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2021-2022学年河南省南阳市南召县八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年河南省南阳市南召县八年级（上）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省南阳市南召县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．0的立方根是0
C．的平方根是±4 D．1的立方根是±1
2．（3分）下面四个数中，大于﹣1且小于0的无理数是（ ）
A． B． C． D．﹣π
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝|x| B．（﹣2）3＝8
C．3a2•4a3＝12a3 D．3a3+4a3＝7a6
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣3x3）2＝9x6
C．4a6÷2a2＝2a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
5．（3分）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（﹣a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（a+b）（﹣a+b）
6．（3分）如图，∠1＝∠2，由SAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．BD＝CD
7．（3分）在下列命题中，假命题是（ ）
A．绝对值最小的实数是0
B．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或±1
C．已知a≥b，则ac2≥bc2
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
8．（3分）已知a＝8111，b＝2721，c＝931，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
9．（3分）如图，用代数式表示阴影部分面积正确的是（ ）
A．ac+bc﹣c2 B．（a﹣c）（b﹣c） C．ab D．ac+bc
10．（3分）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）﹣8的立方根是 ．
12．（3分）（﹣2a3b2）3＝ ．
13．（3分）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ．
14．（3分）已知x＝3m+1，y＝1+9m，则用x的代数式表示y，结果为 ．
15．（3分）如图，已知∠B＝∠C，若要得到△OEB≌△ODC，需从下列条件中选择一个：①AB＝AC，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠AEC＝∠ADB，⑤OE＝OD；那么这个条件可以是 （写出所有符合条件的序号）．
三、解答题（10+10+9+9+9+9+9+10＝75分）
16．（10分）计算：
（1）（﹣a2）3+a2•a3+a8÷（﹣a）2；
（2）（x﹣y）8÷（y﹣x）7•（x﹣y）．
17．（10分）把下列各式因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（a+1）2﹣（b﹣2）2．
18．（9分）已知x2+3x﹣1＝0，求4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）的值．
19．（9分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，
求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
20．（9分）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，求证：AB＝ED．
21．（9分）阅读并完成下列问题：
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+6x+9＝ ；
16x2+8x+1＝ ；
9x2﹣12x+4＝ ．
（2）观察以上三个多项式的系数，有
62＝4×1×9，
82＝4×16×1，
（﹣12）2＝4×9×4，
于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的关系： ．
（3）解决问题：若多项式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一个完全平方式，求m的值．
22．（9分）阅读材料：
求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，
∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
解决问题：
（1）若a为任意实数，则代数式a2﹣2a﹣1的最小值为 ．
（2）求4﹣x2+2x的最大值．
（3）拓展：①不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值 ．（填序号）
A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数
②已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，直接写出△ABC的最大边c的值可能是 ．
23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动，点P以每秒1个单位的速度、点Q以每秒3个单位的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P和Q点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多长时间时，△PEC与△QFC全等？并说明理由．
2021-2022学年河南省南阳市南召县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．0的立方根是0
C．的平方根是±4 D．1的立方根是±1
【分析】根据平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：9的平方根为±＝±3，因此选项A不符合题意；
因为03＝0，所以0的立方根为0，因此选项B符合题意；
＝4，4的平方根为±2，因此选项C不符合题意；
因为13＝1，所以1的立方根为1，因此选项D不符合题意；
故选：B．
2．（3分）下面四个数中，大于﹣1且小于0的无理数是（ ）
A． B． C． D．﹣π
【分析】根据无理数的大小比较，逐项分析可得答案．
【解答】解：A．﹣1﹣＜﹣1，不符合题意；
B．﹣＜﹣1，不符合题意；
C．﹣1＜﹣＜0，符合题意；
D．﹣π＜﹣1，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝|x| B．（﹣2）3＝8
C．3a2•4a3＝12a3 D．3a3+4a3＝7a6
【分析】根据二次根式的性质和化简的方法，合并同类项的方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵＝|x|，
∴选项A符合题意；
∵（﹣2）3＝﹣8，
∴选项B不符合题意；
∵3a2•4a3＝12a5，
∴选项C不符合题意；
∵3a3+4a3＝7a3，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣3x3）2＝9x6
