分图象如图:
由图可知,f(x)的值域为[0,2],故A正确;
把x∈(﹣1,1]时,y=右移4个单位,可得x∈(3,5]时,y=2,
即,故B正确;
函数f(x)图像的对称轴为直线x=2k,k∈Z,故C错误;
方程3f(x)=x的解的个数,即y=f(x)与y=的交点个数,
由图可知,两函数交点个数为5,故D正确.
16.(2021•安徽蚌埠三模•文T10.)若把定义域为R的函数f(x)的图象沿x轴左右平移后,可以得到关于原点对称的图象,也可以得到关于y轴对称的图象,则关于函数f(x)的性质叙述一定正确的是( )
A.f(﹣x)+f(x)=0 B.f(x﹣1)=f(1﹣x)
C.f(x)是周期函数 D.f(x)存在单调递增区间
【答案】C.
【解析】定义域为R的函数f(x)的图象沿x轴左右平移后,可以得到关于原点对称的图象,也可以得到关于y轴对称的图象,
∴f(x)的图象既有对称中心又有对称轴,但f(x)不一定具有奇偶性,例如f(x)=sin(x+),
由f(﹣x)+f(x)=0,则f(x)为奇函数,故A错误;
由f(x﹣1)=f(1﹣x),可得函数图象关于x=0对称,故B错误;
由f(x)=0时,f(x)不存在单调递增区间,故D错误;
由已知设f(x)图象的一条对称抽为直线x=a,一个对称中心为(b,0),且a≠b,
∴f(2a+x)=f(﹣x),f(﹣x)=﹣f(2b+x),
∴f(2a+x)=﹣f(2b+x),
∴f(2a+x﹣2b)=﹣f(2b+x﹣2b)=﹣f(x),
∴f(x+4a﹣4b)=﹣f(2b+x﹣2b)=﹣f(x+2a﹣2b)=f(x),
∴f(x)的一个周期T=4(a﹣b),故C正确.
17.(2021•安徽蚌埠三模•文T8.)已知函数f(x)=则不等式f(x)<1的解集为( )
A.(1,7) B.(0,8) C.(1,8) D.(﹣∞,8)
【答案】C.
【解析】当x≤1时,令e2﹣x<1,即2﹣x<0,解得x>2,所以无解,
当x>1时,令lg(x+2)<1,即0<x+2<10,解得﹣2<x<8,所以1<x<8,
综上,不等式的解集为(1,8).
18.(2021•安徽蚌埠三模•文T7.)已知a=log31.5,b=log0.50.1,c=0.50.2,则a、b、c的大小关系为( ).
A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b
【答案】B.
【解析】∵,∴0<a<,
∵log0.50.1>log0.50.5=1,∴b>1,
∵0.5<0.50.2<0.50,∴,
∴a<c<b.
19.(2021•上海嘉定三模•T16.)设函数y=f(x)、y=g(x)的定义域、值域均为R,以下四个命题:
①若y=f(x)、y=g(x)都是R上的递减函数,则y=f(g(x))是R上的递增函数;
②若y=f(x)、y=g(x)都是奇函数,则y=f(g(x))是偶函数;
③若y=f(g(x))是周期函数,则y=f(x)、y=g(x)都是周期函数;
④若y=f(g(x))存在反函数,则y=f(x)、y=g(x)都存在反函数.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C.
【解析】①若y=f(x)、y=g(x)都是R上的递减函数,若x1<x2,
则f(x1)>f(x2)和g(x1)>g(x2),∴f(g(x1))<f(g(x2)),
则根据复合函数的性质,y=f(g(x))是单调递增函数,①正确;
②若y=f(x)、y=g(x)都是奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=﹣g(x),
f(g(﹣x))=f(﹣g(x))=﹣f(g(x))也是奇函数,②不正确;
③若y=f(g(x))是周期函数,则只需y=g(x)是周期函数即可,③错误;
④若y=f(g(x))存在反函数,y=f(x)是一一对应的,y=g(x)是一一对应的,
则y=f(x)、y=g(x)都存在反函数,④正确.
