还剩17页未读，
继续阅读
2021-2022学年浙江省丽水市龙泉市初中发展共同体九年级（上）期中数学试卷 解析版
展开
这是一份2021-2022学年浙江省丽水市龙泉市初中发展共同体九年级（上）期中数学试卷 解析版，共20页。
2021-2022学年浙江省丽水市龙泉市初中发展共同体九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选.多选.错选，均不给分）
1．（3分）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
2．（3分）下面所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）
4．（3分）袋中装有10个黑球、5个红球，1个白球，它们除颜色外无差别，随机从袋子中摸出一球，则下列事件可能性最大的是（ ）
A．摸到黄球 B．摸到白球 C．摸到红球 D．摸到黑球
5．（3分）如右图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．110° C．100° D．80°
6．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知，点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+5图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线x＝2； ③当0＜x＜4时，y＞0；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点E在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间（包括这两点），顶点P是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）y＝x2的图象沿y轴向上平移3个单位，得到的函数表达式 ．
12．（4分）小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
13．（4分）已知圆弧的度数为80°，弧长为16π，则圆弧的半径为 ．
14．（4分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 ．
15．（4分）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝2，AB＝2+4，∠A＝45°，∠B＝30°，则BC的长为 ．
16．（4分）已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，且﹣2≤x．
（1）当m＝1时，函数y有最大值 ．
（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的值为 ．
三.解答题（本题有8小题，共66分，每题要求写出必要的求解步骤）
17．（6分）已知二次函数y＝x2+4x﹣2．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
18．（6分）如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
19．（6分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB＝CD，求证：AC＝BD．
20．（8分）为做好新型肺炎疫情防控，某社区20名志愿者随机平均分配在3个院落门甲、乙、丙处值守，并对进出人员进行测温度、劝导佩戴口罩等服务．
（1）志愿者小明被分配到甲处服务是 ；
A．不可能事件
B．随机事件
C．必然事件
D．随机事件或必然事件
（2）请用列表或树状图的方法，求出志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的概率．
21．（8分）某网店购进一批运动装，刚上市时每套盈利100元，平均每天可销售20套．销售一段时间后开始滞销，为扩大销售量，尽快减少库存，商家进行降价处理，一套运动服每降价1元，每天可多卖2套．
（1）降价2元，可卖出 套；
（2）每套运动装降价多少元时，网店可获利4800元？
（3）每套运动装降价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
23．（10分）同学们，我们所认识的抛物线还可以这样定义：把平面内到一个定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．其中，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．例如函数的焦点F为（0，2），准线方程l为y＝﹣2．
（1）若点P（4，n）在抛物线上，请验证点P到焦点F和准线l的距离相等．
（2）已知函数，直接写出该函数的焦点坐标和准线方程．
（3）在（2）的条件下，过焦点F的任意直线交抛物线于点M，N，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为P，Q，判断△FPQ的形状并说明理由．
24．（12分）如图所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．
（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段） ．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．
（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB•BC的值．
2021-2022学年浙江省丽水市龙泉市初中发展共同体九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选.多选.错选，均不给分）
1．（3分）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
2．（3分）下面所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、有五个角，但有旋转，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
C、即是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：C．
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）
【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：A．
4．（3分）袋中装有10个黑球、5个红球，1个白球，它们除颜色外无差别，随机从袋子中摸出一球，则下列事件可能性最大的是（ ）
A．摸到黄球 B．摸到白球 C．摸到红球 D．摸到黑球
【分析】根据概率公式求出各自的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：摸出黑球的概率是＝＝，
摸出红球的概率是＝，
摸出白球的概率是＝，
则摸到黑球的可能性最大．
故选：D．
5．（3分）如右图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．110° C．100° D．80°
【分析】根据圆内接四边形的性质列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝180°﹣80°＝100°，
