初中数学华师大版七年级下册8.1 认识不等式教学设计

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梳理知识
1、不等式
用不等号“＞”或“＜”表示 关系的式子，叫做不等式。
例如：－7＜－5，x＋3＜6都是不等式，其中不等式x＋3＜6中含有未知数x。
2、不等式的解
能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解。
例如：x＝2, 0, －0.5……都是x＋3＜6的解；而x＝3, , 7.8……都不是x＋3＜6的解。
教材新知识全解
知识点1 通过实例体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一
问题1：世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张票可少收1元。某班有27名少先队员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票，但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？
从实际问题出发，在解决实际问题中，让同学们经历知识的形成过程是新课程标准的一大特征。如何能把实际问题转化为数学模型是我们解决问题的关键。
此题的主要谜团的地方：到底买27张便宜还是买30张便宜？打开谜团的金钥匙：这里注意的是30人时，票价少收1元为每张4元；而27人，则需每张5元，按照这一点，分别算出各为多少钱，便可知道买30张并没有浪费。我们不妨来算一算：
买27张票，要付款5×27＝135（元），买30张票，要付款4×30＝120元，
显然120＜135。
这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上反而节省了。
问题延伸：当然，如果去世纪公园的人数较少（例如10个人），显然不值得去买30张票，还是按实际人数买票为好。现在的问题是：少于30人时，至少要有多少人去世纪公园，买30张票反而合算呢？
探索：我们一起来分析上面提出的问题。
设有x人要进世纪公园，如果x＜30，那么按实际人数买票x张，要付款5x（元）；买30张票，要付款4×30＝120（元）。
如果买30张票合算，那么应有120＜5x。
现在的问题就是：x取哪些数值时，上式成立？
前面已经算过，当x＝27时，上式成立。让我们再取一些值试一试，结果如下表。
由上表可见，当x＝ 25 时，不等式120＜5x成立，也就是说，少于30人时，至少要有 25 人进公园，买30张票反而合算。
知识点2 不等式的意义
像上面出现的120＜135，x＜30，120＜5x那样用不等号“＜”或“＞”表示不等式关系的式子，叫做不等式。2≠3也是不等式。请你再举一些不等式的例子。
特别提醒：要正确理解不等式的意义，需注意以下几点：
(1) 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
(2) 常用的不等号有“＞，＜，≤，≥，≠”五咱。
要把握不等式概念的关键是理解各种不等号的意义及正确写法，列表说明如下：
针对性基础经典题
例1 用不等号表示下列各数：
(1) －3 0；(2) (－2)2 (-2)3；(3) ；
(4) ；(5) －12÷3 3÷(－4).
分析：(2)、(3)、(5)先根据有理数的运算计算出结果，再根据有理数的大小比较法则可得填空。
解：(1)＜；(2)＞；(3)＞；(4)＜；(5)＜；(6)＜.
特别提醒：本题不仅巩固了不等式定义，而且复习了有理数大小比较。
知识点3 不等式的解
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
如在上面问题中，x＝25, 26, 27, 28, 29都是120＜5x的解，而x＝24, 23, 22, 21，则都不是不等式的解。
特别提醒：和方程的解不同，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一个方程只有一个或几个解，如方程2x＝1，x＝，只有一个解；方程x2＝1有两个解，是x＝±1（后一个方程以后再学）。
针对性基础经典题
例2 下列说法不正确的是（ ）
A、4是不等式x＋3＞5的解B、3是不等式x＋2＞5的解
C、所有小于1的数都是x＋1＜2的解D、不等式x＋1＞2有无数个解
解析：因为x＝4时，x＋3＞5成立；x＝3时，x＋2＞5不成立；所有小于1的数都是x＋1＜2的解，所以A、C、D正确，B不正确。故选择B。
特别提醒：判断一种说法错误，只需要举出一个反例即可；肯定一种说法，必须在理论上说明。对于选择题的解法，有时可采用特殊值法比较简捷。
知识点4 用不等式表示数量关系（重点）
例3 用适当的符号表示下列关系：
(1) a的3倍与b的的和不大于3；
(2) x2是非负数；
(3) x的相反数与1的差不小于2；
(4) x与17的和比它的5倍小。
思路分析：(1)中不大于就是小于或等于，即“≤”；(2)中的非负数就是大于等于零，即“≥”；(3)不小于就是大于等于；(4)中关键词“小”等。
解：(1)3a＋b≤3；(2)x2≥0；(3)－x－1≥2；(4)x＋17＜5x。
特别提醒：(1) 用不等式表示不等关系是研究不等式的基础，在表示时一定要抓住关键词语，弄清不等关系。同时，还要掌握一些常用文字语言与数学符号语言的转换：如x是正数，则x＞0；x是负数，则x＜0；x是非负数，则x≥0；x是非正数，则x≤0；x不小于3，则x≥3等。
(2) 常见不等式有以下几种：
① 绝对不等式：即在任何条件下不等式都成立。如2＞1，x2≥0等。
② 条件不等式：即在一定条件下才成立的不等式，如x－1＞0。
③ 矛盾不等式：即在任何条件下都不成立的不等式，如2＞3。
我们所研究的主要是条件不等式。
典型例题
例1 陈斌同学和他的爸爸、妈妈准备在国庆节外出旅游。春光旅行社的收费标准为：大人全价，小孩半价。而华夏旅行社不管大人小孩，一律八折。若这两家旅行社的基本价一样，你认为陈斌一家选哪家旅行社较合算。
【精析】 要比较两家旅行社收费多少，需设定一个基本价，计算出两家旅行社对陈斌一家的总收费，然后进行比较。
【解】 设每人的基本价为a元.
