人教版九年级上册22.1.1 二次函数第1课时学案

第二十二章  二次函数

22.1.3  二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质

第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质

学习目标：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.

2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.

3.理解y=ax2与 y=ax2+k之间的联系.

重点：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.

2.理解y=ax2与 y=ax2+k之间的联系.

难点：掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用其解决问题.

一、知识链接

1.用描点法画出二次函数y=4x2的图象.

2.函数y=－3x2的图象的开口     ，对称轴是     ，顶点是     ；在对称轴的左侧，y随x的增大而     ，在对称轴的右侧，y随x的增大而     .

二、要点探究

探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质

合作探究

在同一直角坐标系中，画出函数+1，-1的图象．

观察与思考

 抛物线+1，-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？

典例精析

例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　）

A．其图象的开口方向向上    B．当x=0时，y有最大值4

C．其图象的对称轴是y轴    D．其图象的顶点坐标为（0，4）

探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质

做一做  画出二次函数，，的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、函数最值、函数增减性.

根据图象回答下列问题:

(1)图象的形状都是____________________；

(2)三条抛物线的开口方向____________________；

(3)对称轴都是____________________ ；

(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________；

(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________；

(6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________.

要点归纳：二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质：

①当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大；

②当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.

例2 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （　　）

A．开口方向相同     B．顶点相同

C．对称轴相同      D．当x＞0时，y随x的增大而增大

探究点3：二次函数y=ax2+k的图象及平移

 (教材P32例2变式)画出二次函数 y=2x2， y=2x2+1 ，y=2x2－1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.

探究1  填写下表，观察函数对应值之间有什么联系？

探究2  画出二次函数y=2x2－1，y=2x2，y=2x2+1的图象，观察它们之间有什么联系？

要点归纳：二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：

当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.

当k < 0 时，向下平移－k个单位长度得到.

规律总结为：平方项不变，常数项上加下减.

练一练  

二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)

A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到

B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到

C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到

D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到

想一想

1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？

2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？

例3  在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝﹣x2+1的图象大致是（　　）

变式训练

在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　)

方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．

三、课堂小结

1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线           ．

2.填表

3.已知(m，n)在y=ax2+a(a不为0)的图象上，则点(－m，n)      (填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象上.

4. 若y=x2+(k－2)的顶点是原点，则k     ；若顶点位于x轴上方，则k     ；若顶点位于x轴下方，则k     .

5.已知二次函数y=(a－2)x2+a2－2的最高点为(0，2)，则a=     .

6.已知抛物线y=ax2+k.

（1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0，-3)，则该抛物线的函数表达式是____________;

（2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______，k=______;

（3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1，5),则该抛物线的函数表达式是__________;将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_____________.

能力提升：

如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．

参考答案

自主学习

知识链接

1.画图略

2.向下  y轴   （0，0） 增大   减小

课堂探究

二、要点探究

探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质

合作探究

列表如下：

描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.

            图①                            图②

观察与思考

典例精析

例1   B 

探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质

做一做

二次函数，，的图象如图②所示.

（1）抛物线    （2）向下   （3）y轴（或直线x=0）  (4)(0,2),(0,0),（0，-2）

（5）高   大   y=2  y=0  y=-2 

（6）对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小

例2  C

探究点3：二次函数y=ax2+k的图象及平移

探究1

探究2

画图如图所示.

练一练   D

想一想 

1.第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱个单位长度.

第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.

2.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.

例3   D    变式训练    D

当堂检测

1.y = 2x2－4

2.

3.在    4.=2  ＞2  ＜2   5.-2

6.（1）y=-2x2-3   （2）-0.5  -3  （3）y=x2+5   y=x2+2

能力提升

解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，此时P点坐标为( ，2)，(－，2)；

当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，此时P点坐标为(，2)，(－，2)．