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2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣2.31，﹣π，0，，2.60060006，中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列各式中正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝﹣3 C． D．＝0.2
3．（3分）已知（a﹣2）2+|b+3|＝0，则P（﹣a，﹣b）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列条件中，满足△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝1：：1
C．（a+b）2＝c2+2ab D．a＝，b＝，c＝
6．（3分）若2x|k|+（k﹣1）y＝3是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0
7．（3分）下列说法：①＝﹣10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③一个数的算术平方根仍是它本身，这样的数有三个；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（3分）两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，2） C．（1，） D．（2，）
10．（3分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，已知直线y＝x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）16的平方根是 ．
12．（3分）比较大小： ．（填“＜”、“＞”、“＝”）
13．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，该一次函数的图象与直线y＝﹣3x平行，则y1 y2．（填“＜”、“＞”、“＝”）
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，我们把点O，A（0，4），B（8，4），C（8，0）顺次连接起来，得到一个长方形区域，P为该区域（含边界）内一点．若将点P到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d，则称P为“d距点”．例如：点P（5，3）称为“4距点”．当d＝4时，横、纵坐标都是整数的点P的个数为 个．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ．
三．解答题（共6小题，满分55分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
18．（7分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系．
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
（3）求△ABC的面积．
19．（10分）郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）k1＝ ，b1＝ ；
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
20．（11分）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣2
﹣1
0
2
2
2
…
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝ ．
21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣2.31，﹣π，0，，2.60060006，中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣2.31，2.60060006是有限小数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
无理数有﹣π，，，共3个．
故选：C．
2．（3分）下列各式中正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝﹣3 C． D．＝0.2
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A．﹣＝﹣3，故此选项符合题意；
B.根号下是负数无意义，故此选项不合题意；
C.＝2，故此选项不合题意；
D.＝，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）已知（a﹣2）2+|b+3|＝0，则P（﹣a，﹣b）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】平面内两个点关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
根据平面直角坐标系中对称点的规律可知：
点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：D．
4．（3分）下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
A、对于x的取值，y有两个值的情况，不符合函数的定义，故A错误；
B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故B正确；
C、对于x的取值，y有两个值甚至三个值的情况，不符合函数的定义，故C错误；
D、对于x的取值，y有两个值的情况，不符合函数的定义，故D错误；
故选：B．
5．（3分）下列条件中，满足△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝1：：1
C．（a+b）2＝c2+2ab D．a＝，b＝，c＝
【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
B、，故不能判定△ABC是直角三角形；
C、由（a+b）2＝c2+2ab，可得：a2+b2＝c2，故能判定△ABC是直角三角形；
D、，故不能判定△ABC是直角三角形；
故选：C．
6．（3分）若2x|k|+（k﹣1）y＝3是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0
【分析】根据二元一次方程的定义，方程有两个未知数，那么未知数的系数不能为0，求出k的值．
【解答】解：由题意知：|k|＝1，k﹣1≠0，
解得k＝﹣1．
故选：A．
7．（3分）下列说法：①＝﹣10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③一个数的算术平方根仍是它本身，这样的数有三个；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；
②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；
③根据算术平方根的定义即可判定；
④根据实数的分类即可判定；
⑤根据无理数的性质即可判定；
⑥根据无理数的定义即可判断．
【解答】解：①＝﹣10，故说法错误；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③一个数的算术平方根仍是它本身，这样的数有0和1两个，故说法错误；
④实数分为有理数和无理数两类，所以任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数，如与﹣的和是0，是有理数，故说法错误；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确．
故正确的是②④⑥共3个．
故选：B．
8．（3分）两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．
【解答】解：A、可知：a＞0，b＞0．
∴直线经过一、二、三象限，故A错误；
B、可知：a＜0，b＞0．
∴直线经过一、二、四象限，故B正确；
C、∵ab≠0，故直线不经过原点，故C错误；
D、可知：a＜0，b＞0，
∴直线经过一、三、四象限，故D错误．
故选：B．
9．（3分）如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，2） C．（1，） D．（2，）
【分析】根据A（﹣1，0），B（3，0），可以得到AB的长和OA的长，然后根据△ABC是等边三角形和勾股定理，即可得到点C的坐标．
【解答】解：作CD⊥x轴于点D，如右图所示，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，OA＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝4，AD＝2，
∴CD＝＝＝2，OD＝1，
∴点C的坐标为（1，2），
故选：A．
10．（3分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，已知直线y＝x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y＝x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE＝OA＝1，由此可得出结论．