C．4a6÷2a2＝2a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
【分析】根据整式运算法则逐一进行计算，根据计算结果就能选出此题结果．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项A不符合；
∵（﹣3x3）2＝9x6，
∴选项B符合；
∵4a6÷2a2＝2a4，
∴选项C不符合；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴选项D不符合，
故选：B．
5．（3分）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（﹣a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（a+b）（﹣a+b）
【分析】根据平方差公式的结构进行分析判断．
【解答】解：A、原式＝﹣（a+b）（a+b），不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B、原式＝（b﹣a）（b﹣a），不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
C、原式＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
D、原式＝b2﹣a2，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，∠1＝∠2，由SAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．BD＝CD
【分析】由于∠1＝∠2，AD＝AD，根据“SAS”判断三角形全等的条件可需添加AB＝AC．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
而AD＝AD，
∴当AB＝AC时，可根据SAS判定△ABD≌△ACD．
故选：C．
7．（3分）在下列命题中，假命题是（ ）
A．绝对值最小的实数是0
B．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或±1
C．已知a≥b，则ac2≥bc2
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据绝对值、立方根，不等式的性质和全等三角形的判定判断即可．
【解答】解：A、绝对值最小的实数是0，是真命题；
B、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或±1，是真命题；
C、已知a≥b，则ac2≥bc2，是真命题；
D、有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
故选：D．
8．（3分）已知a＝8111，b＝2721，c＝931，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
【分析】根据幂的乘方运算法则，把它们变为底数相同的幂，再比较大小即可．
【解答】解：∵a＝8111＝344，b＝2721＝363，c＝931＝362，
363＞362＞344，
∴a、b、c的大小关系是b＞c＞a．
故选：D．
9．（3分）如图，用代数式表示阴影部分面积正确的是（ ）
A．ac+bc﹣c2 B．（a﹣c）（b﹣c） C．ab D．ac+bc
【分析】阴影部分面积为长为a，宽为c和长为b，宽为c的两个长方形面积之和减去边长为c的正方形面积，据此列出代数式即可．
【解答】解：由题意，S阴影＝ac+bc﹣c2，
故选：A．
10．（3分）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k
【分析】根据h（m+n）＝h（m）•h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【解答】解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），
∴h（2n）•h（2020）
＝h••h
＝•
＝kn•k1010
＝kn+1010，
故选：C．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）﹣8的立方根是 ﹣2 ．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）（﹣2a3b2）3＝ ﹣8a9b6 ．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6．
故答案为：﹣8a9b6．
13．（3分）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 2x﹣1 ．
【分析】根据新定义列出算式原式＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣2），再根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算，继而合并同类项即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣2）
＝x2﹣1﹣x2+2x
＝2x﹣1，
故答案为：2x﹣1．
14．（3分）已知x＝3m+1，y＝1+9m，则用x的代数式表示y，结果为 y＝x2﹣2x+2 ．
【分析】我们观察x和y的表达式，最主要的问题是底数不相同，所以我们要把底数统一化成3，9可以看成32．根据条件可以得到3m的表达式，然后把3m的表达式代入到y中，进行计算即可．
【解答】解：∵x＝3m+1，
∴3m＝x﹣1．
∴y＝1+（32）m
＝1+（3m）2
＝1+（x﹣1）2
＝1+x2﹣2x+1
＝x2﹣2x+2．
故答案为：y＝x2﹣2x+2．
15．（3分）如图，已知∠B＝∠C，若要得到△OEB≌△ODC，需从下列条件中选择一个：①AB＝AC，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠AEC＝∠ADB，⑤OE＝OD；那么这个条件可以是 ①②③⑤ （写出所有符合条件的序号）．
【分析】在△OEB和△ODC中，因为∠B＝∠C，∠EOB＝∠DOC，所以只要添加一条边相等，三角形就全等，由此即可判断．
【解答】解：在△OEB和△ODC中，
∵∠B＝∠C，∠EOB＝∠DOC，
∴只要添加一条边相等，三角形就全等，
故②⑤满足条件，
若AB＝AC，则根据ASA证明△ABD≌△ACE，
可得AD＝AE，推出BE＝BD，故①满足条件，
若BD＝EC，则根据AAS证明△ABD≌△ACE，
可得AD＝AE，AB＝AC，推出BE＝BD，故②满足条件，
故答案为：①②③⑤．
三、解答题（10+10+9+9+9+9+9+10＝75分）
16．（10分）计算：
（1）（﹣a2）3+a2•a3+a8÷（﹣a）2；
（2）（x﹣y）8÷（y﹣x）7•（x﹣y）．
【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法化简即可；
（2）把底数都化为（x﹣y），利用同底数幂的除法和乘法计算，再用完全平方公式展开即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣a6+a5+a6
＝a5；
（2）原式＝（x﹣y）8÷[﹣（x﹣y）7]•（x﹣y）
＝﹣（x﹣y）2
＝﹣x2+2xy﹣y2．
17．（10分）把下列各式因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（a+1）2﹣（b﹣2）2．
【分析】（1）先提公因式2x，再运用公式法进行因式分解．
（2）运用公式法进行因式分解．
【解答】解：（1）2x3﹣8x
＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）．
（2）（a+1）2﹣（b﹣2）2
