第四章 第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

知识回顾

1．简谐运动的有关概念

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径．

课前检测

1.用“五点法”，作 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 (　　)

A．，，，，
B．，，，，
C．，，，，
D．，，，，

2．（2020•山东新高考模拟演练8）为了得到函数的图像，可以将函数的图像(     )

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

3．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，，　　　　　　　 B．2，，

C．2，，  D．2，，－

4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．

5．(多选)将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　)

A．g(x)在上的最小值为－

B．g(x)在上的最小值为－1

C．g(x)在上的最大值为

D．g(x)在上的最大值为1

6．已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则使f (x＋m)－f (m－x)＝0成立的m的最小正值为________．

课中讲解

考点一．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ）的图像及变换

例1　已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2.

(1)求f (x)的解析式；

(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要列表)；

(3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？

变式1．（20揭阳文数摸底）要得到的图象，只需把的图象（）

 A.向左平移个单位               B.向右平移个单位

C.向左平移个单位               D.向右平移个单位

例2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

变式2．若ω＞0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．

例3.已知函数f (x)＝sin(0<ω<2)满足条件f ＝0，为了得到函数y＝f (x)的图象，可将函数g(x)＝cos ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的最小值为(　　)

A．1  B.  C.  D.

变式3.将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为(　　)

A．x＝    B．x＝    C．x＝    D．x＝π

考点二．由图像求f(x)＝Asin(ωx＋φ）的解析式

例1. （河南周口扶沟开学考）函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图，则f(x)的解析式为

A.       B.

C.     D.

变式1.（湖北名师联盟四月仿真卷）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

例2.　如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为________．

变式2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B．－

C．－  D．－1

例3．(2018·咸阳三模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin

B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝2sin

D．f(x)＝2sin

变式3.函数 的图象如图所示，为了得到 的图象，则只要将 的图象(　　)

A．向右平移 个单位
B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位
D．向左平移 个单位

考点三．三角函数模型及应用

例1.如图，在平面直角坐标系 中，质 间隔 分钟先后从 点出发，绕原点按逆时针方向作角速度为 弧度/分钟的匀速圆周运动，则 与 的纵坐标之差 次达到最大值时， 运动的时间为(　　)

A． 分钟               B． 分钟        
C． 分钟         D． 分钟

．

变式1.【2020年高三上学期《4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》单元测试数学试卷（黄冈名师数学大一轮核心素养提升练二十一（理））】 年，包头市将投资 亿进行城乡建设．其中将对奥林匹克公园进行二期扩建，拟建包头市最大的摩天轮建筑．其旋转半径 米，最高点距地面 米，运行一周大约 分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第 分钟时他距地面大约为(　　)米．

A． B． C． D．

例2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．

变式2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的月平均气温为________℃.

考点四．三角函数图像与性质的综合问题

例1.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且，，则的最大值为(　　)

A．5
B．4

C．3                                  
D．2

变式1.设函数 ，其中 ，， 若 对一切 恒成立，则下列结论中正确的是(　　)

A．
B．点 是函数 的一个对称中心
C． 在 上是增函数
D．存在直线经过点 且与函数 的图像有无数多个交点

例2.已知函数 在一个周期内的图象如图所示．若方程 在区间 上有两个不同的实数解 ，，则 的值为(　　)

A．
B．
C．
D． 或

变式2.【2019年山东菏泽高一下学期期末考试数学试卷（b卷）】已知函数 的最小正周期为 ，且 的图象过点 ，则方程 所有解得和为________ ．

例3.有下列四个命题：
① 若 ， 均为第一象限角，且 ，则
② 若函数 的最小正周期为 ，则
③ 函数 是奇函数
④ 函数 在 上是增函数
其中正确命题的序号为________．

变式3.设函数的定义域为，若对于任意，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为________

例4.已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间．

变式4.(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝sin＋＋b.

(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0,3]，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

课后习题

一．单选题

1.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为(　　)

A．    
B．      
C．     
D．

2.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点的(　　)

A．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度

3.函数 图象沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数图象，则 的一个可能值是(　　)

A． B．
C． D．

4.将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是(　　)

A． B．
C． D．

5.函数 的图象如图，则 的解析式和 的值分别为(　　)

A．，
B．，
C．，
D．，

6.函数 在 上的图象大致是(　　)

A．
B．
C．
D．

7.【2020年12月江苏南京南京市第一中学高一上学期周测数学试卷（三角函数的应用）】如图，一个大风车的半径是 米，每 分钟旋转一周，最低点离地面 米，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点 离地面的距离 （米）与时间 （分钟）之间的函数关系是(　　)

A．
B．
C．
D．

8.已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，，且 时，，则 (　　)

A． B． C． D．

9．(2019·安徽省合肥市一中、合肥六中联考)已知函数f (x)＝sin 2x－2cos2x＋1，将f (x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可能为(　　)

A.  B.  C.  D.

二．多选题

10．(多选)将函数f (x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质(　　)

A．最大值为，图象关于直线x＝－对称

B．图象关于y轴对称

C．最小正周期为π

D．图象关于点成中心对称

11．(多选)已知函数f (x)＝sin 2x＋2cos2x－1，下列四个结论正确的是(　　)

A．函数f (x)在区间上是增函数

B．点是函数f (x)图象的一个对称中心

C．函数f (x)的图象可以由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

D．若x∈，则f (x)的值域为[0，]

12.【2020年吉林吉林高一上学期期末考试数学试卷（市联考）】如图，摩天轮的半径为 米，摩天轮的轴 点距离地面的高度为 米，摩天轮匀速逆时针旋转，每 分钟转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有(　　)

A．经过 分钟，点 首次到达最低点
B．第 分钟和第 分钟点 距离地面一样高
C．从第 分钟至第 分钟摩天轮上的点 距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中有 分钟距离地面不低于 米

13.【2020年江苏镇江润州区高二下学期期中考试数学试卷一中】已知函数 ，则下列结论正确的是(　　)

A．函数  的最小正周期为 
B．函数  在  上有三个零点
C．当  时，函数  取得最大值
D．为了得到函数  的图象，只要把函数  图象上所有点的横坐标变为原来的  倍（纵坐标不变）

三．填空题

14.某简谐运动的函数表达式为，则该运动的最小正周期为________，振幅为________，初相为________．

15.已知函数的一条对称轴方程为．令，则________

16.函数的值域为 ________

17.【2019年吉林长春长春市十一高中高一上学期期中考试数学试卷】有下列四个命题：
① 若 ， 均为第一象限角，且 ，则
② 若函数 的最小正周期为 ，则
③ 函数 是奇函数
④ 函数 在 上是增函数
其中正确命题的序号为________．

18.设函数的定义域为，若对于任意，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为________

19.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f (x1)＝f (x2)，则f (x1＋x2)＝________.

20．已知函数f (x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f (x)>1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是____________．

四．解答题

21．(2019·南通模拟)已知函数f (x)＝sin＋＋b.

(1)若函数f (x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x)的单调递增区间；

(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f (x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

22.（2020上海闵行）已知函数.

（1）若，且，求的值；

（2）求函数的最小正周期及函数在上单调递减区间

【

23.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；