2020-2021学年人教版北京市海淀区九年级数学上学期期末考试试卷

这是一份2020-2021学年人教版北京市海淀区九年级数学上学期期末考试试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则k＝（　　）
A．2 B．3 C．﹣6 D．6
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
3．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．1
4．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则AB为（　　）

A．9 B．6 C．3 D．
5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x2+x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+1＝0
6．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（　　）

A．π B．π C．π D．π
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
8．下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是（　　）
A．长度为线段
B．斜边为3的直角三角形
C．面积为4的菱形
D．半径为，圆心角为90°的扇形
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是　 　．
10．若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b的大小关系是：a　 　b（填“＞”、“＝”或“＜”）．
11．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为　 　（填“相交”、“相切”或“相离”）．

12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为　 　．
13．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数量
8
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.800
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
估计树苗移植成活的概率是　 　（结果保留小数点后一位）．
14．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝12m，则旗杆高度DE＝　 　m．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为　 　，CE的长为　 　．

16．已知双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）若x1+x2＝0，则y1+y2＝　 　；
（2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k　 　0，b　 　0（填“＞”，“＝”或“＜”）．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．解方程：x2﹣4x+3＝0．








18.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．




19.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．

如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：　　．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝　　cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝　　cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝　　，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．




20.文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：
混入“HB”铅笔数
0
1
2
盒数
6
m
n
（1）用等式写出m，n所满足的数量关系　　；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：
①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是　　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值．




21.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；
（2）判断点C是否在此函数图象上；
（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．



22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．




23.在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y1）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，点Q（m，y2）在一次函数y＝﹣x+4的图象上．
（1）若二次函数图象经过点（0，4），（4，4）．
①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；
②判断m＜0时，y1与y2的大小关系；
（2）若只有当m≥1时，满足y1•y2≤0，求此时二次函数的解析式．







24.已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是　　；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．






25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．

在平面直角坐标系xOy中：
（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．
①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点　　是△AOB关于点B的内联点；
②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；
（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．


























2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1． D 2． A 3． A 4． B 5． C 6． B 7． B 8．D．
二．填空题（共8小题）
9． y＝x2 10．＞ 11．相切 12． 2 13． 0.9
14．9 15． 45°， 16．＜，＞．
三．解答题
17．解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0，x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
18.（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
又∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5，
∴BC＝＝＝3，
由（1）得：△ABC∽△ACD，
∴＝，
即＝，
解得：CD＝．
19.解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝45cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝452+（r﹣15）2，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．
20.解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20，
∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14，
故答案为：m+n＝14；

（2）①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，
∴＝，
∴m＝5，n＝9．
21.解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数y＝中，得，
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
图象如图1所示，


（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A（1，2），
∴C（1×2，2×2），
即C（2，4），
由（1）知，反比例函数解析式为y＝，
当x＝2时，y＝＝4，
∴点C在反比例函数图象上；

（3）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B（4，2），
∴D（4×2，2×2），
即D（8，4），
由（2）知，C（2，4），
∴直线CD的解析式为y＝4，
∵点M的横坐标为m，则M（m，4），N（m，），
∴MN＝|4﹣|，
∵A（1，2），B（4，2），
∴AB＝3，
∵MN≥AB，
∴|4﹣|≥3，
∴m≥8或m≤，
即0＜m≤或m≥8．
22.（1）证明：连接OE，如图，
∵以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵E是AB中点，
∴OE垂直平分AB，
∴OA＝OB；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OE⊥AB，OC⊥AC，OE＝OC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAC＝∠OAB，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∴∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，
在Rt△OAC中，AC＝OC＝r，
在Rt△ACD中，（r）2+（2r）2＝（）2，解得r＝1，
即⊙O的半径为1．

23.解：（1）①∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，4），（4，4），
∴，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+4，
∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴图象的顶点坐标为（2，0）；
②画出函数的图像如图：

由图像可知，m＜0时，y1＞y2；
（2）由题意可知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和点（4，0），
把（1，0）和点（4，0）代入得，
解得，
∴此时二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+4．
24.（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝45°+45°＝90°，
∴AC＝CD＝CB，
∵点E恰好与点C重合，
∴AC＝DE，
故答案为：AC＝DE；
（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，
∴2AC＝AE+DE；
（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：
过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．


25.解：（1）①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图像可知，点O，点C是是△AOB关于点B的内联点．

故答案为：O，C．

②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，

当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，
观察图像可知，满足条件的N的值为1≤n≤8．

（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N．

∵E（4，2），
∴OH＝4，EH＝2，
∴OE＝＝2，
当OF⊥OE时，点O是△OEF关于点E的内联点，
∵∠EOF＝∠NOH＝90°，
∴∠FON＝∠EOH，
∵∠FNO＝∠OHE＝90°，
∴△FNO∽△EHO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FN＝，ON＝，
∴F（﹣，），
观察图像可知当﹣≤m≤0时，满足条件．
作点F关于点O的对称点F′（，﹣），
当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，
∵∠EF″O＝∠EHO＝90°，OE＝EO，EH＝OF″，
∴Rt△OHE≌△EF″O（HL），
∴∠EOH＝∠OEF″，
∴PE＝OP，s3PE＝OP＝t，
在Rt△PEH中，则有t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴OP＝，PH＝PF″＝，
可得F″（，﹣），
观察图像可知，当≤m≤．
综上所述，满足条件的m的值为﹣≤m≤0或≤m≤．