高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.4 频率与概率学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.4 频率与概率学案，共10页。学案主要包含了概率概念的理解，利用频率与概率的关系求概率，概率的实际应用等内容，欢迎下载使用。


知识点一 用频率估计概率
在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为eq \f(m,n)，此时也有0≤P(A)≤1.
知识点二 频率与概率的关系
概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
1．随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．( √ )
2．某试验重复进行了1 000次，事件A发生的频率即为事件A发生的概率．( × )
3．随着试验次数的增加，频率越来越接近于概率．( √ )
4．概率是随机的，在试验之前不能确定．( × )
一、概率概念的理解
例1 解释下列概率的含义．
(1)某厂生产产品的合格率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
解 (1)“某厂生产产品的合格率为0.9”．说明该厂产品合格的可能性为90%，也可以说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．
(2)“中奖的概率为0.2”．说明参加抽奖的人有20%的可能中奖，也可以说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
反思感悟 概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大．
跟踪训练1 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，不一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
答案 AD
解析 一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
(2)某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂若只生产1件产品一定会合格
D．该厂生产的一件产品合格的可能性是99.99%
答案 D
解析 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
二、利用频率与概率的关系求概率
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解 (1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
反思感悟 随机事件概率的理解及求法
(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
(2)求法：通过公式fn(A)＝eq \f(nA,n)＝eq \f(m,n)计算出频率，再由频率估算概率．
跟踪训练2 下表是某种乒乓球的质量检查统计表：
(1)计算各组优等品频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率．
解 (1)根据优等品频率＝eq \f(优等品数,抽取球数)，可得优等品的频率从左到右依次为：
0.9,0.92,0.97,0.94,0.954,0.951.
(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计优等品的概率是0.95.
三、概率的实际应用
例3 为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．
解 设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，先从水库中任捕一尾，
设事件A＝{带有记号的鱼}，易知P(A)＝eq \f(2 000,n)，①
第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，由概率的统计定义可知P(A)＝eq \f(40,500)，②
由①②两式，得eq \f(2 000,n)＝eq \f(40,500)，
解得n＝25 000.
所以估计水库中约有鱼25 000尾．
反思感悟 (1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
跟踪训练3 某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在学校随机抽取初中部的150名学生登记佩带胸卡的学生名字．结果150名学生中有60名佩带胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡．据此估计该中学初中部一共有多少名学生．
解 设初中部有n名学生，依题意得eq \f(60,150)＝eq \f(500,n)，
解得n＝1 250.
所以该中学初中部共有学生约1 250名．
1．某医院治疗一种疾病的治愈率为eq \f(1,5)，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为( )
A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(4,5) D．0
答案 B
解析 由概率的意义知，第5个病人的治愈率仍为eq \f(1,5)，与前4个病人都没治好没有关系．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A.eq \f(1,999) B.eq \f(1,1 000) C.eq \f(999,1 000) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为eq \f(1,2).
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
答案 A
解析 利用公式fn(A)＝eq \f(nA,n)计算出频率值，取到号码为奇数的频率是eq \f(10＋8＋6＋18＋11,100)＝0.53.
4．经过市场抽检，质检部门得知市场上各品牌食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有( )
A．64个 B．6个 C．16个 D．8个
答案 C
解析 80×(1－80%)＝16.
5．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取一球后放回，取了10次有7次是白球，估计袋中数量较多的是__________球．
答案 白
解析 取出白球的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球．
1．知识清单：
(1)频率与概率的关系．
(2)用频率估计概率．
2．方法归纳：极限思想．
3．常见误区：频率与概率的区别与联系．
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案 C
解析 由概率与频率的有关概念可知C正确．
2．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，则有90人会治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会治愈
C．说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
答案 C
解析 概率是指一个事件发生的可能性的大小．治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说是治愈的可能性较大，故选C.
3．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒．这批米夹的谷约为( )
A．134石 B．169石 C．338石 D．454石
答案 B
解析 由题意可知这批米内夹谷约为1 534×eq \f(28,254)≈169(石)，故选B.
4．先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大( )
A．至少一枚硬币正面向上
B．只有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都是正面向上
D．两枚硬币都是反面向上
答案 A
解析 抛掷两枚硬币，其结果有“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”四种情况，至少一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大．
5．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车．交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
答案 B
解析 由于甲公司桑塔纳车占的比例为eq \f(100,100＋3 000)＝eq \f(1,31)，乙公司桑塔纳车占的比例为eq \f(3 000,3 000＋100)＝eq \f(30,31)，可知应选B.
6．为了估计今年来昆明的红嘴鸥数量，云南大学科研人员随机对500只红嘴鸥做上记号后放回，一段时间后随机查看了500只红嘴鸥，发现有2只标有记号，今年来昆明的红嘴鸥总数最可能为________．
答案 125 000
解析 设今年来昆明的红嘴鸥总数为n，则eq \f(500,n)＝eq \f(2,500)，解得n＝125 000.
