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    数学九年级下册2.2 圆心角、圆周角教学设计

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    这是一份数学九年级下册2.2 圆心角、圆周角教学设计,共8页。

    圆周角和圆心角的关系

    教学目标

    (一)教学知识点

    1.掌握圆周角定理几个推论的内容.

    2.会熟练运用推论解决问题.

    (二)能力训练要求

    1.培养学生观察、分析及理解问题的能力.

    2.在学生自主探索推论的过程中,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确的学习方式.

    (三)情感与价值观要求

    培养学生的探索精神和解决问题的能力.

    教学重点

    圆周角定理的几个推论的应用.

    教学难点

    理解几个推论的题设结论

    教学方法

    指导探索法.

    教具准备

    投影片三张

    第一张:引例(记作§3.3.2A)

    第二张:例题(记作§3.3.2B)

    第三张:做一做(记作§3.3.2C)

    教学过程

    .创设问题情境,引入新课

    [师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系?

    [生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即圆周角定理.

    [师]我们在分析、证明上述定理证明过程中,用到了些什么数学思想方法?

    [生]分类讨论、化归、转化思想方法.

    [师]同学们请看下面这个问题:(出示投影片§3.3.2A)

    已知弦ABCD交于O内一点P,如下图.

    求证:PA·PBPC·PD

    [师生共析]要证PA·PBPC·PD,可证.由此考虑证明PA、PC为边的三角形与以PDPB为边的三角形相似.由于图中没有这两个三角形,所以考虑作辅助线ACBD.要证PAC∽△PDB.由已知条件可得APCDPB相等.如能再找到一对角相等.如ADCB.便可证得所求结论.如何寻找ADCB.要想解决这个问题,我们需先进行下面的学习.

    .讲授新课

    [师]请同学们画一个圆,以AC为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)它们的大小有什么关系?你是如何得到的?

    [生]所对的圆周角有无数个,它们的大小相等,我是通过度量得到的.

    [师]大家想一想,我们能否用验证的方法得到上图中的ABCADCAEC?(同学们互相交流、讨论)

    [生]由图可以看出,ABCADCAEC是同弧()所对的圆周角,根据上节课我们所学的圆周角定理可知,它们都等于圆心角AOC的一半,所以这几个圆周角相等.

    [师]通过刚才同学的学习,我们上面提出的问题ADCB找到答案了吗?

    [生]找到了,它们属于同弧所对的圆周角.由于它们都等于同弧所对圆心角的一半,这样可知ADCB

    [师]如果我们把上面的同弧改成等弧,结论一样吗?

    [生]一样,等弧所对的圆心角相等,而圆周角等于圆心角的一半.这样,我们便可得到等弧所对的圆周角相等.

    [师]通过我们刚才的探讨,我们可以得到一个推论.

    在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.

    [师]若将上面推论中的同弧或等弧改为同弦或等弦,结论成立吗?请同学们互相议一议.

    [生]如下图,结论不成立.因为一条弦所对的圆周角有两种可能,在弦不是直径的情况下是不相等的.

    注意:(1)同弧同一个圆

    (2)等弧在同圆或等圆中

    (3)同弧或等弧不能改为同弦或等弦

    [师]接下来我们看下面的问题:

    如下图,BCO的直径,它所对的圆周角是锐角、直角,还是钝角?你是如何判断的?(同学们互相交流、讨论)

    [生]直径BC所对的圆周角是直角,因为一条直径将圆分成了两个半圆,而半圆所对的圆心角是BOC=180°,所以BAC90°

    [师]反过来,在下图中,如果圆周角BAC=90°,那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?

    [生]BC经过圆心O,因为圆周角BAC=90°.连结OBOC,所以圆心角BOC=180°,即BOC是一条线段,也就是BCO的一条直径.

    [师]通过刚才大家的交流,我们又得到了圆周角定理的又一个推论:

    直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.

    注意:这一推论应用非常广泛,一般地,如果题目的已知条件中有直径时,往往作出直径上的圆周角——直角;如果需要直角或证明垂直时,往往作出直径即可解决问题.

    [师]为了进一步熟悉推论,我们看下面的例题.(出示投影片§3.3.2B)

    [例]如图示,ABO的直径,BDO的弦,延长BDC,使ACABBDCD的大小有什么关系?为什么?