故选：C．
6．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4××1×2＝4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：C．
7．（3分）已知，点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+5图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+5图象上，
∴点A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（1，y1），
∵﹣1＜0＜1＜2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线x＝2； ③当0＜x＜4时，y＞0；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据表格数据求出对称轴和顶点坐标，即可判断①②；根据二次函数的性质即可判断③．
【解答】解：∵x＝0和x＝4时的函数值相同，都是0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
∴抛物线的顶点为（2，﹣4），
∴y＝﹣4是函数的最小值，
∴抛物线的开口向上，所以①②正确；
∴当0＜x＜4时，y＜0，故③错误；
故选：C．
9．（3分）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，进而得出∠BOC＝30°，即可得出n的值．
【解答】解：连接AO，BO，CO．
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，
∴∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故选：C．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点E在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间（包括这两点），顶点P是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况分别求得a的取值范围，再取两者的公共部分即可：当顶点P与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3；当顶点P与B点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2．
【解答】解：∵顶点P是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，
∴当顶点P与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，
∴
解得﹣≤a≤﹣；
当顶点P与B点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，
∴
解得﹣≤a≤﹣
∵顶点可以在矩形内部，
∴﹣≤a≤﹣．
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）y＝x2的图象沿y轴向上平移3个单位，得到的函数表达式 y＝x2+3 ．
【分析】根据函数图象平移变换“左加右减，上加下减”的原则，可得答案．
【解答】解：将y＝x2的图象沿y轴向上平移3个单位，可得二次函数y＝x2+3的图象，
故答案是：y＝x2+3．
12．（4分）小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．
【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为．
故答案为：．
13．（4分）已知圆弧的度数为80°，弧长为16π，则圆弧的半径为 36 ．
【分析】设圆弧的半径为r，先求出圆弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式得出＝16π，再求出r即可．
【解答】解：设圆弧的半径为r，
∵圆弧的度数为80°，
∴圆弧所对的圆心角的度数是80°，
∵弧长为16π，
∴＝16π，
解得：r＝36，
即圆弧的半径是36，
故答案为：36．
14．（4分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，
∴同时转动两个转盘可配成紫色的概率为，
故答案为：．
15．（4分）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝2，AB＝2+4，∠A＝45°，∠B＝30°，则BC的长为 14 ．
【分析】如图，过点O作OH⊥AB于点H，交CB于点J，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．解直角三角形求出BK，可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，交CB于点J，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．
在Rt△AOH中，∠AHO＝90°，∠A＝45°，OA＝2，
∴AH＝OH＝2，
∵BH＝AB﹣AH＝2+4﹣2＝4，
在Rt△BHJ中，∠HBJ＝30°，
∴HJ＝BH•tan30°＝4，
∴OJ＝JH﹣OH＝2，
在Rt△OJK中，OK＝OJ•coS30°＝，
在Rt△OBH中，OB＝＝＝2，
在Rt△OKB中，BK＝＝＝7，
∵OK⊥BC，
∴CK＝BK＝7，
∴BC＝14．
16．（4分）已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，且﹣2≤x．
（1）当m＝1时，函数y有最大值 2 ．
（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的值为 ﹣或 ．
【分析】（1）根据y的最大值为m2+1，结合对称轴和﹣2≤x即可求解．
（2）分m≤﹣2、m≥和﹣2＜m＜三种情况，根据y的最大值为4，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴函数有最大值m2+1，
∵m＝1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵﹣2≤1，
∴当m＝1时，函数y有最大值为：m2+1＝2，
故答案为：2；
（2）①若m≤﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝﹣；
m＝﹣＞﹣2（舍去）；
②若m≥，当x＝时，y＝﹣（﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝；
③若﹣2＜m＜，当x＝m时，y＝m2+1＝4，
即：m2+1＝4，
解得：m＝或m＝﹣，
∵﹣2≤m≤，
∴m＝﹣，
综上，当函数值y恒不大于4时，实数m的值为﹣或，
故答案为：﹣或．
三.解答题（本题有8小题，共66分，每题要求写出必要的求解步骤）
17．（6分）已知二次函数y＝x2+4x﹣2．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解答本题；