【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，
∵垂线段最短，
∴当点B与点D重合时线段AB最短．
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OE＝OA＝，
∴D（﹣，﹣）．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
12．（3分）比较大小： ＞ ．（填“＜”、“＞”、“＝”）
【分析】根据，代入估算即可比较大小．
【解答】解：∵，
∴≈0.366＞．
故答案为：＞．
13．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，该一次函数的图象与直线y＝﹣3x平行，则y1 ＞ y2．（填“＜”、“＞”、“＝”）
【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，再根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x平行，
∴k＝﹣3＜0，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，﹣2＜3，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，我们把点O，A（0，4），B（8，4），C（8，0）顺次连接起来，得到一个长方形区域，P为该区域（含边界）内一点．若将点P到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d，则称P为“d距点”．例如：点P（5，3）称为“4距点”．当d＝4时，横、纵坐标都是整数的点P的个数为 8 个．
【分析】根据“d距点”的定义，作出d＝4的点，即可解决问题．
【解答】解：满足条件的点如图所示，共有8个．
故答案为8．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE＝13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE＝90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC＝2BD．
【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝13．
在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴∠BAE＝90°．
在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝6，
∴BD＝＝＝，
∴BC＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共6小题，满分55分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算的法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣4+4﹣5+2
＝8﹣9；
（2）
＝1﹣12﹣3+2﹣1
＝2﹣15．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
由①，得x＝y+3③，
把③代入②，得3（y+3）﹣8y＝14，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③，得x＝2，
故方程组的解为；
（2），
②﹣①×2，得11y＝29，
解得y＝，
把y＝代入①，得2x﹣＝3，
解得x＝，
故方程组的解为．
18．（7分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系．
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据C点坐标确定原点位置，然后作出坐标系即可；
（2）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的点的位置，再连接即可；
（3）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）△ABC的面积：3×4﹣4×2﹣2×1﹣2×3＝12﹣4﹣1﹣3＝4．
19．（10分）郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）k1＝ 21 ，b1＝ 3000 ；
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到k1和b1的值；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价；
（3）根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）将x＝600代入y1和y2，然后比较大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）由图象可得，
函数y1＝k1x+b1，过点（0，3000），（200，7200），
则，
解得：，
故答案为：21，3000；
（2）由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元，
∴每棵树苗的原价是21÷0.7＝30（元），
即每棵树苗的原价30元；
（3）∵方案二中的树苗打九折优惠，
∴按照方案二购买的每棵树苗的价格为30×0.9＝27（元），
∵方案二：不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠，当x＝0时，y2＝0，
∴y2＝27x，
k2的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；
（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少，
理由：由（1）（3）可知，y1＝21x+3000，y2＝27x，
当x＝600时，
y1＝21×600+3000＝15600，y2＝27×600＝16200，
∵15600＜16200，
∴该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．
20．（11分）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣2
﹣1
0
1
2
2
2
2
…
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ②③ ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝ ．
【分析】（1）根据解析式计算即可；利用描点法画出函数图象即可；
（2）结合图象判断三个性质即可；
（4）根据图象直线y＝x+b经过点（3，2）时，与函数的图象只有一个交点．
【解答】解：（1）补充表格：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣2
﹣1
0
1
2
2
2
2
…
画出函数图象如图所示：
（2）由图象可知，正确的性质为②此函数无最小值；③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
故答案为②③；
（3）直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，根据图象直线y＝x+b经过点（3，2），
∴2＝×3+b，
∴b＝．
故答案为：．
21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据坐标轴点的特征求解即可．
（2）联立式y＝x，y＝﹣x+3得：点C（2，2）；△COB的面积＝OB•xC，即可求解．
（3）分PC＝BC、BP＝BC、PB＝PC三种情况，分别利用等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）对于直线l2的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，得到x＝6，
∴A（6，0）．
∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；
（2）联立y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，
∴点C（2，2），
∴S△COB＝OB•xC＝×3×2＝3；
（3）存在．
∵点B（0，3），点C（2，2），
∴BC＝＝，
设P（0，y），
①当PC＝BC＝时，如图，
又∵点C（2，2），
∴PC2＝22+（2﹣y）2，
∴（）2＝22+（2﹣y）2，
∴y＝1或3，
∵y＝3时，与点B重合，故舍去，
∴点P（0，1）；
②当BP＝BC＝时，如图，
OP＝OB+PB＝3+，OP′＝OB﹣P′B＝3﹣，
∴点P（0，3+），（0，3﹣）；
③当PB＝PC时，如图，
∵PB2＝PC2，
∴（3﹣y）2＝22+（2﹣y）2，
∴解得：y＝，
∴点P（0，），
综上所述：点P坐标为（0，3+），（0，3﹣），（0，1），（0，）．