    [师生共析]由于ABO的直径,故连接AD.由推论直径所对的圆周角是直角,便可得ADBC,又因为ABC中,ACAB,所以由等腰三角形的三线合一,可证得BDCD

    下面哪位同学能叙述一下理由?

    [生]BDCD.理由是:

    连结AD

    ABO的直径,

    ∴∠ADB=90°

    ADBC

    ACAB

    BDCD

    [师]通过我们学习圆周角定理及推论,大家互相交流,讨论一下,我们探索上述问题时,用到了哪些方法?试举例说明.

    [生]在得出本节的结论过程中,我们用到了度量与证明的方法.比如说在研究同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;还学到了分类与转化的方法.比如说在探索圆周角定理过程中,定理的证明应分三种情况,在这三种情况中,第一种情况是特殊情况,是证明的基础,其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决.再比如说,学习圆周角定义时,可由前面学习到的圆心角类比得出圆周角的概念……

    .P107  随堂练习

    1.为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形?说一说这种设计的合理性.

    答:有些电影院的坐位排列呈圆弧形,这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.

    2.如下图,哪个角与BAC相等?

    答:BDCBAC

    3.如下图,O的直径AB10cmCO上的一点,ABC=30°,求AC的长.

    解:ABO的直径.

    ∴∠ACB=90°

    ∵∠ABC=30°

    ACAB×10=5(cm).

    4.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.根据下图,你能判断哪个是半圆形?为什么?

    答:图(2)是半圆形、理由是:90°的圆周角所对的弦是直径.

    .下面我们一起来看一个问题:做一做(出示投影片§3.3.2C)

    船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如下图,AB表示灯塔,暗礁分布在经过AB两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,ACB就是危险角.当船与两个灯塔的夹角大于危险角时,就有可能触礁;当船与两个灯塔的夹角小于危险角时,就能避免触礁.

    (1)当船与两个灯塔的夹角α大于危险角时,船位于哪个区域?为什么?

    (2)当船与两个灯塔的夹角α小于危险角时,船位于哪个区域?为什么?

    分析:这是一个有实际背景的问题.由题意可知:危险角”∠ACB实际上就是圆周角.船P与两个灯塔的夹角为αP有可能在O外,P有可能在O内,当αC时,船位于暗礁区域内;当αC时,船位于暗礁区域外,我们可采用反证法进行论证.

    解:(1)当船与两个灯塔的夹角α大于危险角”∠C时,船位于暗礁区域内(即O内).理由是:

    连结BE,假设船在O上,则有αC,这与αC矛盾,所以船不可能在O上;假设船在O外,则有αAEB,即αC,这与αC矛盾,所以船不可能在O外.因此,船只能位于O内.

    (2)当船与两个灯塔的夹角α小于危险角”∠C时,船位于暗礁区域外(即O外).理由是:

    假设船在O上,则有αC,这与αC矛盾,所以船不可能在O上;假设船在O内,则有αAEB,即αC.这与αC矛盾,所以船不可能在O内,因此,船只能位于O外.

    注意:用反证法证明命题的一般步骤:

    (1)假设命题的结论不成立;

    (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.

    (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.

    .课时小结

    本节课我们学习了圆周角定理的2个推论,结合我们上节课学到的圆周角定理,我们知道,在同圆或等圆中,根据弦及其所对的圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,实现了圆中这些量之间相等关系的转化,而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系,因此,最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角).线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相互转化,从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法.

    .课后作业

    课本P108  习题3.5

    .活动与探究

    1.如下图,BCO的直径,ADBCDP上一动点,连结PB分别交ADAC于点EF

    (1)当时,求证:AEEB

    (2)当点P在什么位置时,AFEF.证明你的结论.

    [过程](1)连结AB,证AEEB.需证ABEBAE

    (2)执果索因寻条件:要AFEF,即要AAEF,而AEFBED,而要ABED,只需BC,从而转化为

    [结果](1)证明:延长ADO于点M,连结ABBM

    BCO的直径,ADBCD

    ∴∠BADBMD

    ∴∠ABPBMD

    ∴∠BADABP

    AEBE

    (2)当时,AFEF

    证明:

    ∴∠PBCACB

    AEFBED=90°PBC

    EAF=90°ACB

    ∴∠AEFEAF

    AFEF

    板书设计

    §3.3.2  圆周角和圆心角的关系(二)

    一、推论一:

    在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.

    二、推论二:

    直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.

    三、例题

    四、随堂练习

    五、做一做(反证法)

    六、课时小结

    七、课后作业

     

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