20.(2021•贵州毕节三模•文T 12.)已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)=f(1﹣x),且当x∈(﹣∞,1)时,(x﹣1)⋅f'(x)>0(其中f'(x)为f(x)的导函数).设a=f(log23),b=f(log32),c=f(21.5),则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b
【答案】C.
【解析】∵对任意x∈R,都有f(x+1)=f(1﹣x),∴f(x)关于直线x=1对称,
又当x∈(﹣∞,1)时,(x﹣1)⋅f'(x)>0,
∴函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,则在(1,+∞)上单调递增,
而,且,∴f(21.5)>f(log23)>f(log32),即c>a>b.
21.(2021•贵州毕节三模•文T10.)设函数f(x)=ln|3x+2|﹣ln|3x﹣2|,则f(x)( )
A.是偶函数,在上单调递减
B.是奇函数,在上单调递增
C.是偶函数,在上单调递增
D.是奇函数,在上单调递增
【答案】B.
【解析】因为f(x)=ln|3x+2|﹣ln|3x﹣2|,x,
所以f(﹣x)=ln|﹣3x+2|﹣ln|﹣3x﹣2|=ln|3x﹣2|﹣ln|3x+2|=﹣f(x),
所以f(x)为奇函数,
因为t==﹣1﹣在(﹣,)上单调递增,
当﹣时,f(x)=ln(3x+2)﹣ln(2﹣3x)=ln单调递增,B正确.
22.(2021•辽宁朝阳三模•T12.)如图,函数f(x)的图象由一条射线和抛物线的一部分构成,f(x)的零点为﹣,则( ).
A.函数g(x)=f(x)﹣f(4)•lg有3个零点
B.f(|x|)≥log84恒成立
C.函数h(x)=|f(x)|﹣有4个零点
D.f(x+)≥f(x)恒成立
【答案】BCD.
【解析】由题意可得f(﹣)=0,f(1)=2,可得x≤1时,f(x)=(x+)=x+,当x>1时,由图象可得f(2)=1,可设f(x)=a(x﹣2)2+1,再由f(1)=2,解得a=1,则f(x)=x2﹣4x+5.
即f(x)=.
由g(x)=f(x)﹣f(4)•lg=0,可得f(x)=f(4)•lg=5lg=lg<1,由图象可得g(x)=0只有一个零点,故A错误;
由y=f(|x|)为偶函数,可得x≥0时,f(x)≥f(0)=,又log84===,即有f(|x|)≥log84恒成立,故B正确;
由函数h(x)=|f(x)|﹣=0,可得|f(x)|==,
由f(x)=,可得有三个实根;由f(x)=﹣,可得有一个实根,则h(x)有四个零点,故C正确;
当x≤1时,f(x)递增,x+>x,可得f(x+)>f(x);
当x≥2时,f(x)递增,x+>x,可得f(x+)>f(x);
当1<x<2时,f(1)=f(3)=2,>2,所以x∈(1,2)时,x+∈(,)在(3,5)内,
由f(3)=f(1)=2,所以f(x+)>2,而f(x)∈(1,2),
所以f(x+)>f(x).
综上可得,f(x+)≥f(x)恒成立.故D正确.
23.(2021•辽宁朝阳三模•T7.)某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化,设第x(1≤x≤7,x∈N)天进店消费的人数为y,且y与[]([t]表示不大于t的最大整数)成正比,第1天有10人进店消费,则第4天进店消费的人数为( )
A.74 B.76 C.78 D.80
【答案】C.
【解析】由题意可设比例系数为k,∴10=k[],
∴k=2,∴y=2[]=2×39=78.
24.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T7.)函数f(x)=的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】函数的定义域为R,排除B,D,
当x>0且x→+∞,f(x)<0,且f(x)→0,排除C.
25.(2021•四川泸州三模•理T3.)在交通工程学中,常作如下定义:
交通流量Q(辆/小时):单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数;
车流速度V(千米/小时):单位时间内车流平均行驶过的距离;
车流密度K(辆/千米):单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.
