2021届高考数学1月适应性测试八省联考考后仿真系列卷六含解析

2021届高考数学1月适应性测试八省联考考后仿真系列卷六（含解析）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】因为集合中，所以，解得，集合，

因为集合中，所以，解得或，集合或，

则，，，故选：C.

【点睛】本题考查了集合的运算，考查补集以及交集的相关性质，考查函数的定义域，考查运算能力，属于基础题.

2.某胸科医院感染科有3名男医生和2名女医生，现需要从这5名医生中抽取2名医生成立一个临时新冠状病毒诊治小组，恰好抽到的2名医生都是男医生的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】3名男医生编号为，2名女医生编号为，任选2名医生的事件：共10个，其中抽到的2名医生都是男医生的事件有共3个，所以所求概率为．故选：C．

【点睛】本题考查了古典概型，解题关键是用列举法列出所有的基本事件，属于基础题.

3.已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m//n的一个必要但不充分条件是（    ）

A. m//α，n//α B. m⊥α，n⊥α

C. m//α，n⊂α D. m、n与α所成的角相等

【答案】D

【解析】A：m、n可以都和平面垂直，不必要 ；B：m、n可以都和平面平行，不必要 ；

C：n没理由一定要在平面内，不必要 ；D：由m∥n⇒m，n与α所成的角相等，反之，m，n与α所成的角相等不一定推出m∥n.    故选：D.

【点睛】本题考查了利用线面平行与面面平行的性质定理,解决此类问题的关键是熟练掌握判断空间中直线与平面位置关系（平行关系、垂直关系）判断定理与性质定理，并且能够灵活的应用,属于基础题.

4.设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由对数函数在单调递增的性质得：，

由指数函数在单调递减的性质得：，

由三角函数在上单调递增的性质得.

所以，故选C。

【点睛】本题考查了对数值的大小比较，考查对数函数、指数函数以及三角函数的性质，属于基础题．

5.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】∵ 抛物线的焦点为

∴  ∴，故选：C

【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的方程及几何性质，属于基础题.

6.函数在上的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】，所以为奇函数，排除C，D，又，排除A，故选：B．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，利用函数的性质排除选项是解题关键，属于基础题.

7.已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由，得，可得，即.

由，可得，即

整理得，，故选：B

【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质以及求向量的夹角的余弦值，其中将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.

8. 已知函数的图象经过点，，当时，，记数列的前项和为，当时，的值为（    ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

【答案】D

【解析】由题意结合函数的解析式可得：，求解方程组有：.

则函数的解析式为：，

当时，，

则：，

由可得：，故选：D

【点睛】本题考查了指数型函数以及裂项法求和，其中需注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，属于中档题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（    ）

A．复数的虚部为 B．

C．复数的共轭复数            D．在复平面内对应的点位于第三象限

【答案】ABD

【解析】对于选项A,，

因为复数的实部是-1，所以，解得：，

所以，复数 的虚部是-5，A正确；

对于选项B,，正确；

对于选项C,复数的共轭复数，C错误；

对于选项D,在复平面内对应的点是，位于第三象限，D正确. 

 故选:ACD。

【点睛】本题考查了复数的运算及其几何意义,考查了数学运算的能力，属于基础题.

10.若函数的图象关于直线对称,则（    ）

A.                         B. 函数的最大值为

C. 为函数的一个对称中心 D. 函数在上单调递增

【答案】ABCD

【解析】（其中）

因为函数的图象关于直线对称，则，则，A.正确；

又，则函数的最大值为，B正确；

令，当，则为函数的一个对称中心，C正确；

令当 为增区间，即函数在上单调递增，D正确    故选：ABCD

【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期性，考查综合分析与应用能力，属于基础题．

11.下列命题中，下列说法正确的是（    ）

A.已知随机变量服从二项分布，若，则；

B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

C.设随机变量服从正态分布，若，则；

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.

【答案】BCD

【解析】对于选项A,根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，所以A错误；

对于选项B,根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B正确；

对于选项C,由正态分布的图像的对称性可得，所以C正确；

对于选项D,由独立重复试验的概率的计算公式可得，由，得，即时，，同理得时，，即最大，

，所以D正确.所以正确命题的序号为BCD.    故答案为：BCD．

【点睛】本题考查了二项分布，正态分布，随机变量的方差．正态分布曲线具有对称性，常常出现由对称性求概问题，二项分布中概率公式是，可用作商法确定其中的最大值或最小值,属于中档题．

12.已知函数.下列命题为真命题的是（    ）

A. 函数是周期函数 B. 函数既有最大值又有最小值

C. 函数的定义域是，且其图象有对称轴 D. 对于任意，单调递减

【答案】BC

【解析】由函数

对于选项A,函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于x轴，故不是周期函数；A错误

对于选项B,令

单调递增，又且对称轴是x＝，故在取得最小值，又在取得最大值，故函数有最大值；另一方面，当恒成立，且因为<0在 恒成立，故的最小值在 取得，由，单增，又 单调递减，同理，在单调递减，在 单调递减，在单增，故

故f（x）有最大值又有最小值；B正确．

对于选项C,函数f（x）的定义域是R，且故其对称轴是x＝，C正确；

对于选项D，f（），f（），∴f（）＜f（），D错误，

故选：BC．

【点睛】本题考查了函数图象的对称变化和利用导数解决单调性问题，考查了函数思想、转化思想以及数形结合思想，属于中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.设，若展开式中的系数为，则_____________

【答案】

【解析】∵（2）（1+x）5＝（2）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），

故x2的系数为20+10a＝10，∴a＝﹣1，故答案为:﹣1．

【点睛】本题考查了二项式定理的应用、二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质，属于基础题．

14.已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________.

