2021-2022学年天津市津南区北部学区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年天津市津南区北部学区九年级（上）期中数学试卷，共19页。
2021-2022学年天津市津南区北部学区九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）将方程5x2﹣1＝4x化成一元二次方程的一般式，则一次项系数是（　　）
A．5 B．4 C．﹣4 D．﹣1
2．（3分）一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，配方后的方程是（　　）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝2 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣1）2＝﹣7
4．（3分）若方程3x2+7x﹣9＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1x2等于（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
5．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
6．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，∠ABC＝68°，则∠A的度数为（　　）

A．112° B．68° C．65° D．52°
8．（3分）把抛物线向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°
10．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．（3分）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1 与y2的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）方程x2+x＝0的根是　 　．
14．（3分）已知2是方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是 　 　．
15．（3分）抛物线y＝x2+3x+2的对称轴是直线　 　．
16．（3分）小强用一根10m长的铁丝围成了一个面积为6m2的矩形，则这个矩形较大边的长是 　 　m．
17．（3分）如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8m，在两侧距地面3.5m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 　 　．（建筑物厚度忽略不计）

18．（3分）如图，抛物线y＝ax2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．
（1）a的值为 　 　；
（2）点F的坐标是 　 　．

三．解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（8分）解下列方程．
（1）x2+10x﹣2＝0（配方法）．
（2）3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．
20．（8分）用因式分解法解方程．
（1）x2+4x﹣21＝0．
（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．
21．已知二次函数．
（1）填写表中空格处的数值：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…

…

　 　
　 　
﹣2
﹣
0
　 　
…
（2）画出这个函数的图象．

22．如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB＝12，CD＝2．求⊙O半径的长．

23．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．

24．抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，3），（2，6）两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求这条抛物线的顶点坐标；
（3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式．
25．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每周可卖出300件．如果每件商品的售价每降价1元，每周可多卖20件（每件售价不能低于40元）．设每件商品的售价下降x元，每周的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大的周利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是5280元？
26．已知抛物线y＝﹣x2﹣（m﹣1）x﹣m（m是常数）与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），（x1＜x2），与y轴交于点C，顶点为P．
（1）当抛物线的对称轴为直线x＝1时，
①求抛物线顶点P的坐标；
②求△ABC的面积；
（2）当点A、B位于点（1，0）两侧时，
①求点A的坐标；
②若，函数值满足y随x的增大而减小，求m的取值范围．

2021-2022学年天津市津南区北部学区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）将方程5x2﹣1＝4x化成一元二次方程的一般式，则一次项系数是（　　）
A．5 B．4 C．﹣4 D．﹣1
【分析】先转化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
【解答】解：5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
所以一次项系数是﹣4，
故选：C．
2．（3分）一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：Δ＝12﹣4×1×6＝﹣23＜0，
所以方程没有实数根．
故选：D．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，配方后的方程是（　　）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝2 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣1）2＝﹣7
【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2﹣8x+2＝0，
∴x2﹣8x＝﹣2，
∴x2﹣8x+16＝﹣2+16，即（x﹣4）2＝14，
故选：A．
4．（3分）若方程3x2+7x﹣9＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1x2等于（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得，x1x2＝＝﹣3．
故选：C．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≤2且m≠1．
故选：D．
6．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【分析】利用二次函数的顶点式直接得出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：C．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，∠ABC＝68°，则∠A的度数为（　　）