一般的,V和K满足一个线性关系,即(其中v0,k0是正数),则以下说法正确的是( )
A.随着车流密度增大,车流速度增大
B.随着车流密度增大,交通流量增大
C.随着车流密度增大,交通流量先减小,后增大
D.随着车流密度增大,交通流量先增大,后减小
【答案】D.
【解析】因为(其中v0,k0是正数),则随着车流密度增大,流速度减小,交通流量先增大,后减小,故A、B、C错误,D正确,
26.(2021•江苏常数三模•T4.)生物体死亡后,它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率),P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%,则可推断该文物属于( ).
参考数据:log20.79≈﹣0.34.
参考时间轴:
A.战国 B.汉 C.唐 D.宋
【答案】B.
【解析】因为每经过5730年衰减为原来的一半,所以生物体内碳14的含量p与死亡年数t之间的函数关系式为P=()(t>0),由题意可得()=0.79,所以=﹣log20.79≈0.34,可得t≈1948,由2021﹣1948=73,可推断该文物属于汉朝.
27.(2021•江西南昌三模•理T4.)若函数,则=( )
A. B. C.1 D.
【答案】D.
【解析】根据题意,函数,则f(﹣)=4sin(﹣)=2,
则=f(2)=log22=.
28.(2021•安徽宿州三模•理T9.)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log),b=g(20.7),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.b<a<c
【答案】D.
【解析】奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0,
又g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,
∴a=g(﹣log)=g(log25),则2<log25<3,1<20.7<2,
由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.7)<g(log25)<g(3),∴b<a<c.
29.(2021•安徽宿州三模•文T6.)已知函数f(x)=x2+ln(|x|+e),则( )
A.f(0)<f(logπ3)<f(﹣log3π)
B.f(﹣log3π)<f(logπ3)<f(0)
C.f(﹣log3π)<f(0)<f(logπ3)
D.f(logπ3)<f(0)<f(﹣log3π)
【答案】A.
【解析】函数f(x)=x2+ln(|x|+e)的定义域为R,且f(﹣x)=f(x),
∴f(x)是偶函数,∴f(﹣log3π)=f(log3π),
而log3π>log33=1,0<logπ3<1,
∴0<logπ3<log3π.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(0)<f(logπ3)<f(log3π),
∴f(0)<f(logπ3)<f(﹣log3π).
30.(2021•安徽宿州三模•文T7理T5)函数的图象大致为( ).
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】函数不是偶函数,可以排除C,D,
又令得极值点为,所以排除B.
31.(2021•安徽马鞍山三模•理T7.)函数f(x)的部分图象如图,则它的解析式可能是( ).
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由图知,f(0)=0,对于选项A,当x=0时,y==1≠0,即选项A不符合题意;当﹣π<x<﹣1时,f(x)>0,此时sinx<0,x+1<0,∴y=>0,y=<0,即选项B符合题意,选项C不符合题意;
当x>0时,f(x)先为正,后为负,此时|sinx|≥0,x+1>0,∴y=≥0,与图象不符,即选项D不符合题意.
32.(2021•安徽马鞍山三模•文T6.)函数f(x)=在[﹣π,π]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】∵f(﹣x)==﹣=﹣f(x),
∴函数f(x)为奇函数,排除选项B,
又f()=>0,∴排除选项A和C.
33.(2021•河北秦皇岛二模•理T6.)已知a=,b=,2c+c=0,则( )
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b
【答案】C.
【解析】∵0<a=<()0=1,b=>=1,
再由2c+c=0,得c<0,∴c<a<b.
34.(2021•江西鹰潭二模•理T7.)设a=log23,b=2log32,c=2﹣log32,则a,b,c的大小顺序为( )
A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c
【答案】A.
【解析】b=2log32=log34,c=2﹣log32=log3,
所以c>b,
a=log23=log2>log=,
因为c=2﹣log32=log3<log3=,
所以a>c,综上a>c>b.