（2）根据函数解析式可以求得与y轴的交点，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵二次函数解析式为y＝x2+4x﹣2＝（x+2）2﹣6，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2；
（2）∵二次函数解析式为y＝x2+4x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．
18．（6分）如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可；
（2）利用垂径定理解决问题即可．
【解答】解：（1）满足条件的点D，如图所示；
（2）满足条件的点
19．（6分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB＝CD，求证：AC＝BD．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由AB＝CD得到＝，则＝，所以AC＝BD．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AC＝BD．
20．（8分）为做好新型肺炎疫情防控，某社区20名志愿者随机平均分配在3个院落门甲、乙、丙处值守，并对进出人员进行测温度、劝导佩戴口罩等服务．
（1）志愿者小明被分配到甲处服务是 B ；
A．不可能事件
B．随机事件
C．必然事件
D．随机事件或必然事件
（2）请用列表或树状图的方法，求出志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的概率．
【分析】（1）由随机事件的定义即可求解；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）志愿者小明被分配到甲处服务是随机事件，
故答案为：B；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的结果有3种，
∴志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的概率为＝．
21．（8分）某网店购进一批运动装，刚上市时每套盈利100元，平均每天可销售20套．销售一段时间后开始滞销，为扩大销售量，尽快减少库存，商家进行降价处理，一套运动服每降价1元，每天可多卖2套．
（1）降价2元，可卖出 24 套；
（2）每套运动装降价多少元时，网店可获利4800元？
（3）每套运动装降价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题；
（3）运用函数的性质即可解决．
【解答】解：（1）降价2元，可卖出20+2×2＝24（套），
故答案为：24；
（2）设每套书降价x元时，所获利润为y元，
由题意得：（100﹣x）（20+2x）＝4800，
解得x1＝20，x2＝70，
∵为扩大销售量，尽快减少库存，
∴x＝70，
答：每套运动装降价多少元时，网店可获利4800元；
（3）设每套书降价x元时，所获利润为y元，
根据题意得，y＝（100﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050；
则当x＝45时，y取得最大值6050；
即当将价45元时，该书店可获得最大利润6050元．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△COE中，OC＝＝4，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝＝π．
23．（10分）同学们，我们所认识的抛物线还可以这样定义：把平面内到一个定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．其中，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．例如函数的焦点F为（0，2），准线方程l为y＝﹣2．
（1）若点P（4，n）在抛物线上，请验证点P到焦点F和准线l的距离相等．
（2）已知函数，直接写出该函数的焦点坐标和准线方程．
（3）在（2）的条件下，过焦点F的任意直线交抛物线于点M，N，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为P，Q，判断△FPQ的形状并说明理由．
【分析】（1）由定义可求F（0，2），准线y＝﹣2，即可证明；
（2）由＝（x﹣）2+，可求F（，），准线方程y＝﹣；
（3）根据抛物线的定义可知，FM＝MP，NQ＝CN，求出∠MFP＝∠MPF＝，∠NFQ＝∠NPQ＝，再由MP∥NP，∠MFP+∠NFQ＝+＝90°，即可判断△FPQ是直角三角形．
【解答】解：∵点P（4，n）在抛物线上，
∴n＝2，
∴P（4，2），
∵F（0，2），
∴PF＝4，
∵y＝﹣2，
∴P点到准线的距离是4，
∴点P到焦点F和准线l的距离相等；
（2）∵＝（x﹣）2+，
∴抛物线向右平移了个单位，向上平移个单位，
∴F（，），准线方程y＝﹣；
（3）根据抛物线的定义可知，FM＝MP，NQ＝CN，
∴∠MFP＝∠MPF＝，
∠NFQ＝∠NPQ＝，
∵MP⊥PQ，NP⊥PQ，
∴MP∥NP，
∴∠PMF+∠QNF＝180°，
∴∠MFP+∠NFQ＝+＝90°，
∴△FPQ是直角三角形．
24．（12分）如图所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．
（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段） ∠DAC ．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．
（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB•BC的值．
【分析】（1）由D是的中点，得AD＝CD，即可得出∠DAC＝∠DBA；
（2）在线段EA上截取EP＝BE，连接CD，DP，通过SAS证明△BCD≌△PAD，得BC＝AP，即可证明结论；
（3）由DE⊥AB，得AD2＝AE2+DE2，BD2＝BE2+DE2，两式相减的AD2﹣BD2＝（AE+BE）（AE﹣BE），从而解决问题．
【解答】（1）解：∵D是的中点，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DBA，
故答案为：∠DAC；
（2）解：AE＝BE+BC，理由如下：
如图，在线段EA上截取EP＝BE，连接CD，DP，
∵BE＝EP，DE⊥AB，
∴DE是BP的中垂线，
∴BD＝DP，∠DBP＝∠DPB，
∵点D是的中点，
∴，CD＝AD，
∴∠DBP＝∠DAC，
∵∠DPB＝∠PDA+∠DAP，∠DAC＝∠BAC+∠DAP，
∴∠PDA＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠PDA，
∴△BCD≌△PAD（SAS），
∴BC＝AP，
∴BC+BE＝AP+EP，
即AE＝BE+BC；
（3）解：由（2）知AP＝BC，
∵DE⊥AB，
∴AD2＝AE2+DE2，BD2＝BE2+DE2，
∴AD2﹣BD2＝（AE+BE）（AE﹣BE）
＝AB•AP
＝AB•BC
＝72﹣32
＝40．
∴AB•BC的值为40．
2021-2022学年浙江省丽水市龙泉市初中发展共同体九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选.多选.错选，均不给分）
1．（3分）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
