2021届高考数学1月适应性测试八省联考考后仿真系列卷七含解析

2021届高考数学1月适应性测试八省联考考后仿真系列卷七（含解析）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】，，，故选A．

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.

2.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为，则，解得，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为.故选:C

【点睛】本题考查了以古文化为背景，涉及古典概型公式以及对立事件的概念，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．

3.的展开式中二项式系数最大的项是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由二项式系数的性质，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，

所以二项式系数最大的项是,故选：C.

【点睛】本题考查了二项式系数的性质，考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.

4.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为（    ）

A.  B. 4 C.  D.

【答案】C

【解析】抛物线的焦点弦公式为：，

由抛物线方程可得：，则弦的长为.故选：C.

【点睛】本题考查了有关直线与抛物线的弦长问题，因为过抛物线的焦点，所以可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，属于基础题．

5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数在区间上的图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以在区间上是偶函数，故排除B、D，又，故排除C；故选A。

【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧，属于中档题.

6.7世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由题意可得：，且，

所以，

所以，故选：C

【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.

7.双曲线:的左顶点为，右焦点为，过点作一条直线与双曲线的右支交于点，连接分别与直线：交于点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由双曲线的方程可知双曲线的焦点坐标为，

设过焦点的直线方程为：，P,Q点的坐标为，

联立直线方程与双曲线方程可得：，

则：，

由，可得直线的方程为：，

令可得：，即，

同理可得：，

结合点F的坐标可得：，，

则：，其中：

据此可得：，

故，故. 故选：C

【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，通过向量研究夹角,属于中档题.

8.设是定义在上的偶函数，且时，当时，，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】∵是偶函数，∴，

∴对于任意的，都有，

所以，所以函数是一个周期函数，且，

又因为当时，，且函数是定义在R上的偶函数，

若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，

则函数与在区间上有四个不同交点，作函数和的图象，只能如下图所示：

又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得，所以的范围是，   故选：D.

【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的分布问题，通过把问题转化为函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解，属于中档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（    ）

A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数

C.  D. 在复平面内对应的点位于第三象限

【答案】ACD

【解析】，

因为复数的实部是-1，所以，解得：，所以，

对于选项A,复数 的虚部是-5，A正确；对于选项B,复数的共轭复数，B错误；

对于选项C,，C正确；对于选项D,在复平面内对应的点是，位于第三象限，D正确.  故选：ACD

【点睛】本题考查了复数的运算以及复数几何意义,属于基础题.

10.下列命题中所有真命题的选项为（    ）

A.两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近1；

B.回归直线一定经过样本点的中心；

C.线性回归方程，则当样本数据中时，必有相应的；

D.回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小.

【答案】BD

【解析】对于选项A,两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近1，A错误；

对于选项B,回归直线一定经过样本点的中心，B正确；

对于选项C,线性回归方程，则当样本数据中时，可以预测，但是会存在误差，C错误；

对于选项D,回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小，D正确.   故选:BD.

【点睛】本题考查了线性相关以及线性回归方程，属于基础题.

11.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是（    ）

A. 直线面

B. 与面所成的角为定值

C. 设面面，则有∥

D. 三棱锥体积为定值.

【答案】ABC

【解析】对于A，由中点与中点，得,

得，

由为等腰直角三角形得，由，

面，

得直线面，故A正确；

对于B，由A得，与面所成的角为，为定值，故B正确；

对于C，由A得，，故面，由面，

面面，所以∥，故C正确；

对于D，的面积为定值，

但三棱锥的高会随着点的位置移动而变化，

故D错误.    故选：ABC.

【点睛】本题考查了立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于中档题.

12.在单位圆O：x2+y2＝1上任取一点P（x，y），圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ，记x，y关于θ的表达式分别为，，则下列说法正确的是（　　）

A.是偶函数，是奇函数

B. 在为增函数，在为减函数

C.≥1对于恒成立

D. 函数t＝的最大值为

【答案】AC

【解析】对于选项A，，，即正确；

对于选项B,在上为增函数，在上为减函数；在上为增函数，即错误；

对于选项C,，，，，即正确；

对于选项D,函数，则，

令，则；令，则，

函数在和上单调递增，在上单调递减，当即，时，函数取得极大值，为，

又当即，时，，所以函数的最大值为，即错误．

故选：．

【点睛】本题考查了正弦函数、余弦函数单调性和奇偶性以及三角恒等变换，利用导数研究函数的单调性与最值等，考查灵活运用知识的能力、推理论证能力和运算能力，属于中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.设随机变量，且，则______.

【答案】.

【解析】因为，且，

所以，，故答案为：.

