2020-2021学年吉林省辽源市田家炳高级中学校高二上学期期中考试数学试题（理）（解析版）

这是一份2020-2021学年吉林省辽源市田家炳高级中学校高二上学期期中考试数学试题（理）（解析版），共12页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

辽源田家炳高中2020-2021学年度上学期期中考试试卷
高二数学（理）
一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是(　　)
A．(0，－3)　　B．(1,2) C．(1，－1) D．(－1,1)
2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线　　B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
3.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．已知m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2＋＝1 D.＋＝1
7．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1
8．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．6 C．4 D．12
9.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
10．已知点P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且点P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(　　)
A．2　　　　B．4 C．8 D．16
11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
12．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是(　　)
A.或 B.或 C.或 D.
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）
13已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．
14．若双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则m＝________.
15　已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，则动圆圆心M的轨迹方程．
16.　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为
三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17.　(本小题满分12分)求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
18.(本小题满分12分)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
19.(本小题满分12分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．

20．(本小题满分12分)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
21．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程．
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
22.(本小题满分10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
































1．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2) C．(1，－1) D．(－1,1)
解析：选C 使“p∧q”为真命题的点即为直线y＝2x－3与抛物线y＝－x2的交点．
2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
3 (浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
[解析] 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．
[答案] D
4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析：选D 由题意得点P到直线x＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线．
5．已知m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程m(x2)＋n(y2)＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若方程m(x2)＋n(y2)＝1表示双曲线，则必有m·n＜0；当m·n＜0时，方程m(x2)＋n(y2)＝1表示双曲线．所以“m·n＜0”是“方程m(x2)＋n(y2)＝1表示双曲线”的充要条件．
6．已知椭圆a2(x2)＋2(y2)＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.4(x2)＋2(y2)＝1 B.3(x2)＋2(y2)＝1 C．x2＋2(y2)＝1 D.6(x2)＋2(y2)＝1
解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为6(x2)＋2(y2)＝1，故选D.
7．与椭圆4(x2)＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.4(x2)－y2＝1 B.2(x2)－y2＝1 C.3(x2)－3(y2)＝1 D．x2－2(y2)＝1
解析：选B 法一：椭圆4(x2)＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以a2(4)－b2(1)＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是2(x2)－y2＝1.
法二：设所求双曲线方程为4－λ(x2)＋1－λ(y2)＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得4－λ(4)＋1－λ(1)＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线方程为2(x2)－y2＝1.
8．已知△ABC的顶点B，C在椭圆3(x2)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4.
9.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.2(1) B.2(3) C.4(3) D.4(6)
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形．

∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c，
∴a(c)＝2(1)，即椭圆的离心率e＝2(1).
10．已知点P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且点P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
解析：选B 准线方程为x＝－p，
∴8＋p＝10，p＝2.
∴焦点到准线的距离为2p＝4.
11．已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.4(x2)－y2＝1 B．x2－4(y2)＝1 C.20(3x2)－5(3y2)＝1 D.5(3x2)－20(3y2)＝1
解析：选A 由焦距为2，得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以a(b)＝2(1).又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为4(x2)－y2＝1.
12．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.6(π)或6(5π) B.4(π)或4(3π) C.3(π)或3(2π) D.2(π)
解析：选B 由焦点弦长公式|AB|＝sin2θ(2p)得sin2θ(6)＝12，∴sin θ＝2(2)，∴θ＝4(π)或4(3π).
13已知椭圆10－m(x2)＋m－2(y2)＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．
解析：由题意得m－2＞10－m＞0，
解得6＜m＜10.
又a2＝m－2，b2＝10－m，
则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，
解得m＝8.
答案：8
1．若方程1＋k(x2)－1－k(y2)＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
解析：由题意知，(1＋k)(1－k)＞0，即－1＜k＜1.
答案：(－1,1)
14．若双曲线m(x2)－3(y2)＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则m＝________.
解析：∵抛物线焦点为(3,0)，
∴＝3且m＞0，则m＝6.
答案：6
15 已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设动圆M的半径为r，
则|MA|＝r，|MB|＝8－r，
∴|MA|＋|MB|＝8，且8＞|AB|＝6，
∴动点M的轨迹是椭圆，设其方程为a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，
∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴所求动圆圆心M的轨迹方程是16(x2)＋7(y2)＝1.
16. 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为
[解] 如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
∴(|PA|＋|PF|)min
＝|AB|＝3＋2(1)＝2(7).
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2，
∴P点坐标为(2,2)．
17. (本小题满分12分)求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解] 椭圆方程变形为9(x2)＋4(y2)＝1，
∴a＝3，b＝2，
∴c＝ ＝＝.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，
离心率e＝a(c)＝3(5).
18.(本小题满分12分)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是9(x2)－4(y2)＝1，
∴a2＝9，b2＝4，
∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝a(c)＝3(13)，
渐近线方程为y＝±3(2)x.
19.(本小题满分12分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴2(p)＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴2(p)＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.