＝（a+1+b﹣2）（a+1﹣b+2）
＝（a+b﹣1）（a﹣b+3）．
18．（9分）已知x2+3x﹣1＝0，求4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）的值．
【分析】所求的式子第一项利用单项式乘以多项式的法则计算，第二项利用完全平方公式展开，第三项先利用乘法分配律将3乘到括号里边，然后利用去括号法则去括号，合并同类项后将前两项提取2，得到最简结果，由x2+3x﹣1＝0，移项变形后得到x2+3x＝1，代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【解答】解：4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）
＝4x2+8x+x2﹣2x+1﹣3x2+3
＝2x2+6x+4
＝2（x2+3x）+4，…（3分）
∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，…（4分）
则原式＝2+4＝6．…（5分）
19．（9分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB
求证： PD＝PE ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．
【解答】解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD＝PE．
故答案为：PD＝PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE．
20．（9分）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，求证：AB＝ED．
【分析】由已知条件易证得∠B＝∠D，∠BCA＝∠DCE，利用AAS可证得△ABC≌△EDC，从而可得AB＝ED．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠AFD＝∠BFC，
∴∠B＝∠D，
又∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AB＝ED．
21．（9分）阅读并完成下列问题：
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+6x+9＝ （x+3）2 ；
16x2+8x+1＝ （4x+1）2 ；
9x2﹣12x+4＝ （3x﹣2）2 ．
（2）观察以上三个多项式的系数，有
62＝4×1×9，
82＝4×16×1，
（﹣12）2＝4×9×4，
于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的关系： b2＝4ac ．
（3）解决问题：若多项式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一个完全平方式，求m的值．
【分析】（1）利用完全平方公式化简各式即可；
（2）观察各式的特征，得到a，b，c之间的关系即可；
（3）根据（2）得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：（1）x2+6x+9＝（x+2）2；
16x2+8x+1＝（4x+1）2；
9x2﹣12x+4＝（3x﹣2）2；
（2）若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系为b2＝4ac；
（3）∵多项式 x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m） 是一个完全平方式，
∴[﹣2（m﹣3）]2＝4×1×（10﹣6m），
解得：m＝±1．
故答案为：（1）（x+2）2；（4x+1）2；（3x﹣2）2；（2）b2＝4ac；
22．（9分）阅读材料：
求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，
∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
解决问题：
（1）若a为任意实数，则代数式a2﹣2a﹣1的最小值为 ﹣2 ．
（2）求4﹣x2+2x的最大值．
（3）拓展：①不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值 A ．（填序号）
A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数
②已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，直接写出△ABC的最大边c的值可能是 6、7、8、9、10 ．
【分析】（1）把a2﹣2a﹣1配方为（a﹣1）2﹣2，根据非负数的性质即可得到结论；
（2）把4﹣x2+2x配方为﹣（x﹣1）2+5，根据非负数的性质即可得到结论；
（3）①把x2+y2+2y﹣4x+6配方为（x﹣2）2+（y+1）2+1，根据非负数的性质即可得到结论，
②先将a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，变形为（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，得出a，b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围．
【解答】解：（1）a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2﹣2，
∵（a﹣1）2≥0，即（a﹣1）2的最小值为0，
∴a2﹣2a﹣1的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2；
（2）4﹣x2+2x
＝﹣x2+2x+4
＝﹣（x2﹣2x+1）+5
＝﹣（x﹣1）2+5，
∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，即4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）①x2+y2+2y﹣4x+6＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，
∴代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值总不小于1，
故选A；
②∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜5+6，c≥6，c为正整数，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10，
故答案为：6、7、8、9、10．
23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动，点P以每秒1个单位的速度、点Q以每秒3个单位的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P和Q点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多长时间时，△PEC与△QFC全等？并说明理由．
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：点P运动1或或12秒时，△PEC与△QFC全等．理由如下：
分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，
∵由①知：PC＝CQ，
∴t﹣6＝3t﹣8，
t＝1；
t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP＝6﹣t＝3t﹣8，