【点睛】本题考查了正态分布在指定区间上的概率，需充分利用正态密度曲线的对称性求解，考查了分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

14.如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐角）为，则________.

【答案】

【解析】由题意，设折断处离地面的高为尺

则由勾股定理得，化简得，解得.

∴，∴.

故答案为：

【点睛】本题考查了以古文化为背景,考查了勾股定理、锐角三角函数的定义以及两角和的正切公式，属于基础题.

15.已知等比数列的公比为q，且，，则q的取值范围为______；能使不等式成立的最大正整数______.

【答案】    4039   

【解析】由已知，

结合知，解得，

故q的取值范围为.

由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列.

要使成立

则

即，

将代入整理得：   故答案为：。

【点睛】本题考查了等比数列通项公式以及前n项和公式，考查了不等式恒成立求参，属于中档题.

16.已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直且，此三棱锥的外接球的表面积为．设，，则的最大值是______．

【答案】

【解析】因为三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直且，

设，，，

则在中，由勾股定理得，即；①

在中，由勾股定理得，即，

即；②

在中，由勾股定理得，即；③

由①+②+③，可得得，

即．④

因为易知三棱锥的外接球即为以，，过同一顶点三条棱的长方体的外接球，又因为此三棱锥的外接球的表面积为，

设外接球的半径为，则，所以且，

代入④中，得，即，

由，得，即，所以，

当且仅当时等号成立，所以的最大值为．

故答案为：

【点睛】本题考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的表面积公式的应用，考查空间想象能力，以及计算能力,属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图，在梯形中，，为上一点，，.

（1）若，求；

（2）设，若，求.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由，，得.

在中，；

在中，．                       

在中，由余弦定理得，

，

．                           

（2）因为，所以，．

在中，；

在中，，                       

由得，，                       

所以，即，           

整理可得．

【点睛】本题考查了解三角形的问题，考查了余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换，属于基础题.

18.给出以下两个条件，①4a3，3a4，2a5依次成等差数列；②Sn＝an＋1-1，请选择一个补充在下列题目条件中，并完成解答．特别说明：若选择多个条件分别解答，按照选择的第一个解答进行给分．

已知数列{an}为递增的等比数列，a2＝2，Sn为{an}的前n项和，{bn}为公差不为0的等差数列，b1＝1，．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）记，求{cn}的前n项和Tn．

【答案】答案件解析

【解析】（1）的公差为，，

      设数列的公比为，

    若选择条件①，或（舍），

    若选择条件②，，

    时，，时，，两式相减得，

   （2）法1：

    法2：

    两式相减得

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式、数列递推关系以及错位相减法求和，考查分析问题求解能力，属于基础题.

19.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）答案见解析（2）

【解析】证明：（1）如图，取的中点，连接、.

∵是的中点，∴，，

又，，所以，，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又平面，平面，

∴平面.

（2）在平面内过点作的垂线，由题意知，，两两垂直，以

为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空

间直角坐标系，由题意知，，，

可得，，，∴，，

设平面的法向量为，

则由，即，令，则，，

∴为平面的一个法向量.

∵底面，∴可取平面的一个法向量为，

∴，

∵二面角为锐二面角，

∴二面角的大小为.

【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了空间向量数量积的运算，属于基础题.

20.某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.

（1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；

（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望.

附：若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】（1）114人；（2）分布列见解析，.

【解析】（1）∵学生笔试成绩服从正态分布，其中，，

∴

∴估计笔试成绩不低于90分的人数为人

（2）的取值分别为0，3，5，8，10，13，

则

的分布为

故的分布列为：

【点睛】本题考查了利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题，通过利用对称轴确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，其中对于正态分布，由是正态曲线的对称轴可以确定以下结论：①对任意的，有；

②③．属于中档题.

21. 已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）在中，，，，

，，，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）由题不妨设，设点，

联立，消去化简得，

且，，

，，，

∴代入，化简得，

化简得，

，，，

直线，因此，直线过定点.

【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及椭圆中直线过定点的问题，考查分析问题与运算能力，属于中档题.

22.已知，当时恒成立．

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）即恒成立，

令，则

当时，则在是增函数，，成立．

当时，使

，，为减函数，，，为增函数．

所以不合题意．所以．

（2）由（1）得当时，所以要证只要证

即证：，设，，

，

所以在是增函数，

，，所以存在使．

故时，，则为减函数，时则为增函数

，，

所以时，故命题成立．

【点睛】本题考查了导数的综合应用，其中利用导数求参数范围常见方法：（1）变量分离，构造函数，转化为恒成立问题处理，求导数进步求新函数的最值;（2）移项后，构造函数，求导讨论函数的单调性及极值;

属于偏难题.