初中数学沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质教学设计及反思

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24.3   相似三角形的性质学习目标要求1、掌握相似三角形的性质。2、能应用相似三角形的性质解决问题。教材内容点拨知识点：相似三角形性质1、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。2、相似三角形周长的比等于相似比。3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。典型例题点拨例1、两个相似三角形对应中线的比是，大三角形的面积是小三角形面积的________倍。点拨：根据相似三角形对应中线之比可得相似比，近而得出这两个三角形的面积比。解答：∵两个相似三角形对应中线的比是，∴这两个相似三角形的相似比为，∴大三角形的面积是小三角形面积的倍。例2、△ABC中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，AC＝24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长。点拨：此题根据相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比，可知相似比为，由此根据△ABC各边长可求出△A′B′C′的各边长。解答：∵△ABC中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，AC＝24 cm，∴△ABC的周长为54cm，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为，∴，∴，，。例3、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为________米（精确到0.1米）。点拨：注意到光线的反射定律：入射角等于反射角，可知△CDE∽△ABE。解答：∵△CDE∽△ABE，∴，∵CD＝1.6，DE＝2.4，BE＝8.4，∴AB＝5.6米。例4、例、已知：如图△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，，(1)求证：△ABD∽△ACB；(2)求△ABD与△ACB的周长的比，△ABD与△ACB的面积的比。点拨：根据题中提供的两个与角相关的条件，要证明两个三角形相似，可联想到“AA”，证明两个三角形相似后，条件“”的作用在于提供了相似三角形的相似比，由此可求相似三角形的周长比和面积比。解答：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C，∵∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB。（2）∵△ABD∽△ACB，且，∴△ABD与△ACB的相似比为，∴△ABD与△ACB的周长的比为，△ABD与△ACB的面积的比为。例５、如图，△ABC的底边BC＝a，高AD＝h，矩形EFGH内接于△ABC，其中E，F分别在边AC，AB上，G，H都在BC上，且EF＝2FG，求矩形EFGH的周长。点拨：由题目条件中EF=2FG得要想求出矩形的周长，必须求出EF与高AD=h的关系，由EF∥BC得△AFE∽△ABC，则EF与高h即可联系上。此题还可以进一步求出矩形的面积，若对题目再加一个条件：AB⊥AC，那么还可以证出FG2=BG·CH，通过这些联想，就会对题目的内在联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。 解答：设FG＝x，∵EF＝2FG，∴EF＝2x，∵EF//BC ，∴△AFE∽△ABC，又AD⊥BC，设AD交EF于M，则AM⊥EF，∴即(AD-DM)/AD＝2x/a∴(h-x)/h＝2x/a解之，得x＝∴矩形EFGH的周长为6x＝。考点考题点拨1、中考导航会应用相似三角形性质解决生活中的实际问题，有利用所学内容解决身边的问题的意识，例如会利用自己的步长和身高求出一棵大树或大厦的高度。2、经典考题追踪例1、（06遂宁）已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC相似,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边,那么另外两边的长度(单位: cm)分别为（  ） A、10,25     B、10,36或12,36     C、12,36       D、10,25或12,36点拨：本题看起来有很多种情况，比较复杂，但可以用整体观点来考察，由于这两个三角形相似，∴它们的周长之比等于相似比，∴△ABC与所作三角形的相似比大于1，即所作三角形应该比△ABC小，∴在选择作边的木料时，只有选长为30cm的细木料，而将长为60cm的细木料分成两段，而且由于△ABC与所作三角形的相似比大于1，△ABC中只有长为50cm或60cm的边与30cm长的边对应，即相似比分别为或2，解得答案有两种。解答：∵△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm，∴△ABC的周长为130cm，而两根细木料的长度分别为30cm和60cm，和最大只有90cm，∴所作三角形应比△ABC小，∴只能选长为30cm的木料为所作三角形的一边，且其只能与△ABC中的长为50cm或60cm的边相对应，即△ABC与所作三角形的相似比应为或2，当相似比为时，解得所作三角形的两边分别为12和36cm，当相似比为2时，解得所作三角形的两边分别为10cm和25cm，这两种情况下，所作三角形的两边长之和都小于60cm，∴答案有两种情况，分别为10cm,25 cm或12 cm,36 cm，选D。例2、（06广西柳州）如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6m，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？点拨：光线是沿直线传播的，之所以看不见水塔，是因为小张的眼睛、教学楼顶、水塔顶位于一条直线上，∴△EFG∽△AFB∽△DFC，根据相似三角形的性质可求BG。解答：由图可知，△EFG∽△AFB∽△DFC，∴，，即，，∴，，∴BC＝FC－FB＝6.25FG＝30，解得FG＝4.8m，FB＝60m，∴小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有60m。例3、（06海南）如图7，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是           米。点拨：同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴，由此可求出DE。解答：∵同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴，即，解得DE＝7.5米。易错点点拨易错点1、审题不严，粗心大意，把握细节的能力不强。易错点导析：在处理问题时，粗心大意，对一些关键词语没有仔细体会，表现为细节上的失误，而这一旦形成习惯后，将对数学学习形成巨大的障碍。例1、若把各边分别扩大为原来的5倍，得到，下面结论不可能成立的是（   ）A．∽                B．与的相似比为C．与的各对应角相等  D．与的相似比为错解：B错解点拨：对扩大为和扩大了这两句话理解不清，扩大为原来的5倍意即扩大到原来的5倍，而扩大了5倍则意即扩大到原来的6倍。正解：B拓展与创新1、如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF。若△ABC的边长为a。（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积。