35.(2021•江西鹰潭二模•理T12.)已知集合A={x|xa﹣1﹣≤1},集合B={x|2021x+lnx≥2021},若B⊆A,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,1] B.(﹣∞,e] C.[﹣1,1] D.[﹣1,e]
【答案】B.
【解析】令f(x)=2021x+lnx,易得当x>0时f(x)单调递增
∴2021x+lnx≥2021解得x≥1
令g(x)=ex+x易得g(x)是R上的增函数
∵x>0,不等式xa﹣1﹣≤1可写成xa﹣ex+alnx﹣x≤0.
即xa+alnx≤ex+x⇒ealnx+alnx≤ex+x.可得alnx≤x.
又因为B⊆A,所以当x≥1时alnx≤x恒成立.∴恒成立.
令.当x∈[1,e]函数单调递减,x∈[e,+∞)函数单调递增.
所以ymin=e∴a≤e.
36.(2021•河北秦皇岛二模•理T4.)为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理如图:
现在加密密钥为t=2ax+1(a>0且a≠1),解密密钥为y=3t﹣5,如下所示:发送方发送明文“1”,通过加密后得到密文“18”,再发送密文“18”,接受方通过解密密钥解密得明文“49”,问若接受方接到明文“4”,则发送方发送明文为( )
A.﹣log32 B.log3+1 C.162 D.log3﹣1
【答案】A.
【解析】由加密密钥为t=2ax+1(a>0且a≠1),解密密钥为y=3t﹣5,
且x=1时,t=2•a1+1=18,解得a=3,
所以y=3×18﹣5=49;当y=3t﹣5=4时,t=3,
令2•3x+1=3,解得x=log3﹣1=﹣log32,所以发送方发送明文是﹣log32.
37.(2021•江西上饶二模•理T7.)函数f(x)=•cosx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】f(﹣x)=•cos(﹣x)=•cosx=﹣f(x),
即f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B,C,
当0<x<时,f(x)<0,排除A.
38.(2021•北京门头沟二模•理T8)魏晋时期,数学家刘徽首创割圆术,他在《九章算术注》方田章圆田术中指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程,比如在正数121+121+....中的“…”代表无限次重复,设x=121+121+....,则可利用方程x=121+x求得x,类似地可得正数555.....等于( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B.
【解析】设555.....=x,则x=5x,解得:x=5或0(舍去).故选:B.
设555.....=x可解决此题.本题考查方程思想,考查数学运算能力,属于基础题.
39.(2021•河北邯郸二模•理T12.)已知函数f(x)满足当x∈[0,1)时,f(x)=1﹣x,当x∈[1,+∞)时,.若方程f(x)=k在在[0,+∞)上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列,则下面的数可能在这个数列中的是( )
A.2020 B.2020 C.2021 D.2021+
【答案】ABC.
【解析】当x∈[1,2)时,=,
当x∈[2,+∞)时,=,
故函数f(x)的周期为2,作出函数f(x)的图象如图所示,
当k=0时,方程f(x)=0的根恰好是1,3,5,•••,成等差数列,2021在此数列中;
当k=1时,方程f(x)=1的根恰好是0,2,4,•••,成等差数列,2020在此数列中;
当0<k<1时,要使方程f(x)=k的根成等差数列,则公差只能为1,
设方程的根依次为a,a+1,a+2,•••,其中a∈(0,1),
则f(a)=f(a+1),即1﹣a=,解得,所以在此数列中.
40.(2021•浙江杭州二模•理T6.)函数f(x)=ln|x+1|﹣x2﹣2x的图象大致为( ).
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】函数的定义域为{x|x≠﹣1},故选项C错误;
当x=1时,f(1)=ln2﹣3<0,故选项A错误;
当x→﹣1时,ln|x+1|→﹣∞,x2+2x→﹣1,则f(x)→﹣∞,故选项B错误.
综上,选项D符合题意.
41.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T10.)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为减函数,对任意的x∈(0,+∞),均有f(x)•f(f(x)+)=,则函数g(x)=f(x)+3x的最小值是( )
A.2 B.5 C. D.3
【答案】D.
