新高考2022年高考数学一轮课时跟踪47《与圆有关的综合问题》

这是一份新高考2022年高考数学一轮课时跟踪47《与圆有关的综合问题》，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知直线y=x＋m和圆x2＋y2=1交于A，B两点，O为坐标原点.若eq \(AO,\s\up15(→))·eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(3,2)，
则实数m的值为( )
A.±1 B.±eq \f(\r(3),2) C.±eq \f(\r(2),2) D.±eq \f(1,2)
已知直线ax＋by－6=0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y=0截得的弦长为2eq \r(5)，
则ab的最大值为( )
A.eq \f(5,2) B.4 C.eq \f(9,2) D.9
若圆x2＋(y－1)2=r2与曲线(x－1)y=1没有公共点，则半径r的取值范围是( )
A.(0，eq \r(2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(11),2))) C.(0，eq \r(3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(13),2)))
已知P为直线x＋y－2=0上的点，过点P作圆O：x2＋y2=1的切线，切点为M，N，
若∠MPN=90°，则这样的点P有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
已知圆O：x2＋y2=1，若A，B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边△ABC，
则|OC|的最大值是( )
A.eq \f(\r(2)＋\r(6),2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(3)＋1
已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4=0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1=0只有一条公切线，
若a，b∈R且ab≠0，则eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.9
在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.
若eq \(AP,\s\up7(―→))=λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AD,\s\up7(―→))，则λ＋μ的最大值为( )
A.3 B.2eq \r(2) C.eq \r(5) D.2
已知点P在圆C：x2＋y2－4x－2y＋4=0上运动，则点P到直线l：x－2y－5=0的距离的最小值是( )
A.4 B.eq \r(5) C.eq \r(5)＋1 D.eq \r(5)－1
已知动点A(xA，yA)在直线l：y=6－x上，动点B在圆C：x2＋y2－2x－2y－2=0上，
若∠CAB=30°，则xA的最大值为( )
A.2 B.4 C.5 D.6
在平面直角坐标系中，记d为点P(cs θ，sin θ)到直线x－my－2=0的距离.
当θ，m变化时，d的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2=4，直线l：x＋y－6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围为 .
已知AB为圆C：x2＋y2－2y=0的直径，点P为直线y=x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为 .
已知P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)=1上的一点，Q，R分别是圆(x－3)2＋y2=eq \f(1,4)和(x＋3)2＋y2=eq \f(1,4)上的点，
则|PQ|＋|PR|的最小值是________.
在平面直角坐标系xOy中，点A(0，－3)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是________.
三、解答题
已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|=2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，
求|QM|的最小值.
已知定点M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|=eq \r(2)|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k.当k1k2=3时，求k的取值范围.
\s 0 答案解析
答案为：C
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AO,\s\up15(→))=(－x1，－y1)，eq \(AB,\s\up15(→))=(x2－x1，y2－y1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,x2＋y2＝1，))得2x2＋2mx＋m2－1=0，故Δ=4m2－8(m2－1)=8－4m2＞0，－eq \r(2)＜m＜eq \r(2).
x1＋x2=－m，x1x2=eq \f(m2－1,2)，y1y2=(x1＋m)(x2＋m)=x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，
又eq \(AO,\s\up15(→))·eq \(AB,\s\up15(→))=－x1x2－y1y2＋xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)=eq \f(3,2)，故x1x2＋y1y2=－eq \f(1,2)，
故2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2=－eq \f(1,2)，即m2－1－m2＋m2=－eq \f(1,2)，得m2=eq \f(1,2)，m=±eq \f(\r(2),2).故选C.
答案为：C
解析：x2＋y2－2x－4y=0化成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2=(eq \r(5))2，
因为直线ax＋by－6=0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y=0截得的弦长为2eq \r(5)，
故直线ax＋by－6=0(a＞0，b＞0)经过圆心(1,2)，即a＋2b=6.
又6=a＋2b≥2eq \r(2ab)，即ab≤eq \f(9,2)，当且仅当a=2b=3时取等号，故ab的最大值为eq \f(9,2).故选C.
答案为：C
解析：取曲线上的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(1,a－1)))，其中a≠1，
则圆心(0,1)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(1,a－1)))的距离d=eq \r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)－1))2)
=eq \r(a－12＋2a－1＋\f(1,a－12)－\f(2,a－1)＋2)
=eq \r(a－1－\f(1,a－1)2＋2a－1－\f(1,a－1)＋4)
=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1－\f(1,a－1)＋1))2＋3)≥eq \r(3)，所以若圆与曲线无公共点，则0＜r＜eq \r(3).故选C.
答案为：B；
解析：连接OM，ON，则OM=ON，∠MPN=∠ONP=∠OMP=90°，∴四边形OMPN为正方形，
∵圆O的半径为1，∴|OP|=eq \r(2)，∵原点(圆心)O到直线x＋y－2=0的距离为eq \r(2)，
∴符合条件的点P只有一个，故选B.
答案为：C；
解析：如图所示，连接OA，OB和OC.
∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，∴△OAC≌△OBC，∴∠ACO=∠BCO=30°，
在△OAC中，由正弦定理得eq \f(OA,sin 30°)=eq \f(OC,sin∠OAC)，∴OC=2sin∠OAC≤2，
故|OC|的最大值为2，故选C.
答案为：D；
解析：圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2=4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；
圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2=1，其圆心为(0，b)，半径为1.