点拨：D、E、F分别为等边三角形ABC各边的中点，∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，∴DE、EF、DF分别平行且等于△ABC三边的一半，根据相似三角形性质：三边对应成比例的两个三角形相似，可知△DEF与△ABC相似，且相似比为1︰2，在求出△ABC的面积后，根据相似三角形性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求△DEF的面积。解答：（1）∵D、E、F是等边三角形ABC各边的中点，∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，∴△DEF与△ABC相似，且相似比为1︰2。（2）∵△ABC的边长为a，∴△ABC的面积为，△DEF的面积为。2、如示意图，小华家（点A处）和公路（）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE），广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路记为BC，一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）。点拨：所谓视点A的盲区，即在视点A处看不到的公路区域，如图所示，在视点A处看不到公路区域为BC段，由于光线的直线传播性，BC和DE与光线组成的两个三角形相似，通过相似三角形性质可求出点A到公路的距离。解答：由图可知△ABC∽△ADE，∴，又∵一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的时间是3s，∴BC＝50m，DE＝35m，GF＝40m，∴，解得AF＝93m，∴小华家到公路的距离AG＝AF＋FG＝133m。学习方法点拨通过制作几何模型，加强对相似三角形性质的理解，特别是相似三角形的第一个性质的理解。加强对相似三角形性质的应用训练，从而加深对相似三角形性质的认识。要学会在生活中应用相似三角形的性质，提高利用相似三角形性质解决实际问题的能力。随堂演练1、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。 2、如图，已知△ADE∽△ABC，且∠ADE＝∠B，则对应角为_____，对应边为__      。  3、若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝3 cm，A′B′＝4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。4、已知△ABC∽△A′B′C′，A和A′，B和B′分别是对应点，若AB=5 cm，A′B′=8 cm，AC=4 cm，B′C′=6 cm，则△A′B′C′与△ABC的相似比为________，A′C′＝________，BC＝________。5、如图，已知DE∥BC，△ADE∽△ABC，则＝________＝________。    6、若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________。7、已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________。8、如果Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，AB＝3，BC＝2，A′B′＝12，则A′C′＝________。9、下列命题错误的是（      ）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等10、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（      ）A.△ABC∽△A′B′C′                 B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等C.△ABC与△A′B′C′的相似比为     D.△ABC与△A′B′C′的相似比为11、若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝55°,∠B＝100°，那么∠C′的度数是（      ）A.55°   B.100°       C.25°   D.不能确定12、如果△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为(    ) A.5∶3   B.3∶2     C.2∶3  D.3∶513、若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，BC＝3，A′B′＝1，则B′C′等于(    )  A.1.5  B.3     C.2  D.114、如图，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(    ) A.               B.C.               D.15、△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于(    ) A.  B.2    C.  D.216、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（      ）A.3AB＝4DE                      B.4AC＝3DEC.3∠A＝4∠D                    D.4（AB+BC+AC）＝3（DE+EF+DF）17、已知△ABC中，AB＝15 cm，BC＝20 cm，AC＝30 cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边为40 cm，求△A′B′C′的其余两边的长。18、已知：△ABC三边的比为1∶2∶3，△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的最大边长为15 cm，求△A′B′C′的周长。19、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒，比较棒子的影长与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB。如果，，，你能求出金字塔的高度吗？ 20、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使，然后再选点E，使，确定BC与AE的交点为D，测得米，米，米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？ 21、如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C。求证：AF2=FE·FB。   22、如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？ 随堂演练答案1、全等2、对应角：∠ADE与∠B、∠AED与∠C、∠A与∠A，对应边：AE与AC、AD与AB、DE与BC。3、4∶34、8∶5，6.4，3.755、6、24cm7、直角三角形，96cm28、9、B10、C11、C12、D13、A14、A15、C16、D17、∵△ABC中最长边为AC＝30 cm，△A′B′C′的最长边为40 cm，∴△A′B′C′与△ABC 的相似比为4∶3，∴，即，解得A′B′＝20cm，B′C′＝cm。18、∵△ABC三边的比为1∶2∶3，△A′B′C′∽△ABC，∴△A′B′C′的三边之比为1∶2∶3，又∵△A′B′C′的最大边长为15 cm，∴△A′B′C′的三边分别为5cm、10cm，∴△A′B′C′的周长为30cm。19、∵△O′A′B′∽△OAB，∴，即，解得OB＝137。20、∵△ABD∽△ECD，∴，即，解得AB＝100米。21、证明：∵AB∥CD，∠EAF=∠C，∴∠EAF=∠B，∴△EAF∽△ABF，∴，即AF2＝EF·BF。22、由图可知△GCD∽△GAB、△HEF∽△HAB，∴，，∵DC＝FE，∴，即，解得步，∴，解得AB＝7530步。