2020-2021学年江西省寻乌中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

寻乌中学2020—2021学年度上学期期中考试

高二数学(文)试卷

一、选择题 (每小题5分,共60分)

1．经过点且在轴上的截距为的直线方程是(    )

A． B． C． D．

2．已知，，则以AB为直径的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

3．两条平行直线与间的距离等于（    ）

A． B． C． D．

4．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为　　

A．2 B． C． D．

5．已知双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．若直线没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（   ）

A．2个 B．至多一个 C．1个 D．0个

8．与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ）．

A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上

9．过点作圆（x+1）2+（y-2）2=169的弦，其中弦长为整数的弦共有（    ）

A．16条      B．17条       C．32条       D．34条

10．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点．若，则的值为(     )

A． B． C． D．

11．点为双曲线右支上的一点，其左、右焦点分别为，若的内切圆与轴相切于点，过作的垂线，垂足为为坐标原点，那么的值为 （   ）

A． B． C． D．

12．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为，，半焦距分别为，，

则以下四个关系①，②，③a1+c2=a2+c1，④中正确的是(   )

A.①②        B.①④         C.②③         D.③④

二、填空题(每小题5分,共20分)

13．直线和直线垂直，则实数的值为_______.

14．若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线 的离心率为_______.

15．若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有_____条.

16．已知直线y=-x+1与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．

三、解答题(共70分)

17．(10分)设直线的方程为.

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值.

18.(12分)在平面直角坐标系xoy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P（﹣3，0）．

（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；

（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．

19．(12分)已知抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=2与x轴的交点为M，与抛物线E的交点为N，且4|FN|=5|MN|．

（1）求p的值；

（2）若直线y=kx+2与E交于A，B两点，C（0，-2），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：k12+k22-2k2为定值．

20．(12分)已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.

（1）求定点的坐标与圆的标准方程；

（2）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

21．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，过椭圆左焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式（）恒成立，求的最小值．

22．(12分)已知为抛物线的焦点，为圆上任意点，且最大值为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线于、(A、B异于点M），求中点的纵坐标的取值范围.

高二期中考试数学(文)试卷参考答案

1．经过点且在轴上的截距为的直线方程是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

根据题意，所求直线过点，故可设为， ，令，得，即，即所求直线的方程为.

故选C.

2．已知，，则以AB为直径的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由，，且为直径，

所以圆的圆心为的中点，即为，

又，

所以，

所以以为直径的圆的标准方程为，

故选：D

3．两条平行直线与间的距离等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

直线方程可化为：，

由平行直线间距离公式可知所求距离.

故选：.

4．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为　　

A．2 B． C． D．

【答案】B

解：点，点Q是直线l：上的动点，

的最小值为点Q到直线l的距离，

的最小值为．

故选：B．

5．已知双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为实轴长，所以，，

由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，

不妨取渐近线为，即，

点到渐近线的距离，

所以，

所以C的方程为，

故选：C.

6．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由得，

因此圆心为，半径为，

当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，

因此圆心到坐标原点的距离为，

即原点在圆外，

根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.

故选：D.

7．若直线没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）

A．2个 B．至多一个 C．1个 D．0个

【答案】A

【详解】

直线没有交点，故 ,

点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆=2内切于椭圆，故点P(m,n)在椭圆内，则过点的直线与椭圆的交点个数为2个

8．与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ）．

A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上

【答案】C

【详解】

设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；

圆的圆心为，半径为3．

依题意得，则，

所以点的轨迹是双曲线的一支（除（1,0））．

故选C．

9．过点作圆（x+1）2+（y-2）2=169的弦，其中弦长为整数的弦共有（ ）

A．条    B．条    C．条    D．条

【答案】C

【解析】

试题分析：圆的标准方程是：，圆心，半径，过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,（分别只有一条）还有长度为的各2条，所以共有弦长为整数的条.选C．

10．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点．若，则的值为(     )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设直线的方程为代入抛物线消去，

整理得：，则，

所以，

圆，

圆心为，半径为，

因为直线过圆心，所以，

因为，所以.

故选：A.

11．点为双曲线右支上的一点，其左、右焦点分别为，若的内切圆与轴相切于点，过作的垂线，垂足为为坐标原点，那么的值为 （   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

F1(−c,0)、F2(c,0)，内切圆与x轴的切点是点A

∵|PF1|−|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，

|AF1|−|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，

则|(x+c)−(c−x)|=2a

∴x=a；

即|OA|=a，

在三角形PCF2中,由题意得,它是一个等腰三角形,PC=PF2，

∴在三角形F1CF2中，有：

OB=CF1= (PF1−PC)= (PF1−PF2)=×2a=a，

∴|OB|=|OA|，所以，故选A.