则春光旅行社的总收费为：2a＋a×50%＝2.5a（元）.
而华夏旅行社的总收费为：3a×80%＝2.4a（元）.
因为 a＞0，
所以 2.5a＞2.4a.
因为，陈斌一家选华夏旅行社较合算。
例2 某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟可以通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内容可以通过800名学生。检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过4道安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？试说明理由。
【精析】 要知道紧急情况下全大楼的学生在5分钟内能否通过这4道安全撤离，首先我们应求出：正常情况下每道正门和每道侧门通过的人数，然后将紧急情况下出门效率降低20%后5分钟4道门能通过的总人数与大楼内学生总数进行比较，若前者大于后者，则建造的4道门符合安全规定，否则建造的4道门就不符合安全规定。
【解】 设平均每分钟1道正门可以通过x名学生，1道侧门可以通过y名学生。
由题意得
解得
因此平均每分钟1道正门可以通过学生120名，1道侧门可以通过学生80名。这栋楼最多有学生4×8×45＝1440名，而拥紧时5分钟四道门能通过学生5×2(120＋80)(1－20%)＝1600（名）.
∵ 1600＞1440，
∴ 建造的4道门符合安全规定。2
例3 用不等式表示下列关系，并写出两个满足各不等式的有理数。
(1) x的一半不大于1；(2) y与4的和大于0.5；(3) a为负数；(4) b为非负数.
【精析】列出不等式的关键要读懂题意，并注意一些常用术语如非负数（即≥0），不大于（即≤），不小于（即≥）等含义，才能正确解答。对于写出两个满足不等式的数，可通过尝试代入，验证来找。初次接触，这样的做法合情合理，应勇于试验，不怕麻烦。
【全解】(1) x≤1，如x＝2, 1；
(2) y＋4＞，如y＝0, 1；
(3) a＜0，如a＝－π, －1；
(4) b≥0，如b＝, .
【说明】判断一些数是否为不等式的解，只要把该数代入不等式，看它是否成立，成立即为它的解，反之，则不是它的解。
例4 2004年国庆长假期间，锡惠公园赏花团体票价可实行两种优惠方案。第一种，10人以下给予每位游客八折优惠，第二种方案，10人以上给予每位游客九折优惠，且其中2人可以免票。已知每张门票的价格为10元。某班班长小明组织少先队员去参观游玩，人数估计在10－25人之间，聪明的小李提出以下总是，怎样选择优惠方案可使参观费用较少？
小李是这样思考的：(1) 为计算总费用，须知道人数，但现在人数未确定，可先设参观游玩的人数为x，则第一种优惠方案的总费用为 元，第二种优惠方案的总费用为 元。
(2) 当两种优惠总费用一样时，x＝ 人
(3) 由此可知当人数在 之间时，第一种方案总费用较少，用不等式表示为 。当人数在 之间时，第二种方案总费用较少，用不等式表示为 。
【精析】 这是一个现实生活中用不等式知识解决的好素材。符合数学源于生活又服务于生活的新课程理念。小李的解题思路也符合新课改提倡的“实际问题－建立模型－应用解释拓展的过程”。由于实际人数未知，通过设元，列出不等式：8x＜9x－15和8x＞9x－15以及方程8x＝9x－15由猜测估算求出人数的具体范围，是对不等式的解的概念的丰富与发展，是一个很好的不等式的应用题。
【解】 (1) 8x, 9x－18；
(2) x＝18；
(3) 由8x＜9x－18及x在10－25之间可知，
x在18－25之间，即18＜x≤25，
由8x＞9x－18及x在10－25之间可知：
x在10－18之间，即10≤x＜18.
【说明】 不等式的应用在中考中应适当加强，新课程中已明确指出：应加强学生应用数学解决实际问题能力的考查，要引起足够重视。x
5x
比较120和5x的大小
120＜5x成立吗
21
105
120＞5x
不成立
22
110
120＞5x
不成立
23
115
120＞5x
不成立
24
120
120＝5x
不成立
25
125
120＜5x
成立
26
130
120＜5x
成立
27
135
120＜5x
成立
28
140
120＜5x
成立
29
145
120＜5x
成立
名 称
符号
读 法
意 义
1、小于号
＜
小 于
左边的量比右边的量小
2、大于号
＞
大 于
左边的量比右边的量大
3、小于或等于号
≤
①小于或等于
②不大于
表示左边“不大于”右边
4、大于或等于号
≥
①大于或等于
②不小于
表示左边“不小于”右边
5、不等号
≠
不等于
只表示左边“不等于”右边，但不能确定哪边大