安徽省淮南市2021届高考一模数学（理科）试卷（解析版）

这是一份安徽省淮南市2021届高考一模数学（理科）试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则z的虚部是（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
2．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|lg2（x+1）＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3）B．[1，3）
C．（0，3）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）
3．a2＞b2的一个充要条件是（ ）
A．a＞bB．a＞|b|C．|a|＞|b|D．
4．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an+1＝1﹣，则S2021＝（ ）
A．B．1009C．D．1010
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（（ ）
A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．b＞c＞aD．b＞a＞c
6．已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是（ ）
A．y＝sin（ex+e﹣x）B．y＝sin（ex﹣e﹣x）
C．y＝cs（ex﹣e﹣x）D．y＝cs（ex+e﹣x）
7．良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2019年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型：（y0表示碳14的初始量）．2020年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推测良渚遗址存在的时期距今大约是（ ）（参考数据：lg25≈2.3，lg211≈3.5）
A．3450年B．4010年C．4580年D．5160年
8．在平面直角坐标系xOy内，已知直线l与圆O：x2+y2＝8相交于A，B两点，且|AB|＝4，若＝2且M是线段AB的中点，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
9．在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），若cs（）＝，则x0＝（ ）
A．B．C．D．
10．2020年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的选派方法数有（ ）种
A．25B．60C．90D．150
11．如图，双曲线F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知两个实数M，N满足M≤xex﹣lnx﹣x﹣1，N≤+lnx﹣x在x∈（0，+∞）上均恒成立，记M，N的最大值分别为a，b，那么（ ）
A．a＝b+2B．a＝b+1C．a＝bD．a＝b﹣1
二、填空题：本大共4小题，每小题5分，共20分
13．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为 ．
14．（2x2﹣1）5展开式中，含x6项的系数为 ．
15．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B，且|AF|﹣|BF|＝，则＝ ．
16．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为an＝[（）n﹣（）n]，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设n是不等式＞x+6的正整数解，则n的最小值为 ．
三、解答题：本大题分为必考题与选考题两部分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且S3＝12，a8＝16．数列{bn}为等比数列，满足b1＝a2，b3b5＝256b4．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
18．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3（sinB+sinC）2﹣3sin2（B+C）＝8sinBsinC．
（1）求csA的值；
（2）若△ABC的面积为4，求a+b+c的最小值．
19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．
（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
附：
K2＝，其中n＝a+b+c+d．
20．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，过F2的直线l交C于点A、B，且△F1AB的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．
21．已知函数f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．
（1）若f（x）在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）如果f（x）有一个极小值点x1和一个极大值点x2，求证：f（x）有三个零点．
选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时,请用2B铅笔在答越卡上将所选题号后的方榧涂焦.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝6sinθ，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；
（2）已知直线l：（t为参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求|PA|⋅|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则z的虚部是（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
解：复数z＝＝＝＝2+3i，
则z的虚部是3．，
故选：A．
2．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|lg2（x+1）＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3）B．[1，3）
C．（0，3）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）
解：集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，
B＝{x|lg2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，
则A∩B＝{x|1≤x＜3}＝[1，3）．
故选：B．
3．a2＞b2的一个充要条件是（ ）
A．a＞bB．a＞|b|C．|a|＞|b|D．
解：A：当a＝2，b＝﹣4时，a＞b成立，但a2＞b2不成立，∴A错误，
B：当a＝﹣6，b＝﹣4时，a2＞b2成立，但a＞|b|不成立∴B错误，
C：a2＞b2⇔|a|＞|b|，∴C正确，
D：当a＝2，b＝﹣4时，＞成立，但a2＞b2不成立，∴D错误，
故选：C．
4．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an+1＝1﹣，则S2021＝（ ）
A．B．1009C．D．1010
解：若a1＝，an+1＝1﹣，
则a2＝1﹣2＝﹣1，a3＝1﹣（﹣1）＝2，a4＝1﹣＝，a5＝1﹣2＝﹣1，