t＝；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或或12秒时，△PEC与△QFC全等．
2021-2022学年河南省南阳市南召县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．0的立方根是0
C．的平方根是±4 D．1的立方根是±1
2．（3分）下面四个数中，大于﹣1且小于0的无理数是（ ）
A． B． C． D．﹣π
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝|x| B．（﹣2）3＝8
C．3a2•4a3＝12a3 D．3a3+4a3＝7a6
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣3x3）2＝9x6
C．4a6÷2a2＝2a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
5．（3分）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（﹣a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（a+b）（﹣a+b）
6．（3分）如图，∠1＝∠2，由SAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．BD＝CD
7．（3分）在下列命题中，假命题是（ ）
A．绝对值最小的实数是0
B．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或±1
C．已知a≥b，则ac2≥bc2
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
8．（3分）已知a＝8111，b＝2721，c＝931，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
9．（3分）如图，用代数式表示阴影部分面积正确的是（ ）
A．ac+bc﹣c2 B．（a﹣c）（b﹣c） C．ab D．ac+bc
10．（3分）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）﹣8的立方根是 ．
12．（3分）（﹣2a3b2）3＝ ．
13．（3分）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ．
14．（3分）已知x＝3m+1，y＝1+9m，则用x的代数式表示y，结果为 ．
15．（3分）如图，已知∠B＝∠C，若要得到△OEB≌△ODC，需从下列条件中选择一个：①AB＝AC，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠AEC＝∠ADB，⑤OE＝OD；那么这个条件可以是 （写出所有符合条件的序号）．
三、解答题（10+10+9+9+9+9+9+10＝75分）
16．（10分）计算：
（1）（﹣a2）3+a2•a3+a8÷（﹣a）2；
（2）（x﹣y）8÷（y﹣x）7•（x﹣y）．
17．（10分）把下列各式因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（a+1）2﹣（b﹣2）2．
18．（9分）已知x2+3x﹣1＝0，求4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）的值．
19．（9分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，
求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
20．（9分）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，求证：AB＝ED．
21．（9分）阅读并完成下列问题：
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+6x+9＝ ；
16x2+8x+1＝ ；
9x2﹣12x+4＝ ．
（2）观察以上三个多项式的系数，有
62＝4×1×9，
82＝4×16×1，
（﹣12）2＝4×9×4，
于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的关系： ．
（3）解决问题：若多项式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一个完全平方式，求m的值．
22．（9分）阅读材料：
求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，
∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
解决问题：
（1）若a为任意实数，则代数式a2﹣2a﹣1的最小值为 ．
（2）求4﹣x2+2x的最大值．
（3）拓展：①不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值 ．（填序号）
A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数
②已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，直接写出△ABC的最大边c的值可能是 ．
23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动，点P以每秒1个单位的速度、点Q以每秒3个单位的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P和Q点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多长时间时，△PEC与△QFC全等？并说明理由．
2021-2022学年河南省南阳市南召县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．0的立方根是0
C．的平方根是±4 D．1的立方根是±1
【分析】根据平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：9的平方根为±＝±3，因此选项A不符合题意；
因为03＝0，所以0的立方根为0，因此选项B符合题意；
＝4，4的平方根为±2，因此选项C不符合题意；
因为13＝1，所以1的立方根为1，因此选项D不符合题意；
故选：B．
2．（3分）下面四个数中，大于﹣1且小于0的无理数是（ ）
A． B． C． D．﹣π
【分析】根据无理数的大小比较，逐项分析可得答案．
【解答】解：A．﹣1﹣＜﹣1，不符合题意；
B．﹣＜﹣1，不符合题意；
C．﹣1＜﹣＜0，符合题意；
D．﹣π＜﹣1，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝|x| B．（﹣2）3＝8
C．3a2•4a3＝12a3 D．3a3+4a3＝7a6
【分析】根据二次根式的性质和化简的方法，合并同类项的方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵＝|x|，
∴选项A符合题意；
∵（﹣2）3＝﹣8，
∴选项B不符合题意；
∵3a2•4a3＝12a5，
∴选项C不符合题意；
∵3a3+4a3＝7a3，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣3x3）2＝9x6
C．4a6÷2a2＝2a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
【分析】根据整式运算法则逐一进行计算，根据计算结果就能选出此题结果．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项A不符合；