2．（3分）下面所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）
4．（3分）袋中装有10个黑球、5个红球，1个白球，它们除颜色外无差别，随机从袋子中摸出一球，则下列事件可能性最大的是（ ）
A．摸到黄球 B．摸到白球 C．摸到红球 D．摸到黑球
5．（3分）如右图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．110° C．100° D．80°
6．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知，点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+5图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线x＝2； ③当0＜x＜4时，y＞0；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点E在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间（包括这两点），顶点P是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）y＝x2的图象沿y轴向上平移3个单位，得到的函数表达式 ．
12．（4分）小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
13．（4分）已知圆弧的度数为80°，弧长为16π，则圆弧的半径为 ．
14．（4分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 ．
15．（4分）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝2，AB＝2+4，∠A＝45°，∠B＝30°，则BC的长为 ．
16．（4分）已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，且﹣2≤x．
（1）当m＝1时，函数y有最大值 ．
（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的值为 ．
三.解答题（本题有8小题，共66分，每题要求写出必要的求解步骤）
17．（6分）已知二次函数y＝x2+4x﹣2．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
18．（6分）如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
19．（6分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB＝CD，求证：AC＝BD．
20．（8分）为做好新型肺炎疫情防控，某社区20名志愿者随机平均分配在3个院落门甲、乙、丙处值守，并对进出人员进行测温度、劝导佩戴口罩等服务．
（1）志愿者小明被分配到甲处服务是 ；
A．不可能事件
B．随机事件
C．必然事件
D．随机事件或必然事件
（2）请用列表或树状图的方法，求出志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的概率．
21．（8分）某网店购进一批运动装，刚上市时每套盈利100元，平均每天可销售20套．销售一段时间后开始滞销，为扩大销售量，尽快减少库存，商家进行降价处理，一套运动服每降价1元，每天可多卖2套．
（1）降价2元，可卖出 套；
（2）每套运动装降价多少元时，网店可获利4800元？
（3）每套运动装降价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
23．（10分）同学们，我们所认识的抛物线还可以这样定义：把平面内到一个定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．其中，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．例如函数的焦点F为（0，2），准线方程l为y＝﹣2．
（1）若点P（4，n）在抛物线上，请验证点P到焦点F和准线l的距离相等．
（2）已知函数，直接写出该函数的焦点坐标和准线方程．
（3）在（2）的条件下，过焦点F的任意直线交抛物线于点M，N，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为P，Q，判断△FPQ的形状并说明理由．
24．（12分）如图所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．
（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段） ．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．
（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB•BC的值．
2021-2022学年浙江省丽水市龙泉市初中发展共同体九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选.多选.错选，均不给分）
1．（3分）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
2．（3分）下面所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、有五个角，但有旋转，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
C、即是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：C．
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）
【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：A．
4．（3分）袋中装有10个黑球、5个红球，1个白球，它们除颜色外无差别，随机从袋子中摸出一球，则下列事件可能性最大的是（ ）
A．摸到黄球 B．摸到白球 C．摸到红球 D．摸到黑球
【分析】根据概率公式求出各自的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：摸出黑球的概率是＝＝，
摸出红球的概率是＝，
摸出白球的概率是＝，
则摸到黑球的可能性最大．
故选：D．
5．（3分）如右图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．110° C．100° D．80°
【分析】根据圆内接四边形的性质列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝180°﹣80°＝100°，
故选：C．
6．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4××1×2＝4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：C．
7．（3分）已知，点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+5图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+5图象上，