12．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为，，半焦距分别为，，则以下四个关系①，②，③a1+c2=a2+c1，④中正确的是(   )

A.①②      B.①④       C.②③       D.③④

【答案】C

【详解】

由图可知,,,故①不正确；

由①可得,则,故③正确；

由③可得,则,即,所以,

因为,所以,则,所以,故②正确,④错误.

故答案为:C

13．直线和直线垂直，则实数的值为_______.

【答案】-2或0

【详解】

因为直线和直线垂直，所以，

即，解得或.

14．若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的离心率为_______.

【答案】2

【详解】

设双曲线的一条渐近线为，即

因为其与圆相切，故

整理可得，故离心率为.

15．若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有_______条.

【答案】3

解：（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，

（2）①当过点且直线抛物线的对称轴平行，即斜率为0时，显然与抛物线有且只有一个交点，

②当直线过点且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为，代入到抛物线方程 ，消得：，

由已知有，则 ，解得：，即直线线方程为，

综上可得：过点的直线l与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条，

16．已知直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．

【答案】

解：设，
由，消去y，可得，
∴则，
由，整理得.
.
（其中为坐标原点），可得，
，即，化简得.
.整理得.
，
∴代入上式，化简得，
.
，平方得，
，可得 ，
因此，可得的最大值为，
满足条件，
∴当椭圆的离心率时，的最大值为.
故答案为：.

17．设直线的方程为.

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值.

【答案】（1）或（2）

【详解】

（1）由题意知，

当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，

此时，直线的方程为；

当直线不过原点时，由截距相等，得，则，

直线的方程为，

综上所述，所求直线的方程为或.

（2）由题意知，直线在轴，轴上的截距分别为、，

，

解得.

18.在平面直角坐标系xoy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P（﹣3，0）．

（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；

（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．

【答案】（1），；（2）y2=﹣12x，x2=24y.

试题解析：（1）由题意，设双曲线的方程为，∵点P（﹣3，0）在双曲线上，∴a=3．∵双曲线C的离心率为：，∴，∵c2=a2+b2，∴b=3，∴双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x．

（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+3），即y=2x+6，直线l与坐标轴交点分别为

F1（﹣3，0），F2（0,6），

∴以F1为焦点的抛物线的标准方程为y2=﹣12x；

以F2为焦点的抛物线的标准方程为x2=24y.

19．已知抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=2与x轴的交点为M，与抛物线E的交点为N，且4|FN|=5|MN|．

（1）求p的值；

（2）若直线y=kx+2与E交于A，B两点，C（0，-2），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：k12+k22-2k2为定值．

【答案】（1）P=1；（2）见解析

【详解】

（1）设N（2，y0），代入x2=2py，得，而M（2，0），则．又，，由4|FN|=5|MN|，得，则p=1，

（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由，得x2-2kx-4=0．

由韦达定理可得x1+x2=2k，x1x2=-4．△=4k2+16＞0，

==

==

=2k2-4k2+4k2+8=2k2+8，

因此，．

20．已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.

（1）求定点的坐标与圆的标准方程；

（2）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1），；（2）存在，或.

【详解】

（1）由得，，

令，得，即定点的坐标为.

设圆的方程为，

由条件得，解得.

所以圆的方程为,

所以化为标准方程为.

（2）设点关于圆心的对称点为，则有，解得，，故点的坐标为.

因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，

若点为直角三角形的顶点，因为则有，

若点是直角三角形的顶点，则有，

综上，或.

21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，过椭圆左焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式（）恒成立，求的最小值．

【答案】（1）（2）的最小值为

（）恒成立，只需 ，即的最小值为．

试题解析：（1）依题意，，，

解得，，∴椭圆的标准方程为．

（2）设，，所以 ，

当直线垂直于轴时，，且，此时，，

所以．

当直线不垂直于轴时，设直线：，

由整理得，

所以，，

所以

．

要使不等式（）恒成立，只需 ，即的最小值为．

22．已知为抛物线的焦点，为圆上任意点，且最大值为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线于、(A、B异于点M），求中点的纵坐标的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为，

所以，，，解得，

因此，抛物线的方程为；

设点、，

设过点M的圆的切线方程为，则，

整理得，

设两切线的斜率分别为、，则、是上述方程的两根，

由韦达定理得，，

将方程代入抛物线的方程得，

整理得，所以，，，

线段中点的纵坐标为，

函数在区间上为增函数，

因此，线段的中点的纵坐标的取值范围是.