2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题09不等式含解析

这是一份2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题09不等式含解析，共23页。试卷主要包含了选择题部分，填空题部分等内容，欢迎下载使用。
专题09 不等式
一、选择题部分
1.(2021•高考全国乙卷•文T5)若满足约束条件则的最小值为（）
A. 18 B. 10 C. 6 D. 4
【答案】C．
【解析】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,转换目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，
此时.故选C.
2.(2021•高考全国乙卷•文T8) 下列函数中最小值为4的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C．
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选C．
3.(2021•浙江卷•T5) 若实数x，y满足约束条件，则最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B．
【解析】画出满足约束条件的可行域，
如下图所示：

目标函数化为，
由，解得，设，
当直线过点时，
取得最小值为.
4.(2021•河南郑州三模•理T7)若x，y满足条件，当且仅当x＝5，y＝6时，z＝ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣，1）
C．（﹣1，） D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
【答案】C．
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：
其中C（5，6），3x﹣5y+15＝0的斜率kAC＝，y＝﹣x+11的斜率kBC＝﹣1
由z＝ax﹣y得y＝ax﹣z，
要使在C（5，6）处取得最小值，则直线在C（5，6）处的截距最大，
当a＝0时，y＝﹣z，此时满足条件，
当a＞0时，要满足条件，则满足0＜a＜kAC＝，
当a＜0时，要满足条件，则满足kBC＜a＜0，
即﹣1＜a＜0，
综上﹣1＜a＜，


5.(2021•河南焦作三模•理T8)已知x，y满足约束条件，则z＝ax+y（a为常数，且1＜a＜3）的最大值为（　　）
A．﹣a B．2a C．﹣2a+3 D．2
【答案】D．
【解析】由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（0，2），
由z＝ax+y，得y＝﹣ax+z，由图可知，当直线y＝﹣ax+z过A（0，2）时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．
6.(2021•江西上饶三模•理T5．)已知a＝log38，b＝0.910，c＝，则（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【答案】A．
【解析】因为a＝log38∈（1，2），b＝0.910∈（0，1）），c＝＝21.1＞2，
所以c＞a＞b．
7.(2021•江西上饶三模•理T6．)已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且＝m+2n（m＞0，n＞0），则的最小值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．4
【答案】C．
【解析】由“A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且＝m+2n”可知m+2n＝1（m＞0，n＞0），∴＝（m+2n）()＝4++≥4+2＝8,当且仅当即时取“＝”．∴的最小值是8．
8.(2021•安徽马鞍山三模•文T11．)已知椭圆经过点（3，1），当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】由题意椭圆经过点（3，1），可得：（a＞b＞0），该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长l＝4．
∴a2+b2＝（a2+b2）（）＝10+
≥10+2＝16，当且仅当a2＝9b2时，即b＝，a＝3取等号．
∴周长l的最小值：4×4＝16．∴椭圆方程：．
9.(2021•河北张家口三模•T11)已知正数a，b满足（a﹣1）b＝1，则（　　）
A．a+b≥3 B．2＞4
C．2log2a+log2b≥2 D．a2+b2＞2a
【答案】ACD．
【解析】由（a﹣1）b＝1，得，又b＞0，
所以，
当且仅当b＝，即b＝1时取等号；
因为，
所以当b＝2时，，此时；
，
当且仅当b＝，即b＝1时取等号，
所以2log5a+log2b≥2，故C正确；
又（a﹣5）2+b2≥6（a﹣1）b＝2，
当且仅当a﹣8＝b时取等号，
所以a2+b2≥8+2a＞2a，故D正确．
10.(2021•山东聊城三模•T11.)已知实数a、b，下列说法一定正确的是（    ）
A. 若a0，a+2b=1，则2a+1b的最小值为8
D. 若b>a>0，则1+ab2>1+ba2
【答案】 B,C．
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数值大小的比较，基本不等式
【解析】【解答】对于A，当a=0时，(27)a=(37)a，A不符合题意；
对于B，若b>a>1，则1