∴点A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（1，y1），
∵﹣1＜0＜1＜2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线x＝2； ③当0＜x＜4时，y＞0；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据表格数据求出对称轴和顶点坐标，即可判断①②；根据二次函数的性质即可判断③．
【解答】解：∵x＝0和x＝4时的函数值相同，都是0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
∴抛物线的顶点为（2，﹣4），
∴y＝﹣4是函数的最小值，
∴抛物线的开口向上，所以①②正确；
∴当0＜x＜4时，y＜0，故③错误；
故选：C．
9．（3分）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，进而得出∠BOC＝30°，即可得出n的值．
【解答】解：连接AO，BO，CO．
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，
∴∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故选：C．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点E在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间（包括这两点），顶点P是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况分别求得a的取值范围，再取两者的公共部分即可：当顶点P与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3；当顶点P与B点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2．
【解答】解：∵顶点P是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，
∴当顶点P与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，
∴
解得﹣≤a≤﹣；
当顶点P与B点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，
∴
解得﹣≤a≤﹣
∵顶点可以在矩形内部，
∴﹣≤a≤﹣．
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）y＝x2的图象沿y轴向上平移3个单位，得到的函数表达式 y＝x2+3 ．
【分析】根据函数图象平移变换“左加右减，上加下减”的原则，可得答案．
【解答】解：将y＝x2的图象沿y轴向上平移3个单位，可得二次函数y＝x2+3的图象，
故答案是：y＝x2+3．
12．（4分）小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．
【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为．
故答案为：．
13．（4分）已知圆弧的度数为80°，弧长为16π，则圆弧的半径为 36 ．
【分析】设圆弧的半径为r，先求出圆弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式得出＝16π，再求出r即可．
【解答】解：设圆弧的半径为r，
∵圆弧的度数为80°，
∴圆弧所对的圆心角的度数是80°，
∵弧长为16π，
∴＝16π，
解得：r＝36，
即圆弧的半径是36，
故答案为：36．
14．（4分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，
∴同时转动两个转盘可配成紫色的概率为，
故答案为：．
15．（4分）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝2，AB＝2+4，∠A＝45°，∠B＝30°，则BC的长为 14 ．
【分析】如图，过点O作OH⊥AB于点H，交CB于点J，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．解直角三角形求出BK，可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，交CB于点J，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．
在Rt△AOH中，∠AHO＝90°，∠A＝45°，OA＝2，
∴AH＝OH＝2，
∵BH＝AB﹣AH＝2+4﹣2＝4，
在Rt△BHJ中，∠HBJ＝30°，
∴HJ＝BH•tan30°＝4，
∴OJ＝JH﹣OH＝2，
在Rt△OJK中，OK＝OJ•coS30°＝，
在Rt△OBH中，OB＝＝＝2，
在Rt△OKB中，BK＝＝＝7，
∵OK⊥BC，
∴CK＝BK＝7，
∴BC＝14．
16．（4分）已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，且﹣2≤x．
（1）当m＝1时，函数y有最大值 2 ．
（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的值为 ﹣或 ．
【分析】（1）根据y的最大值为m2+1，结合对称轴和﹣2≤x即可求解．
（2）分m≤﹣2、m≥和﹣2＜m＜三种情况，根据y的最大值为4，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴函数有最大值m2+1，
∵m＝1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵﹣2≤1，
∴当m＝1时，函数y有最大值为：m2+1＝2，
故答案为：2；
（2）①若m≤﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝﹣；
m＝﹣＞﹣2（舍去）；
②若m≥，当x＝时，y＝﹣（﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝；
③若﹣2＜m＜，当x＝m时，y＝m2+1＝4，
即：m2+1＝4，
解得：m＝或m＝﹣，
∵﹣2≤m≤，
∴m＝﹣，
综上，当函数值y恒不大于4时，实数m的值为﹣或，
故答案为：﹣或．
三.解答题（本题有8小题，共66分，每题要求写出必要的求解步骤）
17．（6分）已知二次函数y＝x2+4x﹣2．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解答本题；
（2）根据函数解析式可以求得与y轴的交点，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵二次函数解析式为y＝x2+4x﹣2＝（x+2）2﹣6，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2；
（2）∵二次函数解析式为y＝x2+4x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．
18．（6分）如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可；
（2）利用垂径定理解决问题即可．