2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣2.31，﹣π，0，，2.60060006，中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列各式中正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝﹣3 C． D．＝0.2
3．（3分）已知（a﹣2）2+|b+3|＝0，则P（﹣a，﹣b）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列条件中，满足△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝1：：1
C．（a+b）2＝c2+2ab D．a＝，b＝，c＝
6．（3分）若2x|k|+（k﹣1）y＝3是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0
7．（3分）下列说法：①＝﹣10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③一个数的算术平方根仍是它本身，这样的数有三个；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（3分）两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，2） C．（1，） D．（2，）
10．（3分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，已知直线y＝x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）16的平方根是 ．
12．（3分）比较大小： ．（填“＜”、“＞”、“＝”）
13．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，该一次函数的图象与直线y＝﹣3x平行，则y1 y2．（填“＜”、“＞”、“＝”）
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，我们把点O，A（0，4），B（8，4），C（8，0）顺次连接起来，得到一个长方形区域，P为该区域（含边界）内一点．若将点P到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d，则称P为“d距点”．例如：点P（5，3）称为“4距点”．当d＝4时，横、纵坐标都是整数的点P的个数为 个．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ．
三．解答题（共6小题，满分55分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
18．（7分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系．
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
（3）求△ABC的面积．
19．（10分）郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）k1＝ ，b1＝ ；
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
20．（11分）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣2
﹣1
0
2
2
2
…
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝ ．
21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣2.31，﹣π，0，，2.60060006，中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣2.31，2.60060006是有限小数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
无理数有﹣π，，，共3个．
故选：C．
2．（3分）下列各式中正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝﹣3 C． D．＝0.2
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A．﹣＝﹣3，故此选项符合题意；
B.根号下是负数无意义，故此选项不合题意；
C.＝2，故此选项不合题意；
D.＝，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）已知（a﹣2）2+|b+3|＝0，则P（﹣a，﹣b）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】平面内两个点关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
根据平面直角坐标系中对称点的规律可知：
点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：D．
4．（3分）下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
A、对于x的取值，y有两个值的情况，不符合函数的定义，故A错误；
B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故B正确；
C、对于x的取值，y有两个值甚至三个值的情况，不符合函数的定义，故C错误；
D、对于x的取值，y有两个值的情况，不符合函数的定义，故D错误；
故选：B．
5．（3分）下列条件中，满足△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝1：：1
C．（a+b）2＝c2+2ab D．a＝，b＝，c＝
【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
B、，故不能判定△ABC是直角三角形；
C、由（a+b）2＝c2+2ab，可得：a2+b2＝c2，故能判定△ABC是直角三角形；
D、，故不能判定△ABC是直角三角形；
故选：C．
6．（3分）若2x|k|+（k﹣1）y＝3是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0
【分析】根据二元一次方程的定义，方程有两个未知数，那么未知数的系数不能为0，求出k的值．
【解答】解：由题意知：|k|＝1，k﹣1≠0，
解得k＝﹣1．
故选：A．
7．（3分）下列说法：①＝﹣10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③一个数的算术平方根仍是它本身，这样的数有三个；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；
②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；
③根据算术平方根的定义即可判定；
④根据实数的分类即可判定；
⑤根据无理数的性质即可判定；
⑥根据无理数的定义即可判断．
【解答】解：①＝﹣10，故说法错误；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③一个数的算术平方根仍是它本身，这样的数有0和1两个，故说法错误；
④实数分为有理数和无理数两类，所以任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数，如与﹣的和是0，是有理数，故说法错误；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确．
故正确的是②④⑥共3个．
故选：B．
8．（3分）两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．
【解答】解：A、可知：a＞0，b＞0．
∴直线经过一、二、三象限，故A错误；
B、可知：a＜0，b＞0．
∴直线经过一、二、四象限，故B正确；
C、∵ab≠0，故直线不经过原点，故C错误；
D、可知：a＜0，b＞0，
∴直线经过一、三、四象限，故D错误．
故选：B．
9．（3分）如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（3，0），点C在第一象限内，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，2） C．（1，） D．（2，）
【分析】根据A（﹣1，0），B（3，0），可以得到AB的长和OA的长，然后根据△ABC是等边三角形和勾股定理，即可得到点C的坐标．
【解答】解：作CD⊥x轴于点D，如右图所示，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，OA＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝4，AD＝2，
∴CD＝＝＝2，OD＝1，
∴点C的坐标为（1，2），
故选：A．
10．（3分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，已知直线y＝x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y＝x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE＝OA＝1，由此可得出结论．
