顺义区2019-2020高三期末数学试题+答案

顺义区2020届高三第一次统练

数学试卷

第一部分(选择题 共40分)

一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.设集合，，则   

A. B. C. D.

2.设复数，则在复平面内对应的点在   

A.第一象限  B. 第二象限  C. 第三象限 D. 第四象限

3. 若，，，则   

A.  B.   C.    D.

4. 若，则下列不等式一定正确的是  

A.   B.   C.     D.

5.抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则 

A.     B. 8      C. 4     D. 1

6. 如图，一个简单空间几何体的主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图的轮廓为正方形，该几何体的侧面积是   

A.  B. +4   C. 8  D. 12

7.设非零向量满足，则“”是“a与b的夹角为”的      

A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件

C.充分必要条件     D.既不充分也不必要条件

8.当时，若函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是       

A.   B.   C.  D.

9.    .

10. 设为公比的等比数列的前项和,且，，成等差数列，则__________,        . 

11. 若函数，则函数的零点是___________.

12. 在中，若，，，则_________.

13.直线与圆相交于两点,当的面积达到最大时，________.

 三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. （13分）函数 （）的部分图象如图所示.

（I）求 的值；

（II）求在区间的最大值与最小值及对应的的值.

16.（14分）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E是PB 的中点.

（I）求证：平面PBC⊥平面PCD；

（II）求二面角E-AD-B的大小；

（III）试判断AE所在直线与平面PCD是否平行，并说明理由.     

17. （13分）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，整理得到如下频率分布直方图：

（I）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；

（II）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；

（III）若规定分数在 为“良好”, 为“优秀”. 用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望.

18. （13分）已知函数，其中

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)若函数存在最小值，求证:.

19.（14分）已知椭圆C：.

(Ⅰ)求椭圆C的离心率；

(Ⅱ)设分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线相交于点M，N.当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.

20. （13分）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

（I）若具有性质，且，求；

（II）若无穷数列是等差数列，无穷数列是等比数列，，，.判断是否具有性质，并说明理由；

（III）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

顺义区2020届高三第一次统练

数学参考答案

一、选择题    ABAD   BCCB

二、填空题

9.    10.3,10（第一空3分，第二空2分）  

11.0，（漏答一个的扣3分，有错答的不给分）

12.5      13. （漏答一个的扣3分，有错答的不给分）

14.②③（漏答一个的扣3分，有错答的不给分）

15.解：(Ⅰ)

         

           ……………………………………………… 5分

∴  的最小正周期   ……  6分

∴             ……………………………………………… 7分

（II）∵        ∴     ……………………9分

   ∴           ………………………………11分

∴求在区间的最大值为1，最小值为    ………… 13分

16.（I）证明：∵ABCD是正方形    ∴ BC⊥CD

∵PD⊥平面ABCD        BC平面ABCD     ∴PD⊥BC

∵          平面PCD

∴BC⊥平面PCD        …………………………………….2分

又∵BC平面PBC

∴平面PBC⊥平面PCD      ……………………………….4分

（II）解：∵PD⊥平面ABCD      AD,CD平面ABCD

∴PD⊥AD , PD⊥CD

又∵ABCD是正方形   ∴AD⊥CD

∴DA,DC,DP两两垂直                  …………………….6分

∴以D 为原点如图建系，设PD=AB=1

∴D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),E(,,)

∴,,

又∵PD⊥平面ABCD

∴平面ADB的法向量

设平面ADE的法向量

则 ⊥ ，⊥

∴

令 ,得    ∴  …………………….9分

∴

∴二面角E-AD-B的大小为     ……………………………….11分

（III）解：∵PD⊥AD , AD⊥CD      PDCD=D

又PD,CD平面PCD        ∴AD⊥平面PCD

∴平面PCD的法向量为           …………….12分

又∵,,        ………………….13分

∴与不垂直    ∴AE与平面PCD不平行……………….14分

（其它解法酌情给分）

17. 解：（I）∵样本中男生有55人，则女生45人

           ∴估计总体中女生人数 人 …………………3分

（II）设“不及格”为事件A，则“及格”为事件

        ∴ ………7分

（III）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B，则

依题意可知：

，   

，         …………………10分

所以，X的分布列为

                    ………………… 13分

（其它解法，特别按超几何分布处理，酌情给分）

18. 解：(Ⅰ) 时，，          …………………1分

                                         …………………2分

        切线斜率                   …………………4分

曲线在点处的切线方程为：

          即：             …………………5分

(Ⅱ)                …………………6分

①当时，恒成立

            在单调递增，无最小值         …………………7分

②当时，由得或（舍）

时，， 在单调递减

时，，在单调递增

所以存在最小值，      ………………10分

下面证明.

设函数，

由得，易知在单调递增，在单调递减

所以的最大值为                …………………12分

所以恒成立，得证.             …………………13分

（其它解法酌情给分）

19.解：（Ⅰ）由得

那么，                  …………………1分

以                     …………………2分

解得，   所以离心率   …………………4分

（Ⅱ）解法一：，

         设，则①          …………………5分

         直线的方程：              …………………6分

令，得，从而点坐标为  …………7分

直线的方程：               …………………8分

令，得，从而点坐标为……………9分

设以为直径的圆经过轴上的定点，则

由得②   ……………12分

由①式得，代入②得

解得或

所以以为直径的圆是否经过轴上的定点和 .………14分

解法二：， 设，则 ………………5分

           ……………7分

设直线的方程：

令，得，从而点坐标为  …………………8分

则直线的方程：

令，得，从而点坐标为………………10分

设以为直径的圆经过轴上的定点，则

由得   ……………13分

可得，解得或

所以以为直径的圆是否经过轴上的定点和………14分

（其它解法酌情给分）

20. 解：（I）因为，所以，，，．

所以，又因为，解得………3分

（II）的公差为21，所以，             ………5分

的公比为，所以                   ………7分

所以．

所以，，，因为，

所以不具有性质．                                         ………8分

（III）[证]充分性：

当为常数列时，．

对任意给定的，只要，则由，必有．

充分性得证．                                                    ………10分

必要性：用反证法证明．假设不是常数列，则存在，

使得，而．

下面证明存在满足的，使得，但．

设，取，使得，则

，，故存在使得．

取，因为（），所以，

依此类推，得．

但，即．

所以不具有性质，矛盾．必要性得证．

综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”…13分

（其它解法酌情给分）