北京市海淀区2021---2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

        2021---2022学年第一学期

初三数学期中考试试卷

（试卷满分100分     考试时长120分钟）

一、 选择题（本题共16分，每小题2分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1．下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（      ）

A                  B                 C                 D

2. 二次函数的最大值是（       ）

A．          B．              C．1             D．2

3. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（      ）

A．       B．且       C．且      D

4. 如图, 将△ABC绕点A逆时针旋转100°, 得到△ADE．若点D

在线段BC的延长线上, 则的大小为（      ）

A. 30°  B. 40°   C. 50°  D. 60°

5.下表是二次函数的几组对应值：

根据表中数据判断，方程的一个解x的范围是（      ）

A.  B.
C.  D.

6. 如图, 在5×5正方形网格中, 一条圆弧经过A、B、C三点,

那么弧AC所对的圆心角的大小是（      ）

A. 45° B. 60°       C. 80°      D. 90°

7. 如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是（     ）

 A．　    　

 B．当时，y随x的增大而增大

 C．        

 D．是一元二次方程的一个根

8. 小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿．若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（     ）．

A．14           B．11         C．6           D．3

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.  若x=2是一元二次方程x2-mx-2=0的一个根，则m=_____；方程的另一根是_______.

10. 请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为(0，-3)的抛物线的解析式____________.

11.如图，平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A(0，4)，B(3，1)，当 y1≤y2时，x的取值范围是           ．

12. 二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示, 那么一元二次方程ax2+bx+c=m(a≠0,m为常数且m ≤4)的两根之和为            

13. 如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB＇C＇，连接C＇C. 若C＇C∥AB，则∠BA B＇=           °．

      11题图                  12题图                   13题图

14. 如图，若是⊙的直径，是⊙的弦，

°，则的度数为__________°

15. 如图，⊙的直径垂直于弦，垂足为.若°，  

，则的长为          .

16. 如图, 正方形ABCD的边AB在x轴上, A（4, 0）, B（2, 0）,

定义: 若某个抛物线上存在一点P, 使得点P到

正方形ABCD四个顶点的距离相等, 则称这个抛物线

为正方形ABCD的“友好抛物线”．

若抛物线y=2x2nxn21是正方形ABCD的

“友好抛物线”,则n的值为__________.

三、解答题（本题共68分,17题每小题4分，18、21、22、23、24、25、28题每题5分，19题4分，20、26、27题各7分）

17.解方程：（1）x2-3x+1=0              （2）（x+3）(x-1)=5

18. 已知关于x的一元二次方程有实数根．

(1) 求a的取值范围；(2) 当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解.

19．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．

                   图1                             图2

如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．

作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是：               ． 

经测量，AB=90cm，CD=15cm，则AD=       cm；

用含r的代数式表示OD，OD=       cm．

在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：                 ，解得r=75．

通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．

20.对于抛物线.

（1）它与x轴交点的坐标为_____，与y轴交点的坐标为     ，顶点坐标为        ；

（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；

（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程

（t为实数）在0＜x＜4的范围内有解，

则t的取值范围是         ．

21. 如图， D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．

（1）求证：∠AEB=∠ADC；

（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．

22. 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面积为S平方米．

（1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的

取值范围；

（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？ 最大面积为多少平方米?

23.如图，点O ，B的坐标分别是（0，0）（3，0），将△OAB绕点O逆转90°，

得到△OA1B1

（1）画出平面直角坐标系和三角形OA1B1
（2）直接写出点A1的坐标；
（3）求旋转过程中点B走过的路径长．

24.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．

（1）求AC的长；

（2）求∠ADC的度数．

25. 如图，Rt中，，AC=BC，AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A

点运动到B点. DEAB，垂足为E.设AE长为xcm，BD长为ycm（当D与A重合时，y=4；

当D与B重合时y=0）.

小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小云的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

补全上面表格，要求结果保留一位小数.则__________.

（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点， 画出该函数的图象．

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为__________cm .

26.在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B两点，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．

（1）求点C的坐标； （2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

27.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．

（1）如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；

  （2）在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：∠H=90°.

（3）在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在

同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明.

            图1                                  图2

28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：

若y′，则称点Q为点P的“可控变点”

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的”可控变点”为点

（﹣1，﹣3）．

（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为　            　；

（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标；

（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，直接写出实数a的值．

草   稿   纸

2021---2022学年度第一学期

初三数学期中考试答案

一、选择题（每小题2分，共16分）

二、填空（每小题2分，共16分）

9.1，-1        10.（答案不唯一）        11.      12。-2        13. 15       14. 32°      15. 6      16.  6或-3

17.（1） ………2分

…………4分    

（2）……..1分

……..2分

…….4分

18.解：（1）…….1分

          …….2分

           …….3分

（2）取a=4，……4分

（x-1）(x-2)=0

         X1=1    x2=2   …..5分

19.依据：垂直于弦的直径平分弦

        AD=45    OD=r-15    

20. 解：（1）它与x轴交点的坐标为（3，0）（-1，0），与y轴交点的坐标为（0，-3），顶点（1，-4）； ………………………3分

（2）函数图象  …………5分

（3）t的取值范围是-4．………………7分

21. （1）证明：略

    （2）45°

22. 解：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，

            ∴ CD=AB=x（米）．

    ∵ 矩形除AD边外的三边总长为36米，

    ∴ （米）．…………………………………1分

    ∴ ． …………………2分

    自变量的取值范围是． ……………………3分

    （说明：由可得．）

（2）∵，且在的范围内 ，∴ 当时，S取最大值．

即AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米．……………5分

23.解：图略

 （2）A（-2，4）

  （3）1.5Π

24. 解：（1）AC=2………………………………2分

（2）150°……………………………………………..3分

25.  （1）2.9                                   ……….2分

（2）

              ………….4分

（3）2.3                                          …………….5分

26.解： （1）C（5，4）；……..1分

（2）抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1；……2分

（3）∵抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点

A（﹣1，0）且对称轴x=1，

由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），

①a＞0时，如图1，

将x=0代入抛物线得y=﹣3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，    

∴﹣3a＜4，a＞﹣，

将x=5代入抛物线得y=12a，∴12a≥4，∴a≥；

②a＜0时，如图2，将x=0代入抛物线得y=﹣3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；

③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4=a﹣2a﹣3a，解得a=﹣1

综上，a≥或a＜﹣或a=﹣1．…..6分

．

27. 解：补全图形如图1：
……………………1分
证明：由旋转性质可得，，
，
，

≌，…………………………2分
 

……………………………..3分
证明：连接BD，如图2，
 

线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，
，，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
≌，，，
在中，，
，
在中，，
又，，．……………7分

28. 解（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）…….1分

（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数

y′＝的图象上，

∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7…….2分

∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3，

当x2﹣16＝7时，解得x＝﹣

故答案为：3或﹣……..4分

（3）由题意得∵﹣16≤y′≤16，

∴﹣16＝﹣x2+16

∴x＝4

观察图象可知，实数a＝4．……5分