数学九年级下册2.2 圆心角、圆周角教学设计

圆周角和圆心角的关系

教学目标

(一)教学知识点

1．掌握圆周角定理几个推论的内容．

2．会熟练运用推论解决问题．

(二)能力训练要求

1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．

2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．

(三)情感与价值观要求

培养学生的探索精神和解决问题的能力．

教学重点

圆周角定理的几个推论的应用．

教学难点

理解几个推论的“题设”和“结论”．

教学方法

指导探索法．

教具准备

投影片三张

第一张：引例(记作§3．3．2A)

第二张：例题(记作§3．3．2B)

第三张：做一做(记作§3．3．2C)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角？它们之间有什么关系？

[生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．

[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法？

[生]分类讨论、化归、转化思想方法．

[师]同学们请看下面这个问题：(出示投影片§3．3．2A)

[师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证．由此考虑证明PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与∠DPB相等．如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A＝∠D或∠C＝∠B．要想解决这个问题，我们需先进行下面的学习．

Ⅱ．讲授新课

[师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个？(至少画三个)它们的大小有什么关系？你是如何得到的？

[生]所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的．

[师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC？(同学们互相交流、讨论)

[生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧()所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．

[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A＝∠D或∠C＝∠B找到答案了吗？

[生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B．

[师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？

[生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半．这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．

[师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论．

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

[师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议．

[生]如下图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的．

注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．

(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．

(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．

[师]接下来我们看下面的问题：

如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角？你是如何判断的？(同学们互相交流、讨论)

[生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC＝180°，所以∠BAC＝∠90°．

[师]反过来，在下图中，如果圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗？为什么？

[生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC＝90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC＝180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．

[师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：

直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．

[师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．(出示投影片§3．3．2B)

[师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD＝CD．

下面哪位同学能叙述一下理由？

[生]BD＝CD．理由是：

连结AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

即AD⊥BC．

又∵AC＝AB，

∴BD＝CD．

[师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法？试举例说明．

[生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法．比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决．再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习到的圆心角类比得出圆周角的概念……

Ⅲ．P107  随堂练习

1．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．

答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．

2．如下图，哪个角与∠BAC相等？

答：∠BDC＝∠BAC．

3．如下图，⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．

解：∵AB为⊙O的直径．

∴∠ACB＝90°．

又∵∠ABC＝30°，

∴AC＝AB＝×10＝5(cm)．

4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？

答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．

Ⅳ．下面我们一起来看一个问题：做一做(出示投影片§3．3．2C)

分析：这是一个有实际背景的问题．由题意可知：“危险角”∠ACB实际上就是圆周角．船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．

解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)．理由是：

连结BE，假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此，船只能位于⊙O内．

(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O外)．理由是：

假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在∠O上；假设船在⊙O内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C．这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．

注意：用反证法证明命题的一般步骤：

(1)假设命题的结论不成立；

(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

Ⅴ．课时小结

本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)．线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．

Ⅵ．课后作业

课本P108  习题3．5

Ⅶ．活动与探究

1．如下图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F．

(1)当时，求证：AE＝EB；

(2)当点P在什么位置时，AF＝EF．证明你的结论．

[过程](1)连结AB，证AE＝EB．需证∠ABE＝∠BAE．

(2)执果索因寻条件：要AF＝EF，即要∠A＝∠AEF，而∠AEF＝∠BED，而要∠A＝∠BED，只需∠B＝∠C，从而转化为．

[结果](1)证明：延长AD交⊙O于点M，连结AB、BM．

∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D．

∴．

∴∠BAD＝∠BMD．

又∵，

∴∠ABP＝∠BMD．

∴∠BAD＝∠ABP．

∴AE＝BE．

(2)当时，AF＝EF．

证明：∵，

∴∠PBC＝∠ACB．

而∠AEF＝∠BED＝90°－∠PBC，

∠EAF＝90°－∠ACB，

∴∠AEF＝∠EAF．

∴AF＝EF．

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