∵（﹣3x3）2＝9x6，
∴选项B符合；
∵4a6÷2a2＝2a4，
∴选项C不符合；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴选项D不符合，
故选：B．
5．（3分）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（﹣a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（a+b）（﹣a+b）
【分析】根据平方差公式的结构进行分析判断．
【解答】解：A、原式＝﹣（a+b）（a+b），不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B、原式＝（b﹣a）（b﹣a），不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
C、原式＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
D、原式＝b2﹣a2，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，∠1＝∠2，由SAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．BD＝CD
【分析】由于∠1＝∠2，AD＝AD，根据“SAS”判断三角形全等的条件可需添加AB＝AC．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
而AD＝AD，
∴当AB＝AC时，可根据SAS判定△ABD≌△ACD．
故选：C．
7．（3分）在下列命题中，假命题是（ ）
A．绝对值最小的实数是0
B．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或±1
C．已知a≥b，则ac2≥bc2
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据绝对值、立方根，不等式的性质和全等三角形的判定判断即可．
【解答】解：A、绝对值最小的实数是0，是真命题；
B、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或±1，是真命题；
C、已知a≥b，则ac2≥bc2，是真命题；
D、有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
故选：D．
8．（3分）已知a＝8111，b＝2721，c＝931，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
【分析】根据幂的乘方运算法则，把它们变为底数相同的幂，再比较大小即可．
【解答】解：∵a＝8111＝344，b＝2721＝363，c＝931＝362，
363＞362＞344，
∴a、b、c的大小关系是b＞c＞a．
故选：D．
9．（3分）如图，用代数式表示阴影部分面积正确的是（ ）
A．ac+bc﹣c2 B．（a﹣c）（b﹣c） C．ab D．ac+bc
【分析】阴影部分面积为长为a，宽为c和长为b，宽为c的两个长方形面积之和减去边长为c的正方形面积，据此列出代数式即可．
【解答】解：由题意，S阴影＝ac+bc﹣c2，
故选：A．
10．（3分）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k
【分析】根据h（m+n）＝h（m）•h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【解答】解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），
∴h（2n）•h（2020）
＝h••h
＝•
＝kn•k1010
＝kn+1010，
故选：C．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．（3分）﹣8的立方根是 ﹣2 ．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）（﹣2a3b2）3＝ ﹣8a9b6 ．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6．
故答案为：﹣8a9b6．
13．（3分）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 2x﹣1 ．
【分析】根据新定义列出算式原式＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣2），再根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算，继而合并同类项即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣2）
＝x2﹣1﹣x2+2x
＝2x﹣1，
故答案为：2x﹣1．
14．（3分）已知x＝3m+1，y＝1+9m，则用x的代数式表示y，结果为 y＝x2﹣2x+2 ．
【分析】我们观察x和y的表达式，最主要的问题是底数不相同，所以我们要把底数统一化成3，9可以看成32．根据条件可以得到3m的表达式，然后把3m的表达式代入到y中，进行计算即可．
【解答】解：∵x＝3m+1，
∴3m＝x﹣1．
∴y＝1+（32）m
＝1+（3m）2
＝1+（x﹣1）2
＝1+x2﹣2x+1
＝x2﹣2x+2．
故答案为：y＝x2﹣2x+2．
15．（3分）如图，已知∠B＝∠C，若要得到△OEB≌△ODC，需从下列条件中选择一个：①AB＝AC，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠AEC＝∠ADB，⑤OE＝OD；那么这个条件可以是 ①②③⑤ （写出所有符合条件的序号）．
【分析】在△OEB和△ODC中，因为∠B＝∠C，∠EOB＝∠DOC，所以只要添加一条边相等，三角形就全等，由此即可判断．
【解答】解：在△OEB和△ODC中，
∵∠B＝∠C，∠EOB＝∠DOC，
∴只要添加一条边相等，三角形就全等，
故②⑤满足条件，
若AB＝AC，则根据ASA证明△ABD≌△ACE，
可得AD＝AE，推出BE＝BD，故①满足条件，
若BD＝EC，则根据AAS证明△ABD≌△ACE，
可得AD＝AE，AB＝AC，推出BE＝BD，故②满足条件，
故答案为：①②③⑤．
三、解答题（10+10+9+9+9+9+9+10＝75分）
16．（10分）计算：
（1）（﹣a2）3+a2•a3+a8÷（﹣a）2；
（2）（x﹣y）8÷（y﹣x）7•（x﹣y）．
【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法化简即可；
（2）把底数都化为（x﹣y），利用同底数幂的除法和乘法计算，再用完全平方公式展开即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣a6+a5+a6
＝a5；
（2）原式＝（x﹣y）8÷[﹣（x﹣y）7]•（x﹣y）
＝﹣（x﹣y）2
＝﹣x2+2xy﹣y2．
17．（10分）把下列各式因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（a+1）2﹣（b﹣2）2．
【分析】（1）先提公因式2x，再运用公式法进行因式分解．
（2）运用公式法进行因式分解．
【解答】解：（1）2x3﹣8x
＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）．
（2）（a+1）2﹣（b﹣2）2
＝（a+1+b﹣2）（a+1﹣b+2）
＝（a+b﹣1）（a﹣b+3）．
18．（9分）已知x2+3x﹣1＝0，求4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）的值．