因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，
所以eq \r(－2a－02＋0－b2)=2－1，得4a2＋b2=1，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))(4a2＋b2)=5＋eq \f(b2,a2)＋eq \f(4a2,b2)≥5＋2 eq \r(\f(b2,a2)·\f(4a2,b2))=9，
当且仅当eq \f(b2,a2)=eq \f(4a2,b2)，且4a2＋b2=1，即a2=eq \f(1,6)，b2=eq \f(1,3)时等号成立.所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为9.
答案为：A；
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2=0，
点C到直线BD的距离为eq \f(2,\r(22＋12))=eq \f(2,\r(5))，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2=eq \f(4,5).
因为P在圆C上，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2\r(5),5)cs θ，2＋\f(2\r(5),5)sin θ)).
又eq \(AB,\s\up7(―→))=(1,0)，eq \(AD,\s\up7(―→))=(0,2)，eq \(AP,\s\up7(―→))=λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AD,\s\up7(―→))=(λ，2μ)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\f(2\r(5),5)cs θ＝λ，,2＋\f(2\r(5),5)sin θ＝2μ，))λ＋μ=2＋eq \f(2\r(5),5)cs θ＋eq \f(\r(5),5)sin θ
=2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ=2)，
当且仅当θ=eq \f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
答案为：D；
解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＋4=0化为(x－2)2＋(y－1)2=1，圆心C(2,1)，半径为1，
圆心到直线l的距离为eq \f(|2－2－5|,\r(12＋22))=eq \r(5)，
则圆上一动点P到直线l的距离的最小值是eq \r(5)－1.故选D.
答案为：C；
解析：由题意可知，当AB是圆的切线时，∠ACB最大，
此时|CA|=4.点A的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2=16，与y=6－x联立，
解得x=5或x=1，∴点A的横坐标的最大值为5.故选C.
答案为：C；
解析：由题知点P(cs θ，sin θ)是单位圆x2＋y2=1上的动点，
所以点P到直线x－my－2=0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离.
又直线x－my－2=0恒过点(2,0)，所以当m变化时，
圆心(0,0)到直线x－my－2=0的距离d=eq \f(2,\r(1＋m2))的最大值为2，
所以点P到直线x－my－2=0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.
答案为：[1,5].
解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，
当∠BAC=60°时，MA=eq \f(MB,sin∠BAM)=eq \f(2,sin30°)=4.
设A(x,6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2=16，解得x=1或x=5，
因此点A的横坐标的取值范围为[1,5].
答案为：6.
解析：圆心C(0,1)，设∠PCA=α，|PC|=m，
则|PA|2=m2＋1－2mcsα，|PB|2=m2＋1－2mcs(π－α)=m2＋1＋2mcsα，
∴|PA|2＋|PB|2=2m2＋2.
又C到直线y=x－1的距离为d=eq \f(|0－1－1|,\r(2))=eq \r(2)，即m的最小值为eq \r(2)，
∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×(eq \r(2))2＋2=6.
答案为：7
解析：设两圆圆心分别为M，N，则M，N为椭圆的两个焦点，
因此|PQ|＋|PR|≥|PM|－eq \f(1,2)＋|PN|－eq \f(1,2)=2a－1=2×4－1=7，
即|PQ|＋|PR|的最小值是7.
答案为：[0,3].
解析：设满足|MA|=2|MO|的点的坐标为M(x，y)，由题意得eq \r(x2＋y＋32)=2eq \r(x2＋y2)，
整理得x2＋(y－1)2=4，即所有满足题意的点M组成的轨迹方程是一个圆，
原问题转化为圆x2＋(y－1)2=4与圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2=1有交点，
据此可得关于实数a的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a2＋a－32)≥1，,\r(a2＋a－32)≤3，))解得0≤a≤3，
综上可得，实数a的取值范围是[0,3].
三、解答题
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则eq \r(x＋32＋y2)=2eq \r(x－32＋y2).
化简可得(x－5)2＋y2=16，
故此曲线方程为(x－5)2＋y2=16.
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.
由题知直线l2与圆C相切，连接CQ，CM，
则|QM|=eq \r(|CQ|2－|CM|2)=eq \r(|CQ|2－16)，
当CQ⊥l1时，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，
此时|CQ|=eq \f(|5＋3|,\r(2))=4eq \r(2)，
故|QM|的最小值为eq \r(32－16)=4.
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|=eq \r(2)|PM|，
所以eq \r(x－22＋y2)=eq \r(2)eq \r(x－12＋y2).
整理得，x2＋y2=2.
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2=2.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx＋b.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝2，,y＝kx＋b))消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2=0.(*)
由Δ=(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)＞0，得b2＜2＋2k2.①
由根与系数的关系，得x1＋x2=－eq \f(2bk,1＋k2)，x1x2=eq \f(b2－2,1＋k2).②
由k1·k2=eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)=eq \f(kx1＋b,x1)·eq \f(kx2＋b,x2)=3，
得(kx1＋b)(kx2＋b)=3x1x2，
即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2=0.③
将②代入③，整理得b2=3－k2.④
由④得b2=3－k2≥0，解得－eq \r(3)≤k≤eq \r(3).⑤
由①和④，解得k＜－eq \f(\r(3),3)或k＞eq \f(\r(3),3).⑥
要使k1，k2，k有意义，则x1≠0，x2≠0，
所以0不是方程(*)的根，所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦
由⑤⑥⑦，得k的取值范围为[－eq \r(3)，－1)∪(-1,- eq \f(\r(3),3))∪(eq \f(\r(3),3),1)∪(1, eq \r(3)].