7．投掷硬币的结果如下表：
则a＝______，b＝______，c＝_____.据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为______．
答案 0.51 241 800 0.5
解析 a＝eq \f(102,200)＝0.51，b＝500×0.482＝241，c＝eq \f(404,0.505)＝800.
易知正面向上的频率在0.5附近，所以若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5.
8．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．
答案 1 000
解析 由表中数据知，抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则eq \f(950,n)＝0.95，所以n＝1 000.
9．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)从成绩在70分以上(包括70分)的学生中任选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)．
解 (1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以估计这次考试的及格率约为75%.
(2)因为成绩在[70,100]的人数是60×(0.03＋0.025＋0.005)×10＝36，
所以从成绩在70分以上(包括70分)的学生中任选一人，
选到第一名学生的概率P＝eq \f(1,36).
10．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵孵出8 513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30 000个鱼卵大约能孵化出多少条鱼苗？
解 (1)这种鱼卵的孵化频率为eq \f(8 513,10 000)＝0.851 3，可把它近似作为孵化的概率，即这种鱼卵的孵化概率是0.851 3.
(2)设能孵化出x条鱼苗，则eq \f(x,30 000)＝0.851 3，所以x＝25 539，
即30 000个鱼卵大约能孵化出25 539条鱼苗．
11．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A.eq \f(7,15) B.eq \f(2,5) C.eq \f(11,15) D.eq \f(13,15)
答案 C
解析 由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为eq \f(3 300,4 500)＝eq \f(11,15).由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为eq \f(11,15).
12．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率：用计算机随机模拟产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.85
答案 B
解析 在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有5727,0293,9857,0347,4373,8636,9647,4698,6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281，
共15组随机数，所以所求概率约为eq \f(15,20)＝0.75.故选B.
13．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．
答案 4 0.7
解析 样本中数据总个数为20，∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50)中的数据有14个，故所求概率P＝eq \f(14,20)＝0.7.
14．若某地8月15日无雨记为0，有雨记为1，统计从1995年至2019年的气象资料得：11000 10011 00001 01011 10100，则该地出现8月15日下雨的概率约为________．
答案 0.44
解析 根据所统计的25年的资料，共有11次有雨，因此该地8月15日下雨的概率约为eq \f(11,25)＝0.44.
15．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
则估计该公司一年后可获收益的平均数是________．
答案 0.476
解析 应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%.
一年后公司成功的概率估计为eq \f(192,200)＝eq \f(24,25)，失败的概率估计为eq \f(8,200)＝eq \f(1,25).
所以估计一年后公司收益的平均数为5×12%×eq \f(24,25)－5×50%×eq \f(1,25)＝0.476.
16．某高中启动了“全民阅读，书香校园”活动，在活动期间用简单随机抽样方法，抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间(单位：小时)进行调查，所得数据的茎叶图如图所示．将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”．
(1)将频率视为概率，试估计该校900名学生中“读书迷”有多少人；
(2)从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动．
①共有多少种不同的抽取方法？
②求抽取的男、女两位“读书迷”月均课外阅读时间相差不超过2小时的概率．
解 (1)设该校900名学生中“读书迷”有x人，由茎叶图得30名学生中有7名学生月均课外阅读时间不低于30小时，所以30名学生中“读书迷”的频率是eq \f(7,30)，
则eq \f(x,900)＝eq \f(7,30)，解得x＝210，
故估计该校900名学生中“读书迷”有210人．
(2)①由茎叶图得7名“读书迷”中男生有3人，设为a35，a38，a41，
女生有4人，设为b34，b36，b38，b40(其中符号下标表示该学生月均课外阅读时间)，
则从7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人的所有基本事件为(a35，b34)，(a35，b36)，(a35，b38)，(a35，b40)，(a38，b34)，(a38，b36)，(a38，b38)，(a38，b40)，(a41，b34)，(a41，b36)，(a41，b38)，(a41，b40)，共12种，
所以共有12种不同的抽取方法．
②设A表示事件：抽取的男、女两位“读书迷”月均课外阅读时间相差不超过2小时．
则事件A包含(a35，b34)，(a35，b36)，(a38，b36)，(a38，b38)，(a38，b40)，(a41，b40)，共6个，则P(A)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，
所以抽取的男、女两位“读书迷”月均课外阅读时间相差不超过2小时的概率为eq \f(1,2).
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率eq \f(m,n)
抽取球数
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
投掷硬币的次数
200
500
c
正面向上的次数
102
b
404
正面向上的频率
a
0.482
0.505
调查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2 100
1 000
投资成功
投资失败
192次
8次