…，
所以{an}的最小正周期为3，
则S2021＝673（a1+a2+a3）+a1+a2＝673×（﹣1+2）+﹣1＝1009．
故选：B．
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（（ ）
A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．b＞c＞aD．b＞a＞c
解：设a＝，b＝，c＝，
∵函数y＝ 是（0，+∞）的增函数，＜，∴b＜c．
∵当0＜a＜1时，函数y＝是R上的减函数，＜，∴＞，即a＞c，
则a，b，c的大小关系为 a＞c＞b，
故选：A．
6．已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是（ ）
A．y＝sin（ex+e﹣x）B．y＝sin（ex﹣e﹣x）
C．y＝cs（ex﹣e﹣x）D．y＝cs（ex+e﹣x）
解：由图象可知，函数图象关于y轴对称，而y＝sin（ex﹣e﹣x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
且﹣1＜f（0）＜0，而sin2＞0，sin0＝0，故排除A，C．
故选：D．
7．良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2019年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型：（y0表示碳14的初始量）．2020年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推测良渚遗址存在的时期距今大约是（ ）（参考数据：lg25≈2.3，lg211≈3.5）
A．3450年B．4010年C．4580年D．5160年
解：设良渚遗址存在的时期距今大约x年，
则y%y0，即（）＝0.55，
所以＝lg2100﹣lg255＝2+lg25﹣lg211≈0.8，
解得x≈5730×0.8＝4584，
故选：C．
8．在平面直角坐标系xOy内，已知直线l与圆O：x2+y2＝8相交于A，B两点，且|AB|＝4，若＝2且M是线段AB的中点，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
解：由|AB|＝4，M是线段AB的中点，可得OM⊥AB，
所以|OM|＝＝＝2，
由＝2，则+＝2，则A为线段BC的中点，
如图所示，
所以|CM|＝|CA|+|AM|＝4+2＝6，
在Rt△CMO中，＝||||cs∠COM＝||2＝4．
故选：D．
9．在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），若cs（）＝，则x0＝（ ）
A．B．C．D．
解：在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），
∴csα＝x0，
∵α∈（﹣，0），∈（﹣，），
又cs（）＝＜，
∴∈（﹣，0），
∴sin（）＝﹣，
∴x0＝csα＝cs[（）﹣]＝cs（）cs+sin（）sin＝﹣＝．
故选：A．
10．2020年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的选派方法数有（ ）种
A．25B．60C．90D．150
解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名工作人员分为3组，
若分为1﹣2﹣2的三组，有＝15种分组方法，
若分为1﹣1﹣3的三组，有C53＝10种分组方法，
则有10+15＝25种分组方法，
②将分好的三组全排列，安排到A、B、C三个村调研，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种选派方法，
故选：D．
11．如图，双曲线F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（ ）
A．B．C．D．
解：如图，不妨设|AB|＝1，|CD|＝4，则|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，
在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2•1•2c•cs60°＝（1+2a）2，①
在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2•4•2c•cs120°＝（4+2a）2，②
②﹣①得，15+10c＝12a+15，则e＝．
故选：C．
12．已知两个实数M，N满足M≤xex﹣lnx﹣x﹣1，N≤+lnx﹣x在x∈（0，+∞）上均恒成立，记M，N的最大值分别为a，b，那么（ ）
A．a＝b+2B．a＝b+1C．a＝bD．a＝b﹣1
解：xex﹣lnx﹣x﹣1＝ex+lnx﹣（x+lnx）﹣1≥0，
+lnx﹣x＝ex﹣2﹣lnx﹣（x﹣2﹣lnx）﹣1﹣1≥0﹣1＝﹣1，
所以a＝0，b＝﹣1，
即a＝b+1．
故选：B．
二、填空题：本大共4小题，每小题5分，共20分
13．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为 2 ．
解：作出不等式对应的平面区域，
由z＝x+2y，得y＝﹣x+，
平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点A时，
直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．
由，得A（0，1），
此时z的最大值为z＝0+2×1＝2，
故答案为：2．
14．（2x2﹣1）5展开式中，含x6项的系数为 80 ．
解：∵（2x2﹣1）5展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•25﹣r•x10﹣2r，令10﹣2r＝6，求得r＝2，
可得展开式中含x6项的系数为•23＝80，
故答案为：80．
15．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B，且|AF|﹣|BF|＝，则＝ 2 ．
解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|＝，可得|AF|＝+m，
由抛物线的方程可得F（1，0），
过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'，
过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点，则△BFD∽△BAC，
∴＝，即，解得m＝，
＝，
故答案为：2．
16．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为an＝[（）n﹣（）n]，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设n是不等式＞x+6的正整数解，则n的最小值为 9 ．
解：不等式，化为：﹣＞26＝64，
∴﹣＞，∈（21，34）．
由数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，
an＝，
可得：n＞8，
因此n的最小值为：9．
故答案为：9．
三、解答题：本大题分为必考题与选考题两部分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且S3＝12，a8＝16．数列{bn}为等比数列，满足b1＝a2，b3b5＝256b4．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由S3＝12，a8＝16，可得a1+7d＝16，3a1+3d＝12，
解得a1＝d＝2，所以an＝2n；
由b1＝a2，b3b5＝256b4，可得b1＝4，b42＝256b4，即b4＝256，
可得4q3＝256，解得q＝4，则bn＝4n；
（2）cn＝＝＝（﹣），