A．112° B．68° C．65° D．52°
【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由邻补角的定义，可证得∠BAD＝∠DCE．继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE＝65°．
故选：C．
8．（3分）把抛物线向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象平移规律，可得答案．
【解答】解：抛物线向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的解析式是+2，即．
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．
【解答】解：∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD＝∠C+∠A；
∵∠A＝30°，∠APD＝70°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝40°；
∴∠B＝∠C＝40°；
故选：C．
10．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛列出方程即可．
【解答】解：设应邀请x个队参加比赛，则列方程为x（x﹣1）＝21，
解这个方程，得x1＝7，x2＝﹣6（舍去）．
即x的值为7．
故选：A．
11．（3分）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．
故选：D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1 与y2的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1 与y2的大小．
【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，
∴y1＜y2．
故选：B．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）方程x2+x＝0的根是　x1＝0，x2＝﹣1　．
【分析】方程左边分解得到x（x+1）＝0，原方程转化为x＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
故答案为x1＝0，x2＝﹣1．
14．（3分）已知2是方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是 　4　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵2是方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，
∴22﹣4×2+m＝0，
∴m＝4．
故答案是：4．
15．（3分）抛物线y＝x2+3x+2的对称轴是直线　x＝﹣　．
【分析】把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴．
【解答】解：y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，
故对称轴是直线x＝﹣，
故答案为x＝﹣．
16．（3分）小强用一根10m长的铁丝围成了一个面积为6m2的矩形，则这个矩形较大边的长是 　3　m．
【分析】设这个矩形较大边的长是xm，则较小的边是（5﹣x）m，利用矩形的面积公式列出方程并解答．
【解答】解：设这个矩形较大边的长是xm，则较小的边是（5﹣x）m，
根据题意，得x（5﹣x）＝6．
解得x1＝2（舍去），x2＝3．
所以，这个矩形较大边的长是3m．
故答案是：3．
17．（3分）如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8m，在两侧距地面3.5m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 　y＝﹣x2+8　．（建筑物厚度忽略不计）

【分析】根据建立的坐标系，设出函数解析式，把（4，0）和（3，3.5）代入抛物线，用待定系数法求函数解析式即可．
【解答】解：根据题意，抛物线过（﹣4，0）、（4，0）、（﹣3，3.5）、（3、3.5）四点，
∵对称轴是y轴，
∴b＝0，
设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把（4，0）和（3，3.5）代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+8，
故答案为：y＝﹣x2+8．
18．（3分）如图，抛物线y＝ax2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．
（1）a的值为 　　；
（2）点F的坐标是 　（3，1+）　．

【分析】（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣x﹣求解．
（2）由点A坐标可得点D的纵坐标为3，将y＝3代入可得点D横坐标，然后由CD＝AF求解．
【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣x﹣得0＝9a﹣3﹣，
解得a＝．
故答案为：．
（2）把y＝3代入y＝x2﹣x﹣得3＝x2﹣x﹣，
解得x＝1+或x＝1﹣（舍）．
∴点D坐标为（1+，3）．
∴CD＝AF＝1+，
∴点F坐标为（3，1+）．
故答案为：（3，1+）．
三．解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（8分）解下列方程．
（1）x2+10x﹣2＝0（配方法）．
（2）3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：（1）x2+10x﹣2＝0，
x2+10x＝2，
配方，得x2+10x+25＝2+25，
（x+5）2＝27，
开方，得x+5＝，
解得：x1＝﹣5+3，x2＝﹣5﹣3；

（2）3x2﹣6x﹣2＝0，
这里a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）＝60＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
20．（8分）用因式分解法解方程．
（1）x2+4x﹣21＝0．
（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）∵x2+4x﹣21＝0，
∴（x+7）（x﹣3）＝0，
则x+7＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝3；
（2）∵（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0，
∴（2x﹣1+x+3）（2x﹣1﹣x﹣3）＝0，即（3x+2）（x﹣4）＝0，
则3x+2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝﹣，x2＝4．
21．已知二次函数．
（1）填写表中空格处的数值：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…

…

　0　
　﹣　
﹣2
﹣
0
　　
…
（2）画出这个函数的图象．

【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整；
（2）根据（1）中表格中的数据可以划出相应的函数图象．
【解答】解：（1）∵，
∴当x＝﹣4时，y＝2﹣2＝0，
当x＝﹣3时，y＝（﹣3+2）2﹣2＝﹣，
当x＝1时，y＝（1+2）2﹣2＝，
故答案为：0，﹣，；
（2）函数图象如图所示：
．
22．如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB＝12，CD＝2．求⊙O半径的长．