【解析】令,则①,
在原式中,令x=t,则,
所以,
又f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以,由①得,
所以,
化简得:(2xf(x)+1)(4xf(x)﹣3)=0,
所以(不满足单调递减,舍去),,
g(x)=f(x)+3x=,
当且仅当,即时等号成立.
42.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T9.)设f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(2﹣x)=f(x),数列{an}满足a1=﹣1,且an+1=(1+)an+(n∈N*).则f(a22)=( )
A.0 B.﹣1 C.21 D.22
【答案】A.
【解析】f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(2﹣x)=f(x),
整理得f[2﹣(x+2)]=f(x+2)=﹣f(x),
即f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),故函数的最小正周期为4.
由于数列{an}满足a1=﹣1,且an+1=(1﹣)an+,
转换为,故,设,
故b22=(b22﹣b21)+(b21﹣b20)+…+(b2﹣b1)+b1==,故a22=20,所以f(20)=f(5×4)=f(0)=0.
43.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T5.)函数f(x)=(x2﹣x)cosx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】因为函数f(x)=(x2﹣x)cosx,
所以f(1)=(1﹣1)cos1=0,故选项C错误;
f(﹣1)=[1﹣(﹣1)]cos(﹣1)=2cos1>0,故选项D错误;
若选项B正确,则当x>0时,f(x)与x轴交点的横坐标为1,
但是,故选项B错误,选项A正确.
44.(2021•山东潍坊二模•T9.)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2﹣x),且在[0,2]上是增函数,下面判断正确的是( )
A.f(x)的周期是4
B.f(2)是函数的最大值
C.f(x)的图象关于点(﹣2,0)对称
D.f(x)在[2,6]上是减函数
【答案】BD.
【解析】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2﹣x),得f(x+2+2)=f(2﹣x﹣2)=f(﹣x)=﹣f(x),即f(x+4)=﹣f(x),
则f(x+8)=﹣f(x+4)=﹣[﹣f(x)]=f(x).
∴f(x)的周期为8.函数f(x)的图形如下:
由图可得,正确答案为:B,D.
45.(2021•山东潍坊二模•T6.)关于函数f(x)=,其中a,b∈R,给出下列四个结论:
甲:6是该函数的零点;
乙:4是该函数的零点;
丙:该函数的零点之积为0;
丁:方程f(x)=有两个根.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】B.
【解析】当x∈[0,2]时,f(x)=2x﹣a为增函数,
当x∈[2,+∞)时,f(x)=b﹣x为减函数,故6和4只有一个是函数的零点,
即甲乙中有一个结论错误,一个结论正确,而丙、丁均正确.
由两零点之积为0,则必有一个零点为0,则f(0)=20﹣a=0,得a=1,
若甲正确,则f(6)=0,即b﹣6=0,b=6,
可得f(x)=,由f(x)=,
可得或,解得x=或x=,方程f(x)=有两个根,故丁正确.故甲正确,乙错误.
46.(2021•山东潍坊二模•T5.)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究已经对地震有所了解,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量大约是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放能量的少倍?(参考数值:≈3.162,≈2.154)( )
A.31.6 B.15.8 C.4.6 D.1.5
【答案】A.
【解析】设日本地震释放的能量为E1,汶川地震释放的能量为E2,
则由已知可得lgE1=4.8+1.5×9=18.3,
lgE2=4.8+1.5×8=16.8,
所以E,E,则=10≈10×3.162=31.62,
所以日本地震释放的能量约为汶川地震释放的能量的31.6倍.
47.(2021•辽宁朝阳二模•T7.)函数y=(ex﹣e﹣x)sin|2x|的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】函数的定义域为R,f(﹣x)=(e﹣x﹣ex)sin|﹣2x|=﹣(ex﹣e﹣x)sin|2x|=﹣f(x),为奇函数,故排除选项B,C;又,且是第一个大于0的零点,故排除选项D.
48.(2021•广东潮州二模•T8.)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0,满足f(﹣x0)=﹣f(x0),称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)=x2﹣2m•x+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣,] B.[﹣,] C.[﹣,] D.[﹣,]
【答案】B.