【分析】所求的式子第一项利用单项式乘以多项式的法则计算，第二项利用完全平方公式展开，第三项先利用乘法分配律将3乘到括号里边，然后利用去括号法则去括号，合并同类项后将前两项提取2，得到最简结果，由x2+3x﹣1＝0，移项变形后得到x2+3x＝1，代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【解答】解：4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）
＝4x2+8x+x2﹣2x+1﹣3x2+3
＝2x2+6x+4
＝2（x2+3x）+4，…（3分）
∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，…（4分）
则原式＝2+4＝6．…（5分）
19．（9分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB
求证： PD＝PE ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．
【解答】解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD＝PE．
故答案为：PD＝PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE．
20．（9分）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，求证：AB＝ED．
【分析】由已知条件易证得∠B＝∠D，∠BCA＝∠DCE，利用AAS可证得△ABC≌△EDC，从而可得AB＝ED．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠AFD＝∠BFC，
∴∠B＝∠D，
又∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AB＝ED．
21．（9分）阅读并完成下列问题：
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+6x+9＝ （x+3）2 ；
16x2+8x+1＝ （4x+1）2 ；
9x2﹣12x+4＝ （3x﹣2）2 ．
（2）观察以上三个多项式的系数，有
62＝4×1×9，
82＝4×16×1，
（﹣12）2＝4×9×4，
于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的关系： b2＝4ac ．
（3）解决问题：若多项式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一个完全平方式，求m的值．
【分析】（1）利用完全平方公式化简各式即可；
（2）观察各式的特征，得到a，b，c之间的关系即可；
（3）根据（2）得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：（1）x2+6x+9＝（x+2）2；
16x2+8x+1＝（4x+1）2；
9x2﹣12x+4＝（3x﹣2）2；
（2）若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系为b2＝4ac；
（3）∵多项式 x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m） 是一个完全平方式，
∴[﹣2（m﹣3）]2＝4×1×（10﹣6m），
解得：m＝±1．
故答案为：（1）（x+2）2；（4x+1）2；（3x﹣2）2；（2）b2＝4ac；
22．（9分）阅读材料：
求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，
∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
解决问题：
（1）若a为任意实数，则代数式a2﹣2a﹣1的最小值为 ﹣2 ．
（2）求4﹣x2+2x的最大值．
（3）拓展：①不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值 A ．（填序号）
A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数
②已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，直接写出△ABC的最大边c的值可能是 6、7、8、9、10 ．
【分析】（1）把a2﹣2a﹣1配方为（a﹣1）2﹣2，根据非负数的性质即可得到结论；
（2）把4﹣x2+2x配方为﹣（x﹣1）2+5，根据非负数的性质即可得到结论；
（3）①把x2+y2+2y﹣4x+6配方为（x﹣2）2+（y+1）2+1，根据非负数的性质即可得到结论，
②先将a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，变形为（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，得出a，b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围．
【解答】解：（1）a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2﹣2，
∵（a﹣1）2≥0，即（a﹣1）2的最小值为0，
∴a2﹣2a﹣1的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2；
（2）4﹣x2+2x
＝﹣x2+2x+4
＝﹣（x2﹣2x+1）+5
＝﹣（x﹣1）2+5，
∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，即4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）①x2+y2+2y﹣4x+6＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，
∴代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值总不小于1，
故选A；
②∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜5+6，c≥6，c为正整数，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10，
故答案为：6、7、8、9、10．
23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动，点P以每秒1个单位的速度、点Q以每秒3个单位的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P和Q点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多长时间时，△PEC与△QFC全等？并说明理由．
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：点P运动1或或12秒时，△PEC与△QFC全等．理由如下：
分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，
∵由①知：PC＝CQ，
∴t﹣6＝3t﹣8，
t＝1；
t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP＝6﹣t＝3t﹣8，
t＝；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或或12秒时，△PEC与△QFC全等．
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