所以Tn＝c1+c2+…+cn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝4（1﹣）＝．
18．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3（sinB+sinC）2﹣3sin2（B+C）＝8sinBsinC．
（1）求csA的值；
（2）若△ABC的面积为4，求a+b+c的最小值．
解：（1）∵3（sinB+sinC）2﹣3sin2（B+C）＝8sinBsinC，
∴3（sinB+sinC）2﹣3sin2A＝8sinBsinC，
由正弦定理知，＝＝，
∴3（b+c）2﹣3a2＝8bc，即a2＝（b+c）2﹣bc，
由余弦定理知，csA＝＝＝．
（2）由（1）知，csA＝，
∵A∈（0，π），∴sinA＝＝，
又△ABC的面积S＝bcsinA＝4，
∴bc＝12，
由余弦定理知，csA＝＝，即b2+c2﹣a2＝bc，
∴a2＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc＝16，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，
∴a≥4，
∴a+b+c≥4+4，
故a+b+c的最小值为4+4．
19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．
（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
附：
K2＝，其中n＝a+b+c+d．
解：（1）
所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”．
（2）因为随机选一高三女生，对此事关注的概率又因为，所以随机变量X的分布列为：
可得：．
20．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，过F2的直线l交C于点A、B，且△F1AB的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．
解：（1）因为△F1AB的周长为8，由椭圆的定义知4a＝8，
故a＝2，又，
所以c＝1⇒b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意可设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
显然△＞0且，，
∴
＝．
令，
∴．
易知S在t∈[1，+∞）单调递减，从而．
21．已知函数f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．
（1）若f（x）在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）如果f（x）有一个极小值点x1和一个极大值点x2，求证：f（x）有三个零点．
【解答】（1）解：由f（x）＝x2+mx﹣ex+1，得f′（x）＝x+m﹣ex，
设g（x）＝x+m﹣ex，则g′（x）＝1﹣ex，
当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（0）＝m﹣1，
f（x）在R上是减函数，则f′（x）≤0恒成立，
所以m﹣1≤0，所以m≤1，故m的取值范围是（﹣∞，1]．
（2）证明：因为f（x）有一个极小值点x1和一个极大值点x2，
所以由（1）可知m＞1，
设g（x）＝f′（x）＝x+m﹣ex，则g′（x）＝1﹣ex，
当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
因为g（﹣m）＝﹣e﹣m＜0，g（0）＝m﹣1＞0，g（m）＝2m﹣em＜2m﹣em＜0（x∈R，ex＞ex），
所以∃x1∈（﹣m，0），x2∈（0，m），使g（x1）＝g（x2）＝0，
所以x∈（﹣∞，x1），g（x）＜0即f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（﹣∞，x1），g（x）＜0即f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（x1，x2），g（x）＞0即f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（x2，+∞），g（x）＞0即f′（x）＞0，f（x）单调递减，
因为x1＜0＜x2，所以f（x1）＜f（0）＝0＜f（x2），
又因为f（﹣2m）＝1﹣e﹣2m＞0，
由x＞0，ex＞x2得f（2m+2）＝（2m+2）2+m（2m+2）﹣e2m+2+1＜（2m+2）2+m（2m+2）﹣（2m+2）2+1＝﹣2m﹣1＜0，
所以由零点存在定理，得f（x）在（﹣2m，x1）和（x2，2m+2）各有一个零点，
又f（0）＝0，结合函数f（x）的单调性可知，f（x）有三个零点．
选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时,请用2B铅笔在答越卡上将所选题号后的方榧涂焦.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝6sinθ，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；
（2）已知直线l：（t为参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求|PA|⋅|PB|的值．
解：（1）由ρ＝6sinθ，得ρ2＝6ρsinθ，
又x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，∴x2+y2＝6y，
即曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2＝9，
点P的直角坐标为（1，1）．
（2）把直线l：（t为参数），代入x2+（y﹣3）2＝9，
整理得，，
设A、B对应的参数分别是t1、t2，则t1t2＝﹣4，
于是|PA|⋅|PB|＝|t1|⋅|t2|＝|t1t2|＝4．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．
解：（1）当x≥4时，f（x）＝2x+1﹣（x﹣4）＝x+5＞0，
得x＞﹣5，所以x≥4；
当时，f（x）＝2x+1+x﹣4＝3x﹣3＞0，
得x＞1，所以1＜x＜4；
当时，f（x）＝﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5．
综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）；
（2）方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0没有实数根，即f（x）+3|x﹣4|＝2m2﹣3m没有实数根，
令g（x）＝f（x）+3|x﹣4|＝|2x+1|+2|x﹣4|＝|2x+1|+|2x﹣8|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|＝9，
当且仅当（2x+1）（2x﹣8）≤0时，即时等号成立，即g（x）值域为[9，+∞），
若g（x）＝2m2﹣3m没有实数根，则2m2﹣3m＜9，即2m2﹣3m﹣9＜0，
所以实数m的取值范围为（）．
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合计
男
女
合计
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
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合计
男
女
合计
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
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没关注
合计
男
30
30
60
女
12
28
40
合计
42
58
100
X
0
1
2
3
P