【解析】根据题意,f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(﹣x)=﹣f(x)有解.即x2+2mx+m2﹣3=﹣(x2﹣2mx+m2﹣3),整理得:x2+m2﹣3=0,
必有m2﹣3≤0,解得:﹣≤m≤,即m的取值范围为[﹣,].
49.(2021•天津南开二模•T6.)已知f(x)是定义在上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)2e),b=f(ln2),,则a,b( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
【答案】D.
【解析】∵f(x)是R上的偶函数,∴=f(﹣log23)=f(log73),
∵f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,∴f(x)在(6,+∞)上单调递增,
∵0<ln2<8<log2e<log24,∴f(ln2)<f(log2e)<f(log83),
即b<a<c.
50.(2021•天津南开二模•T3.)函数f(x)=的图象大致为( ).
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】根据题意,f(x)=,为非奇非偶函数,排除D,又由f(0)==1,排除AC.
51.(2021•安徽淮北二模•文T3.)设a=2,b=2,c=,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b
【答案】B.
【解析】a=log2=2log32=log34>log33=1,
b=log2=﹣log32<0,c=2,∴0<c=2<20=1.∴a>c>b.
52.(2021•吉林长春一模•文T12.)已知定义在上的函数满足当时当时则
【答案】A.
【解析】由可知周期为5,由函数图象可知每个周期,
由
故选A.
53.(2021•宁夏银川二模•文T7.)设函数f(x)=x2﹣,则f(x)( )
A.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
【答案】A.
【解析】函数的定义域{x|x≠0},当x>0时,f(x)=x2﹣=单调递增,
因为f(﹣x)=(﹣x)2﹣=x2﹣=f(x),所以f(x)为偶函数.
54.(2021•宁夏银川二模•文T8.)中国的5G技术领先世界,5G技术极大地提高了数据传输速率,最大数据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明:C与W满足C=Wlog2(1+),其中S是信道内信号的平均功率.N是信道内部的高斯噪声功率,为信噪比.当信噪比比较大时,上式中真数中的1可以忍略不计,若不改交带宽W.而将信噪比从1000提升4000.则C大约增加了( ).(附:1g2=0.3010)
A.10% B.20% C.30% D.40%
【答案】B.
【解析】当=1000时,C1=Wlog2(1+1000)≈Wlog21000,
当=4000时,C2=Wlog2(1+4000)≈Wlog24000,
∴=﹣1=﹣1=﹣1==﹣1≈﹣1≈0.2,∴C大约增加了20%.
55.(2021•宁夏银川二模•文T)12.已知两个不等的正实数x,y满足ln,则下列结论一定正确的是( ).
A.x+y=1 B.xy=1 C.x+y>2 D.x+y>3
【答案】C.
【解析】∵两个不等的正实数x,y满足ln,
∴,∴设lnx=,lny=,则x=,y=,
∵x>0,y>0,且x≠y,∴x=>1,y=>1,
∴x+y>2,xy>1,故ABD错误,C正确.
56.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T6.)已知a×2a=1,b×log2b=1,则( )
A.a<1<b B.b<1<a C.1<a<b D.b<a<1
【答案】A.
【解析】∵a×2a=1,∴a≥1时,a•2a>1;a<1时,a×2a<2,∴a<1;
∵b×log2b=1,∴b≤1时,b×log2b≤0;b>1时b×log2b>0,∴b>1,
∴a<1<b.
57.(2021•山西调研二模•文T3)已知p:a∈(1,3),q:f(x)=logax在(0,+∞)单调递增,则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】∵q:f(x)=logax在(0,+∞)单调递增,∴a>1,
∵(1,3)⊊(1,+∞),∴p是q的充分不必要条件,故选:A.
根据对数函数单调性的性质,求出a的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据对数函数的单调性是解决本题的关键.
58.(2021•山西调研二模•文T6)已知a=40.3,b=log0.34,c=0.34,则a,b,c三者之间的关系为( )
A. b
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