2020-2021学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2020-2021学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

长春二实验中学2020-2021学年度上学期期中考试
高二数学（文）试题
命题人：朱颖莉 审题人：张爽 2020年11月
本试卷分主观题和客观题两部分共22题，共150分，共2页。考试时间为120分钟。
考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列关于程序框的功能描述正确的是(　　)

A．(1)是处理框；(2)是判断框；(3)是终端框；(4)是输入、输出框
B．(1)是终端框；(2)是输入、输出框；(3)是处理框；(4)是判断框
C．(1)和(3)都是处理框；(2)是判断框；(4)是输入、输出框
D．(1)和(3)的功能相同；(2)和(4)的功能相同
2.下列命题错误的是(　　)
A． 命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题
B． 命题“∃x0∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
C． ∀x>0且x≠1，都有x＋>2
D． “若am2 3.方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个点 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆
4.“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的(　　)
A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
5.直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是(　　)

6.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A． B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4]
7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
8..P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是(　　)
A． B． 64(2＋) C． 64(2－) D． 64
9.已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与椭圆＋x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±3x
10.如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　)

A． B．2 C．＋1 D．－1
11.已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　 )
A． B．4 C． D．5
12．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于(　　)
A.或 B.或2 C.或 D.或2
第Ⅱ卷 主观题
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13..已知p：a－40.若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________．
14.已知圆C的圆心坐标为(3,2)，抛物线x2＝－4y的准线被圆C截得的弦长为2，则圆C的方程为______．
15.如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是______．

16.若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．
三、解答题(共6小题,17题10分，其它题均12分,共70分)
17.已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程．
18. 设p：指数函数f(x)＝ax，不等式f(x)＞1的解集是{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．
19. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求△F1MF2的面积．
20. 如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|. (1)求椭圆C的离心率； (2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程
21.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点．(1)求抛物线的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值

22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为. (1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．
①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；②若点M，求证：·为定值
















长春二实验中学2020-2021学年度上学期期中考试
高二文科数学试题答案
命题人：朱颖莉 审题人：张爽 2020年11月

1.【答案】B
【解析】根据程序框图的规定，(1)是终端框，(2)是输入、输出框，(3)是处理框，(4)是判断框.
2.【答案】D
【解析】　D选项，“若am2 3.【答案】D
【解析】(x－1)＝0可化为，
x－1＝0或x2＋y2＝3，
∴方程(x－1)＝0表示一条直线和一个圆．
4.【答案】A
【解析】　若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件．
5【答案】B
6.【答案】C
【解析】　准线方程为x＝－2，Q(－2,0)．
由题意知，直线的斜率存在，
设l：y＝k(x＋2)，
由消去y，
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0 综上，k的取值范围是[－1,1]．
7.【答案】C
【解析】若x≤2，则x2－1＝3，∴x＝±2.
若x＞2，则log2x＝3，∴x＝8.故选C.
8.【答案】A
【解析】在△PF1F2中，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由椭圆定义知r1＋r2＝20，①
由余弦定理知
cos 60°＝＝
＝，即＋－r1r2＝144，②
①2－②得r1r2＝.
∴＝r1·r2sin 60°＝.
9.答案　A
解析　椭圆＋x2＝1的焦点坐标为(0，±2)．
双曲线my2－x2＝1(m∈R)的焦点坐标为，
∴＝2，∴m＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A.
10.【答案】C
【解析】由题意，∵两条曲线交点的连线过点F，
∴两条曲线交点为(，p)，(，－p)，
代入双曲线方程得－＝1，
又＝c，
∴－4×＝1，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，
∴e4－6e2＋1＝0，e>1，
∴e2＝3＋2＝(1＋)2，
∴e＝＋1，故选C.
11.【答案】C
【解析】设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)，又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，∴|PA|＋|PM|≥.
故选C.
12.答案　C
解析　设圆锥曲线的离心率为e，
由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，
知①若圆锥曲线为椭圆，
则由椭圆的定义，得e＝＝＝；
②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，
得e＝＝＝.
综上，所求的离心率为或.故选C.

13.【答案】[－1,6]
【解析】由(x－2)(3－x)>0，解得2 若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，
∴∴∴－1≤a≤6.
14.【答案】(x－3)2＋(y－2)2＝2
【解析】抛物线x2＝－4y的准线方程为y＝1，
∴圆心C(3,2)到直线y＝1的距离d＝1.
∴圆的半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2.
15.答案　6
解析　设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，
由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，
所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
16.答案　＋＝1
解析　∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．
∴椭圆的右焦点为A(1,0)，即c＝1.
设P，则kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
17.【答案】解　(1)如图所示，|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，

∴|AD|＝2，|AC|＝4.
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离为＝2，得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过点P的圆C的弦的中点为E(x，y)，
则CE⊥PE，所以kCE·kPE＝－1，
即·＝－1，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
18.【答案】∵p中，指数函数f(x)＝ax，不等式f(x)＞1的解集是{x|x＜0}，
由指数函数的性质可得p＝{a|0＜a＜1}．
又∵q中，函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，
即ax2－x＋a＞0恒成立，
则 解得q＝.
又∵p∧q为假，p∨q为真，
∴p与q必定一真一假．
①当p真q假时，0＜a≤，
②当p假q真时，a＞1.
综上所述，实数a的取值范围为(0，]∪(1，＋∞)．
【解析】
19.【答案】(1)由离心率e＝＝，解得a＝b，
设方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，－)，
∴16－10＝λ， 解得λ＝6，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)由点(3，m)在双曲线上，得－＝1，
解得|m|＝，
又F1F2＝2c＝2＝4，
所以△F1MF2的面积为S＝×4×＝6.
20解　(1)由已知|AB|＝|BF|，
即＝a，
4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，
∴e＝＝.
(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由消去y，
得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
从而－＋4＝0，
解得b＝1，满足b>.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
21.【答案】解　(1)由圆的方程x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4可知， 圆心为(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，抛物线的方程为y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，
∴|BC|＝4，则|AB|＋|CD|＝|AD|－4.
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
∴|AD|＝|AF|＋|FD|＝x1＋x2＋4，
由已知可知，直线l的方程为y＝2(x－2)，
由消去y，得x2－6x＋4＝0，
∴x1＋x2＝6，∴|AD|＝6＋4＝10，
因此|AB|＋|CD|＝10－4＝6.
22.(1)解　因为＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，＝，×b×2c＝，解得a2＝5，b2＝，
则椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①解　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)将y＝k(x＋1)代入＋＝1，
得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，
Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)＝48k2＋20>0，
x1＋x2＝－.
因为AB中点的横坐标为－，
所以－＝－，
解得k＝±.
②证明　由①知x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝·
＝＋y1y2
＝＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2
＝＋＋＋k2
＝＋＋k2
＝＋＋k2＝.
即·为定值．