【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD＝6，∠ADO＝90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：连接AO，
∵点C是弧AB的中点，半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB，
∵AB＝12，
∴AD＝BD＝6，
设⊙O的半径为R，
∵CD＝2，
∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AD2，
即：R2＝（R﹣2）2+62，
∴R＝10
答：⊙O的半径长为10．
23．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．

【分析】（1）由AB＝O得到AB＝BO，则∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∠1＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD．
【解答】解：（1）连OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；

（2）∵∠2＝∠A+∠1，
∴∠2＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．

24．抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，3），（2，6）两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求这条抛物线的顶点坐标；
（3）将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，写出抛物线C1的解析式．
【分析】（1）把（﹣1，3），（2，6）两点代入y＝x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）根据二次函数解析式y＝x2+2；即可得到结论；
（3）根据平移规律即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，3），（2，6）两点，
∴，
解得，
∴这条抛物线的解析式为y＝x2+2；
（2）∵y＝x2+2；
∴这条抛物线的顶点坐标为（0，2）；
（3）∵将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C1，
∴抛物线C1的解析式为y＝（x+2）2+3．
25．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每周可卖出300件．如果每件商品的售价每降价1元，每周可多卖20件（每件售价不能低于40元）．设每件商品的售价下降x元，每周的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大的周利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是5280元？
【分析】（1）根据每周的销售利润＝每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）的函数关系式，由函数的性质求函数最值；
（3）令y＝5280得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（60﹣x﹣40）（300+20x）＝（20﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵每件售价不能低于40元，
∴0≤x≤20，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣20x2+100x+6000（0≤x≤20）；
（2）y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，
∵﹣20＜0，
∴当x＝时，y有最大值，最大值为6125，
∴售价为60﹣＝57.5（元），
答：当售价为57.5元时，每周可获得最大利润，最大利润6125元；
（3）由题意得：﹣20x2+100x+6000＝5280，
解之得：x1＝﹣4（不符合题意，舍去），x2＝9，
∴售价＝60﹣9＝51（元）．
答：售价为51元时，每周利润为5280元．
26．已知抛物线y＝﹣x2﹣（m﹣1）x﹣m（m是常数）与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），（x1＜x2），与y轴交于点C，顶点为P．
（1）当抛物线的对称轴为直线x＝1时，
①求抛物线顶点P的坐标；
②求△ABC的面积；
（2）当点A、B位于点（1，0）两侧时，
①求点A的坐标；
②若，函数值满足y随x的增大而减小，求m的取值范围．
【分析】（1）①由对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝1，可求m的值，然后将解析式配方求解．
②令x＝0，y＝0，求出AB与OC的长度，然后根据三角形面积公式求解．
（2）①令y＝0可得﹣（x+1）（x+m）＝0，由点A在（1，0）左侧可得点A坐标．
②通过开口向下及对称轴为x＝﹣可得﹣≤，进而求解．
【解答】解：（1）①∵y＝﹣x2﹣（m﹣1）x﹣m，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣，
∴﹣＝1，
解得m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点P坐标为（1，2）．
②把y＝0代入y＝﹣x2+2x+1得﹣x2+2x+1＝0，
解得x1＝1﹣，x2＝1+，
∴AB＝1+﹣（1﹣）＝2，
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+1得y＝1，
∴C（0，1），
∴S△ABC＝AB•OC＝××1＝．
（2）①∵y＝﹣x2﹣（m﹣1）x﹣m＝﹣（x+1）（x+m），
令﹣（x+1）（x+m）＝0，
解得x＝﹣1或x＝﹣m，
∵点A、B位于点（1，0）两侧，
∴点A（﹣1，0）．
②∵点A坐标为（﹣1，0），
∴点B坐标为（﹣m，0），且﹣m＞1，
∴m＜﹣1，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣，且开口向下，
由，函数值y随x的增大而减小可得﹣≤，
解得m≥0．