【解答】解：（1）满足条件的点D，如图所示；
（2）满足条件的点
19．（6分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB＝CD，求证：AC＝BD．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由AB＝CD得到＝，则＝，所以AC＝BD．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AC＝BD．
20．（8分）为做好新型肺炎疫情防控，某社区20名志愿者随机平均分配在3个院落门甲、乙、丙处值守，并对进出人员进行测温度、劝导佩戴口罩等服务．
（1）志愿者小明被分配到甲处服务是 B ；
A．不可能事件
B．随机事件
C．必然事件
D．随机事件或必然事件
（2）请用列表或树状图的方法，求出志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的概率．
【分析】（1）由随机事件的定义即可求解；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）志愿者小明被分配到甲处服务是随机事件，
故答案为：B；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的结果有3种，
∴志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的概率为＝．
21．（8分）某网店购进一批运动装，刚上市时每套盈利100元，平均每天可销售20套．销售一段时间后开始滞销，为扩大销售量，尽快减少库存，商家进行降价处理，一套运动服每降价1元，每天可多卖2套．
（1）降价2元，可卖出 24 套；
（2）每套运动装降价多少元时，网店可获利4800元？
（3）每套运动装降价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题；
（3）运用函数的性质即可解决．
【解答】解：（1）降价2元，可卖出20+2×2＝24（套），
故答案为：24；
（2）设每套书降价x元时，所获利润为y元，
由题意得：（100﹣x）（20+2x）＝4800，
解得x1＝20，x2＝70，
∵为扩大销售量，尽快减少库存，
∴x＝70，
答：每套运动装降价多少元时，网店可获利4800元；
（3）设每套书降价x元时，所获利润为y元，
根据题意得，y＝（100﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050；
则当x＝45时，y取得最大值6050；
即当将价45元时，该书店可获得最大利润6050元．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△COE中，OC＝＝4，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝＝π．
23．（10分）同学们，我们所认识的抛物线还可以这样定义：把平面内到一个定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．其中，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．例如函数的焦点F为（0，2），准线方程l为y＝﹣2．
（1）若点P（4，n）在抛物线上，请验证点P到焦点F和准线l的距离相等．
（2）已知函数，直接写出该函数的焦点坐标和准线方程．
（3）在（2）的条件下，过焦点F的任意直线交抛物线于点M，N，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为P，Q，判断△FPQ的形状并说明理由．
【分析】（1）由定义可求F（0，2），准线y＝﹣2，即可证明；
（2）由＝（x﹣）2+，可求F（，），准线方程y＝﹣；
（3）根据抛物线的定义可知，FM＝MP，NQ＝CN，求出∠MFP＝∠MPF＝，∠NFQ＝∠NPQ＝，再由MP∥NP，∠MFP+∠NFQ＝+＝90°，即可判断△FPQ是直角三角形．
【解答】解：∵点P（4，n）在抛物线上，
∴n＝2，
∴P（4，2），
∵F（0，2），
∴PF＝4，
∵y＝﹣2，
∴P点到准线的距离是4，
∴点P到焦点F和准线l的距离相等；
（2）∵＝（x﹣）2+，
∴抛物线向右平移了个单位，向上平移个单位，
∴F（，），准线方程y＝﹣；
（3）根据抛物线的定义可知，FM＝MP，NQ＝CN，
∴∠MFP＝∠MPF＝，
∠NFQ＝∠NPQ＝，
∵MP⊥PQ，NP⊥PQ，
∴MP∥NP，
∴∠PMF+∠QNF＝180°，
∴∠MFP+∠NFQ＝+＝90°，
∴△FPQ是直角三角形．
24．（12分）如图所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．
（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段） ∠DAC ．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．
（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB•BC的值．
【分析】（1）由D是的中点，得AD＝CD，即可得出∠DAC＝∠DBA；
（2）在线段EA上截取EP＝BE，连接CD，DP，通过SAS证明△BCD≌△PAD，得BC＝AP，即可证明结论；
（3）由DE⊥AB，得AD2＝AE2+DE2，BD2＝BE2+DE2，两式相减的AD2﹣BD2＝（AE+BE）（AE﹣BE），从而解决问题．
【解答】（1）解：∵D是的中点，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DBA，
故答案为：∠DAC；
（2）解：AE＝BE+BC，理由如下：
如图，在线段EA上截取EP＝BE，连接CD，DP，
∵BE＝EP，DE⊥AB，
∴DE是BP的中垂线，
∴BD＝DP，∠DBP＝∠DPB，
∵点D是的中点，
∴，CD＝AD，
∴∠DBP＝∠DAC，
∵∠DPB＝∠PDA+∠DAP，∠DAC＝∠BAC+∠DAP，
∴∠PDA＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠PDA，
∴△BCD≌△PAD（SAS），
∴BC＝AP，
∴BC+BE＝AP+EP，
即AE＝BE+BC；
（3）解：由（2）知AP＝BC，
∵DE⊥AB，
∴AD2＝AE2+DE2，BD2＝BE2+DE2，
∴AD2﹣BD2＝（AE+BE）（AE﹣BE）
＝AB•AP
＝AB•BC
＝72﹣32
＝40．
∴AB•BC的值为40．
相关试卷
2023-2024学年浙江省初中名校发展共同体九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）： 这是一份2023-2024学年浙江省初中名校发展共同体九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省丽水市龙泉市七年级（上）期中数学试卷(含解析)： 这是一份2023-2024学年浙江省丽水市龙泉市七年级（上）期中数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省丽水市龙泉市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）： 这是一份浙江省丽水市龙泉市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