【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，
∵垂线段最短，
∴当点B与点D重合时线段AB最短．
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OE＝OA＝，
∴D（﹣，﹣）．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
12．（3分）比较大小： ＞ ．（填“＜”、“＞”、“＝”）
【分析】根据，代入估算即可比较大小．
【解答】解：∵，
∴≈0.366＞．
故答案为：＞．
13．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，该一次函数的图象与直线y＝﹣3x平行，则y1 ＞ y2．（填“＜”、“＞”、“＝”）
【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，再根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x平行，
∴k＝﹣3＜0，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，﹣2＜3，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，我们把点O，A（0，4），B（8，4），C（8，0）顺次连接起来，得到一个长方形区域，P为该区域（含边界）内一点．若将点P到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d，则称P为“d距点”．例如：点P（5，3）称为“4距点”．当d＝4时，横、纵坐标都是整数的点P的个数为 8 个．
【分析】根据“d距点”的定义，作出d＝4的点，即可解决问题．
【解答】解：满足条件的点如图所示，共有8个．
故答案为8．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE＝13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE＝90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC＝2BD．
【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝13．
在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴∠BAE＝90°．
在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝6，
∴BD＝＝＝，
∴BC＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共6小题，满分55分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算的法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣4+4﹣5+2
＝8﹣9；
（2）
＝1﹣12﹣3+2﹣1
＝2﹣15．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
由①，得x＝y+3③，
把③代入②，得3（y+3）﹣8y＝14，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③，得x＝2，
故方程组的解为；
（2），
②﹣①×2，得11y＝29，
解得y＝，
把y＝代入①，得2x﹣＝3，
解得x＝，
故方程组的解为．
18．（7分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系．
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据C点坐标确定原点位置，然后作出坐标系即可；
（2）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的点的位置，再连接即可；
（3）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）△ABC的面积：3×4﹣4×2﹣2×1﹣2×3＝12﹣4﹣1﹣3＝4．
19．（10分）郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）k1＝ 21 ，b1＝ 3000 ；
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到k1和b1的值；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价；
（3）根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）将x＝600代入y1和y2，然后比较大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）由图象可得，
函数y1＝k1x+b1，过点（0，3000），（200，7200），
则，
解得：，
故答案为：21，3000；
（2）由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元，
∴每棵树苗的原价是21÷0.7＝30（元），
即每棵树苗的原价30元；
（3）∵方案二中的树苗打九折优惠，
∴按照方案二购买的每棵树苗的价格为30×0.9＝27（元），
∵方案二：不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠，当x＝0时，y2＝0，
∴y2＝27x，
k2的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；
（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少，
理由：由（1）（3）可知，y1＝21x+3000，y2＝27x，
当x＝600时，
y1＝21×600+3000＝15600，y2＝27×600＝16200，
∵15600＜16200，
∴该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．
20．（11分）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣2
﹣1
0
1
2
2
2
2
…
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ②③ ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝ ．
【分析】（1）根据解析式计算即可；利用描点法画出函数图象即可；
（2）结合图象判断三个性质即可；
（4）根据图象直线y＝x+b经过点（3，2）时，与函数的图象只有一个交点．
【解答】解：（1）补充表格：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣2
﹣1
0
1
2
2
2
2
…
画出函数图象如图所示：
（2）由图象可知，正确的性质为②此函数无最小值；③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
故答案为②③；
（3）直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，根据图象直线y＝x+b经过点（3，2），
∴2＝×3+b，
∴b＝．
故答案为：．
21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据坐标轴点的特征求解即可．
（2）联立式y＝x，y＝﹣x+3得：点C（2，2）；△COB的面积＝OB•xC，即可求解．
（3）分PC＝BC、BP＝BC、PB＝PC三种情况，分别利用等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）对于直线l2的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，得到x＝6，
∴A（6，0）．
∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；
（2）联立y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，
∴点C（2，2），
∴S△COB＝OB•xC＝×3×2＝3；
（3）存在．
∵点B（0，3），点C（2，2），
∴BC＝＝，
设P（0，y），
①当PC＝BC＝时，如图，
又∵点C（2，2），
∴PC2＝22+（2﹣y）2，
∴（）2＝22+（2﹣y）2，
∴y＝1或3，
∵y＝3时，与点B重合，故舍去，
∴点P（0，1）；
②当BP＝BC＝时，如图，
OP＝OB+PB＝3+，OP′＝OB﹣P′B＝3﹣，
∴点P（0，3+），（0，3﹣）；
③当PB＝PC时，如图，
∵PB2＝PC2，
∴（3﹣y）2＝22+（2﹣y）2，
∴解得：y＝，
∴点P（0，），
综上所述：点P坐标为（0，3+），（0，3﹣），（0，1），（0，）．
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