【答案】

【解析】设圆锥母线为，半底面径为，高为，

则

当且仅当时，取最小值

因此圆锥的体积为，故答案为：

【点睛】本题考查圆锥的体积公式、利用基本不等式求最值，考查基本求解能力，属于基础题.

15.设函数，则使得成立的的取值范围是_________．

【答案】

【解析】∵，∴，

∴函数的定义域为．

又，∴为偶函数．

当时，令，

∵，∴在上是增函数，

易知函数在上是增函数，∴在上是增函数．

又为偶函数，∴，

∴由得，得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查化归与转化能力和运算求解能力，属于中档题.

16.在三棱锥中，平面，，，．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为______；若点是的重心，则过点的平面截球所得截面的面积的最小值为______．

【答案】       

【解析】（1）平面，平面，，又，且，平面，平面，，所以是两个直角三角形和的斜边，取的中点，点到四点的距离相等，即点是三棱锥的外接球的球心，,

（2）当点是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，即此时的面积最小，点是的中点，是的重心，，，所以，截面圆的半径，所以

故答案为：；

【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力、转化与化归以及运算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.数列的前项和为，已知，（，2，3，…）．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

（1）因为，即，

又因为，可得，所以，

又，可得，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）可得，所以，

则，

，

①②得：

，

所以．

【点睛】本题考查了递推关系结合等比数列的定义，证得数列是等比数列；利用错位相减法求解数列的前项和，需注意：①适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；②在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；③作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；④作差后，作差部分应用为的等比数列求和，属于基础题.

18.已知函数，．   

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在△中，若，且，，求△外接圆半径的长．

【答案】（1）（2）

【解析】(1) 函数．

由，得．

由正弦函数的单调性可知，当，

即时，函数递减．

所以，函数，的单调递减区间是．

(2)函数．

在△中，因为，，所以，．

由，及，得，

解得，于是．

设三角形的外接圆半径长为，因为，所以．

【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换应用及单调性，考查了考查三角形的解法，属于基础题．

19.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】(1)如图所示，连结，

等边中，，则，

平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，

由面面垂直的性质定理可得：平面，故，

由三棱柱的性质可知，而，故，且，

由线面垂直的判定定理可得：平面，

结合⊆平面，故.

(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.

设，则，,，

据此可得：，

由可得点的坐标为，

利用中点坐标公式可得：，由于，

故直线EF的方向向量为：

设平面的法向量为，则：

，

据此可得平面的一个法向量为，

此时，

设直线EF与平面所成角为，则.

【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解;考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；属于基础题.

20.推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：

（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；

（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解“(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类，完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同名男性调查员一起组成3个环保宜传队.若从这中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数占的期望不小于2.求的最小值.

附：

临界值表：

【答案】（1）0.6；（2）填表见解析；有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关；（3）

【解析】（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为

故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6.

（2）由题意得列联表如下：

的观测值

因为5.542>3.841

所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.

（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人

随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

其中，

所以随机变量的分布列为

可得，

，

，解得，

的最小值为.

【点睛】本题考查了线性相关以及数学期望,考查数学运算能力和数据分析能力，属于中档题．

21. 已知圆C方程为，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.

（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；

（2）判断直线与圆C的位置关系，并证明你的结论；

（3）当时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线，的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；定点（2）直线与圆C相切；证明见解析；（3）存在；，或者，

【解析】（1）圆C的方程可化为：，

由，解得，所以圆C过定点.

（2）圆C的方程可化为：，

圆心到直线l的距离为，

所以直线与圆C相切.

（3）当时，圆C方程为，圆心为，半径为10，

与直线，即相切，所以椭圆的左准线为，

又椭圆过点，则，所以，解得，

所以椭圆方程为.

在椭圆上任取一点（），设定点，，

则对恒成立，

所以对恒成立，

所以，故或，

所以，或者，.

【点睛】本题考查了圆过定点，直线和圆的位置关系，椭圆里的定点问题，考查运算能力和综合应用能力,属于中档题.

22.已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）若对任意恒有不等式成立.证明：.

【答案】（1）；（2）①1；②证明见解析.

【解析】（1）法一：

的定义域为，

由题意，

令，得，

令，

，

所以在上为增函数，且，

所以有唯一实根，

即有唯一实根，设为，

即，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以.

法二：

.

设，则.

记.故最小值即为最小值.

，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

所以的最小值为.

（2）当时，单调递增，值域为，不适合题意，

当时，由（1）可知，

设，

所以，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，即.

由已知，恒成立，所以，

所以，

所以.可知，因此只需证：

，

又因为，只需证

，即，

当时，结论成立，

当时，设，

，

当时，显然单调递增.

，故单调递减，

，

即.综上结论成立.

【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了构造函数研究单调性,考查了逻辑推理能力以及运算能力,属于偏难题.