20．(本小题满分12分)已知双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且c(a2)＝3(3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得，(c)解得.(a＝1，)
所以b2＝c2－a2＝2.
所以双曲线C的方程为x2－2(y2)＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由＝1，(y2)
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ＞0)．
所以x0＝2(x1＋x2)＝m，y0＝x0＋m＝2m.
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5.
故m＝±1.
21．(本小题满分12分)已知椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝3(6)，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为2(3).
(1)求椭圆的方程．
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
解：(1)直线AB方程为：bx－ay－ab＝0.
依题意3解得b＝1.(3，)
∴椭圆方程为3(x2)＋y2＝1.
(2)假若存在这样的k值，由x2＋3y2－3＝0，(y＝kx＋2，)得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.
∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则.(9)②
而y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)
＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.
要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE⊥DE时，则x1＋1(y1)·x2＋1(y2)＝－1，
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.
∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③
将②式代入③整理解得k＝6(7).经验证k＝6(7)使①成立．综上可知，存在k＝6(7)，使以CD为直径的圆过点E.
22.(本小题满分10分)已知椭圆C：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为2(2).直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为3(10)时，求k的值．
[解题流程]



6．椭圆m(x2)＋4(y2)＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又∵2c＝2，∴c＝1.
∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，
∴m＝3.
答案：3或5
椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a＞b＞0)的离心率为2(3)，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆的方程．
解：∵e＝2(3)，∴b2＝4(1)a2.
∴椭圆的方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，
得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0，得a2＞32，
由弦长公式得10＝4(5)×[64－2(64－a2)]．
∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为36(x2)＋9(y2)＝1.
[例3] 已知点P(4,2)是直线l被椭圆36(x2)＋9(y2)＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
[解] 法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆的方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
∴x1＋x2＝4k2＋1(8k(4k－2))＝8，
∴k＝－2(1).
∴直线l的方程为y－2＝－2(1)(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴－36＝0.(2)两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
∴x1－x2(y1－y2)＝－2(1)，
即k＝－2(1).
∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
[例3] 已知P为椭圆12(x2)＋3(y2)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
∴S＝2(1)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
[例3] 在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
[解] 法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则点P到直线l的距离
d＝2(|x0－y0＋3|)＝
＝2(|(y0－1)2＋5|)，
当y0＝1时，dmin＝4(2)，
∴P，1(1).
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由y2＝2x，(x－y＋m＝0，)
得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，
∴m＝2(1).
∴平行直线的方程为x－y＋2(1)＝0，
此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝4(2)，此时点P的坐标为，1(1).
2．直线y＝x＋1被椭圆4(x2)＋2(y2)＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A.3(5) B.3(7) C.3(1) D.2(17)
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，
由＝1，(y2)得3x2＋4x－2＝0.
x0＝2(x1＋x2)＝2(1)·3(4)＝－3(2)，
y0＝x0＋1＝3(1)，∴中点坐标为3(1).